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1 某学校要种植一块面积为200 m²的长方形草坪，要求两边长均不小于10 m，则草坪的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象是 (
C
) 答案
∵草坪面积为200 m²，
∴xy=200，则y与x之间的函数关系式为$y=\frac{200}{x}$。
∵两边长均不小于10 m，
∴x≥10，y≥10，则10≤x≤20，故选C。
解析
【分析】
解题时首先结合长方形面积公式确定y与x的函数关系，明确这是反比例函数；接下来需要重点考虑实际问题中自变量的取值限制：题目要求两边长均不小于10m，因此不仅要满足x≥10，还要满足y≥10，将函数关系式代入y的限制条件即可求出x的上限，最终根据x的取值范围匹配对应的函数图像即可。
【解析】
已知长方形草坪面积为200 m²，根据长方形面积公式可得：
$xy=200$，整理得y与x的函数关系式为$y=\frac{200}{x}$。
∵两边长均不小于10 m，
∴$\begin{cases}x≥10 \\ y=\frac{200}{x}≥10 \end{cases}$，
解不等式$\frac{200}{x}≥10$，得$x≤20$，
因此x的取值范围为$10≤ x≤20$，对应图像为第一象限内x介于10到20之间的反比例函数曲线，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，易错点是容易忽略实际问题中自变量的取值限制，直接选择完整的反比例函数图像，解题时需结合题目给定的边长约束准确确定x的范围，再匹配对应图像。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合长方形面积公式确定y与x的函数关系，明确这是反比例函数；接下来需要重点考虑实际问题中自变量的取值限制：题目要求两边长均不小于10m，因此不仅要满足x≥10，还要满足y≥10，将函数关系式代入y的限制条件即可求出x的上限，最终根据x的取值范围匹配对应的函数图像即可。
【解析】
已知长方形草坪面积为200 m²，根据长方形面积公式可得：
$xy=200$，整理得y与x的函数关系式为$y=\frac{200}{x}$。
∵两边长均不小于10 m，
∴$\begin{cases}x≥10 \\ y=\frac{200}{x}≥10 \end{cases}$，
解不等式$\frac{200}{x}≥10$，得$x≤20$，
因此x的取值范围为$10≤ x≤20$，对应图像为第一象限内x介于10到20之间的反比例函数曲线，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，易错点是容易忽略实际问题中自变量的取值限制，直接选择完整的反比例函数图像，解题时需结合题目给定的边长约束准确确定x的范围，再匹配对应图像。
【难度系数】
0.7
2 新考法[2026江苏泰州期末]小方尝试直播带货，上了1~4号四款商品的链接. 图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率=$\frac{单件商品利润}{单件商品成本}×100\%$）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（
A.4号
B.3号
C.2号
D.1号
A
）A.4号
B.3号
C.2号
D.1号
答案
∵单件商品利润等于单件商品成本乘利润率，描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴1号和3号的单件利润相等（横、纵坐标之积相等）。
∵4号在反比例函数图象的上方，2号在反比例函数图象的下方，
∴表示4号的点的横、纵坐标之积大于表示1号和3号的点的横、纵坐标之积，表示2号的点的横、纵坐标之积小于表示1号和3号的点的横、纵坐标之积，
∴4号的单件利润大于1号和3号的单件利润，2号的单件利润小于1号和3号的单件利润。故选A。
解析
【分析】
解题的切入点是明确单件利润、成本、利润率三者的关系，结合反比例函数的性质分析：首先单件利润=成本×利润率，本题中坐标系横坐标为成本、纵坐标为利润率，因此单件利润就是对应点横、纵坐标的乘积。已知1号和3号在同一反比例函数图象上，反比例函数可写为$y=\frac{k}{x}$，即$k=xy$，因此1号和3号的利润（横纵坐标乘积）相等；再通过点和反比例图象的位置关系判断其余商品的利润大小：图象上方的点横纵坐标乘积大于k，图象下方的点横纵坐标乘积小于k，即可得出利润最高的商品。
【解析】
设单件商品成本为$x$元，利润率为$y$，单件利润为$W$，根据利润率公式可得：$W=x· y$。
∵1号和3号对应的点在同一个反比例函数图象上，设该反比例函数为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），则$k=x· y$，即1号和3号的单件利润均为$k$，二者利润相等。
观察图象：4号点在反比例函数图象上方，因此4号的利润率$y_4＞\frac{k}{x_4}$，两边同乘正数$x_4$得$x_4· y_4＞k$，即4号单件利润大于$k$；
2号点在反比例函数图象下方，因此2号的利润率$y_2＜\frac{k}{x_2}$，两边同乘正数$x_2$得$x_2· y_2＜k$，即2号单件利润小于$k$。
综上可得4号商品的单件利润最高。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.销售利润计算
【点评】
本题结合实际生活的直播带货场景，将反比例函数知识和销售利润问题融合，解题核心是把单件利润转化为点的横纵坐标乘积，结合反比例函数$k$的意义和点与图象的位置关系比较大小，很好地考查了数形结合思想和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题的切入点是明确单件利润、成本、利润率三者的关系，结合反比例函数的性质分析：首先单件利润=成本×利润率，本题中坐标系横坐标为成本、纵坐标为利润率，因此单件利润就是对应点横、纵坐标的乘积。已知1号和3号在同一反比例函数图象上，反比例函数可写为$y=\frac{k}{x}$，即$k=xy$，因此1号和3号的利润（横纵坐标乘积）相等；再通过点和反比例图象的位置关系判断其余商品的利润大小：图象上方的点横纵坐标乘积大于k，图象下方的点横纵坐标乘积小于k，即可得出利润最高的商品。
【解析】
设单件商品成本为$x$元，利润率为$y$，单件利润为$W$，根据利润率公式可得：$W=x· y$。
∵1号和3号对应的点在同一个反比例函数图象上，设该反比例函数为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），则$k=x· y$，即1号和3号的单件利润均为$k$，二者利润相等。
观察图象：4号点在反比例函数图象上方，因此4号的利润率$y_4＞\frac{k}{x_4}$，两边同乘正数$x_4$得$x_4· y_4＞k$，即4号单件利润大于$k$；
2号点在反比例函数图象下方，因此2号的利润率$y_2＜\frac{k}{x_2}$，两边同乘正数$x_2$得$x_2· y_2＜k$，即2号单件利润小于$k$。
综上可得4号商品的单件利润最高。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.销售利润计算
【点评】
本题结合实际生活的直播带货场景，将反比例函数知识和销售利润问题融合，解题核心是把单件利润转化为点的横纵坐标乘积，结合反比例函数$k$的意义和点与图象的位置关系比较大小，很好地考查了数形结合思想和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
3[2026湖南常德质检]某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
按照这种变化规律，若2025年已投入技术改进资金5万元，则预计2025年每件产品成本是
按照这种变化规律，若2025年已投入技术改进资金5万元，则预计2025年每件产品成本是
7.2
万元。答案
由题表数据可知，2.5×14.4=36，3×12=36，4×9=36，4.5×8=36，则产品成本与投入的技术改进资金成反比例函数关系。设产品成本y与技术改进资金x之间的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，则k=3×12=36，
∴产品成本y与技术改进资金x之间的函数关系式为$y=\frac{36}{x}$，当x=5时，$y=\frac{36}{5}=7.2$，
∴若2025年已投入技术改进资金5万元，则预计2025年每件产品成本是7.2万元。
∴产品成本y与技术改进资金x之间的函数关系式为$y=\frac{36}{x}$，当x=5时，$y=\frac{36}{5}=7.2$，
∴若2025年已投入技术改进资金5万元，则预计2025年每件产品成本是7.2万元。
解析
【分析】拿到这类探究两个变量变化规律的实际问题时，首先观察表格中的两组数据，先计算每组对应数据的乘积，发现乘积为固定值，说明技术改进资金和产品成本成反比例函数关系；接下来设出反比例函数的一般形式，代入任意一组对应数据求出常数k，得到完整的函数解析式；最后将2025年投入的技术改进资金代入解析式，即可计算出对应的产品成本。
【解析】首先计算表格中每组技术改进资金与产品成本的乘积：
$2.5×14.4=36$，$3×12=36$，$4×9=36$，$4.5×8=36$，可知两个量的乘积为定值，成反比例函数关系。
设产品成本$y$（万元/件）与技术改进资金$x$（万元）的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=3$，$y=12$代入解析式得：$k=3×12=36$，
因此产品成本与技术改进资金的函数关系式为$y=\frac{36}{x}$。
当2025年投入技术改进资金$x=5$万元时，代入解析式得$y=\frac{36}{5}=7.2$。
【答案】7.2
【知识点】反比例函数的实际应用；求反比例函数解析式；反比例函数求值
【点评】本题结合实际生产场景考查反比例函数的应用，解题关键是通过表格数据发现变量的乘积为定值，确定反比例函数关系，整体解题思路清晰，只需注意计算准确性即可。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算表格中每组技术改进资金与产品成本的乘积：
$2.5×14.4=36$，$3×12=36$，$4×9=36$，$4.5×8=36$，可知两个量的乘积为定值，成反比例函数关系。
设产品成本$y$（万元/件）与技术改进资金$x$（万元）的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=3$，$y=12$代入解析式得：$k=3×12=36$，
因此产品成本与技术改进资金的函数关系式为$y=\frac{36}{x}$。
当2025年投入技术改进资金$x=5$万元时，代入解析式得$y=\frac{36}{5}=7.2$。
【答案】7.2
【知识点】反比例函数的实际应用；求反比例函数解析式；反比例函数求值
【点评】本题结合实际生产场景考查反比例函数的应用，解题关键是通过表格数据发现变量的乘积为定值，确定反比例函数关系，整体解题思路清晰，只需注意计算准确性即可。
【难度系数】0.7
4[2026江苏苏州调研]火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线型冷却塔，如图(1)，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图(2)所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形。以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图(2)所示的平面直角坐标系，DE，CF分别是两个反比例函数图象的一部分。已知AB=88 m，BC=20 m，上口宽EF=16 m，则整个冷却塔高度为
110 m
。答案
∵AB=88 m，BC=20 m，四边形ABCD为矩形，以AB所在直线及其垂直平分线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
∴C的坐标是(44,20)。设FC对应的反比例函数的表达式是$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。把C的坐标代入得k=44×20=880，
∴FC对应的反比例函数表达式是$y=\frac{880}{x}$。
∵上口宽EF=16 m，
∴点F的横坐标为$\frac{16}{2}=8$，当x=8时，$y=\frac{880}{8}=110$，
∴整个冷却塔的高是110 m。
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路清晰可分为三步：第一步，结合平面直角坐标系的设定和已知矩形的边长，确定反比例函数上已知点C的坐标；第二步，用待定系数法将点C坐标代入反比例函数一般式，求出k值得到函数解析式；第三步，根据上口宽EF的长度得到F点的横坐标，代入解析式求出对应的纵坐标，该值就是冷却塔的总高度。
【解析】
∵AB=88 m，四边形ABCD是矩形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∴点C的横坐标为AB长度的一半，纵坐标为BC的长度，即C(44,20)。
设CF所在反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将C(44,20)代入表达式得：
$k=44×20=880$
∴CF对应的反比例函数解析式为$y=\frac{880}{x}$。
∵上口宽EF=16 m，图形关于y轴对称，
∴点F的横坐标为$\frac{16}{2}=8$，
将x=8代入$y=\frac{880}{x}$得：$y=\frac{880}{8}=110$，
即整个冷却塔的高度为110 m。
【答案】
110 m
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；坐标与图形性质
【点评】
本题结合生活中的冷却塔场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是结合坐标系设定准确找到已知点的坐标，再利用反比例函数的性质求解，贴近生活实际，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路清晰可分为三步：第一步，结合平面直角坐标系的设定和已知矩形的边长，确定反比例函数上已知点C的坐标；第二步，用待定系数法将点C坐标代入反比例函数一般式，求出k值得到函数解析式；第三步，根据上口宽EF的长度得到F点的横坐标，代入解析式求出对应的纵坐标，该值就是冷却塔的总高度。
【解析】
∵AB=88 m，四边形ABCD是矩形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∴点C的横坐标为AB长度的一半，纵坐标为BC的长度，即C(44,20)。
设CF所在反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将C(44,20)代入表达式得：
$k=44×20=880$
∴CF对应的反比例函数解析式为$y=\frac{880}{x}$。
∵上口宽EF=16 m，图形关于y轴对称，
∴点F的横坐标为$\frac{16}{2}=8$，
将x=8代入$y=\frac{880}{x}$得：$y=\frac{880}{8}=110$，
即整个冷却塔的高度为110 m。
【答案】
110 m
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；坐标与图形性质
【点评】
本题结合生活中的冷却塔场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是结合坐标系设定准确找到已知点的坐标，再利用反比例函数的性质求解，贴近生活实际，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5 王老师驾驶小汽车从 A 地行驶到 B 地,行驶里程为 480 千米,设小汽车的行驶时间为 t(单位:时),行驶的平均速度为 v(单位:千米/时),且全程速度不超过 120 千米/时.
(1)求 v 关于 t 的函数表达式.
(2)王老师上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发,需要在当天 13 时至 14 时(含 13 时和 14 时)之间到达 B 地,求小汽车行驶的平均速度 v 的范围.
(1)求 v 关于 t 的函数表达式.
(2)王老师上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发,需要在当天 13 时至 14 时(含 13 时和 14 时)之间到达 B 地,求小汽车行驶的平均速度 v 的范围.
答案
(1)
∵vt=480，且全程速度不超过120千米/时，
∴v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2)8时至13时的时间间隔为5小时，8时至14时的时间间隔为6小时。
将t=6代入$v=\frac{480}{t}$，得v=80；将t=5代入$v=\frac{480}{t}$，得v=96，
∴小汽车行驶的平均速度v的范围为80≤v≤96。
∵vt=480，且全程速度不超过120千米/时，
∴v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2)8时至13时的时间间隔为5小时，8时至14时的时间间隔为6小时。
将t=6代入$v=\frac{480}{t}$，得v=80；将t=5代入$v=\frac{480}{t}$，得v=96，
∴小汽车行驶的平均速度v的范围为80≤v≤96。
解析
【分析】
(1) 解题先从行程问题基本等量关系入手，路程=速度×时间，已知总路程固定为480千米，因此可得vt=480，变形即可得到v与t的函数关系；再结合题目给出的速度上限120千米/时，代入函数关系求出t的最小值，就能确定自变量的取值范围，得到完整的函数表达式。
(2) 首先根据出发时间和要求的到达时间区间，计算出允许的行驶时间t的取值范围；由于v和t是反比例关系，且比例系数为正，v随t的增大而减小，因此将t的两个端点值代入函数表达式，即可对应得到v的最小值和最大值，从而确定v的取值范围。
【解析】
(1) 由行程问题公式可得：$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120千米/时，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) 上午8时出发，当天13时到达的行驶时长为$13-8=5$小时，14时到达的行驶时长为$14-8=6$小时，因此行驶时间t的取值范围为$5≤t≤6$。
对于反比例函数$v=\frac{480}{t}$，$k=480＞0$，在$t＞0$时，v随t的增大而减小：
当$t=6$时，$v=\frac{480}{6}=80$；当$t=5$时，$v=\frac{480}{5}=96$。
因此小汽车行驶的平均速度v的范围为$80≤v≤96$。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) $80≤v≤96$
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，自变量取值范围
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是抓住总路程不变的等量关系建立函数模型，再结合自变量的取值范围利用反比例函数的增减性求解对应函数值的范围，题目贴合实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 解题先从行程问题基本等量关系入手，路程=速度×时间，已知总路程固定为480千米，因此可得vt=480，变形即可得到v与t的函数关系；再结合题目给出的速度上限120千米/时，代入函数关系求出t的最小值，就能确定自变量的取值范围，得到完整的函数表达式。
(2) 首先根据出发时间和要求的到达时间区间，计算出允许的行驶时间t的取值范围；由于v和t是反比例关系，且比例系数为正，v随t的增大而减小，因此将t的两个端点值代入函数表达式，即可对应得到v的最小值和最大值，从而确定v的取值范围。
【解析】
(1) 由行程问题公式可得：$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120千米/时，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) 上午8时出发，当天13时到达的行驶时长为$13-8=5$小时，14时到达的行驶时长为$14-8=6$小时，因此行驶时间t的取值范围为$5≤t≤6$。
对于反比例函数$v=\frac{480}{t}$，$k=480＞0$，在$t＞0$时，v随t的增大而减小：
当$t=6$时，$v=\frac{480}{6}=80$；当$t=5$时，$v=\frac{480}{5}=96$。
因此小汽车行驶的平均速度v的范围为$80≤v≤96$。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) $80≤v≤96$
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质，自变量取值范围
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是抓住总路程不变的等量关系建立函数模型，再结合自变量的取值范围利用反比例函数的增减性求解对应函数值的范围，题目贴合实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
