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1[2026河北沧州期中,中]某市在创建文明城市工作中,充分了解民意后,预计将一处生活垃圾存放点改建成一所老年活动中心,这样必须把1 200 m³的生活垃圾运走.若每天运走x m³,则需要y天运完.下列说法错误的是 (
A.若$x=30$,则$y=40$
B.若$x$减小,则$y$减小
C.若$y=30$,则$x=40$
D.若$x$减小为原来的$\frac{1}{2}$,则$y$增大为原来的2倍
B
)A.若$x=30$,则$y=40$
B.若$x$减小,则$y$减小
C.若$y=30$,则$x=40$
D.若$x$减小为原来的$\frac{1}{2}$,则$y$增大为原来的2倍
答案
由题意得$y=\frac{1\ 200}{x}$。A选项，若x=30，则y=40，正确，故此选项不符合题意；B选项，因为x＞0，1 200＞0，所以若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意；C选项，若y=30，则x=40，正确，故此选项不符合题意；D选项，若x减小为原来的$\frac{1}{2}$，则$y'=\frac{1\ 200}{\frac{1}{2}x}=\frac{2\ 400}{x}$，即y增大为原来的2倍，正确，故此选项不符合题意。故选B。
解析
【分析】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题时首先根据“总垃圾体积=每天运走的体积×需要的天数”这一等量关系，列出y与x的函数关系式，再结合反比例函数的性质，或是将选项给出的数值代入解析式逐一验证，即可判断各选项的正误，找出说法错误的选项。
【解析】
根据题意，总垃圾体积为1200m³，因此每天运走的体积x和所需天数y满足$xy=1200$，即$y=\frac{1200}{x}$（$x＞0$）。
A选项：将$x=30$代入解析式，得$y=\frac{1200}{30}=40$，说法正确，不符合题意；
B选项：由于1200是定值且大于0，当$x＞0$时，y随x的减小而增大，因此若x减小，则y增大，原说法错误，符合题意；
C选项：将$y=30$代入解析式，得$30=\frac{1200}{x}$，解得$x=40$，说法正确，不符合题意；
D选项：若x减小为原来的$\frac{1}{2}$，即新的运量为$\frac{1}{2}x$，代入解析式得新的天数$y'=\frac{1200}{\frac{1}{2}x}=\frac{2400}{x}=2y$，即y增大为原来的2倍，说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的实际应用 2.反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先根据题意列出正确的反比例函数解析式，再通过代入验证或函数性质判断选项即可，考查学生对基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题时首先根据“总垃圾体积=每天运走的体积×需要的天数”这一等量关系，列出y与x的函数关系式，再结合反比例函数的性质，或是将选项给出的数值代入解析式逐一验证，即可判断各选项的正误，找出说法错误的选项。
【解析】
根据题意，总垃圾体积为1200m³，因此每天运走的体积x和所需天数y满足$xy=1200$，即$y=\frac{1200}{x}$（$x＞0$）。
A选项：将$x=30$代入解析式，得$y=\frac{1200}{30}=40$，说法正确，不符合题意；
B选项：由于1200是定值且大于0，当$x＞0$时，y随x的减小而增大，因此若x减小，则y增大，原说法错误，符合题意；
C选项：将$y=30$代入解析式，得$30=\frac{1200}{x}$，解得$x=40$，说法正确，不符合题意；
D选项：若x减小为原来的$\frac{1}{2}$，即新的运量为$\frac{1}{2}x$，代入解析式得新的天数$y'=\frac{1200}{\frac{1}{2}x}=\frac{2400}{x}=2y$，即y增大为原来的2倍，说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的实际应用 2.反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先根据题意列出正确的反比例函数解析式，再通过代入验证或函数性质判断选项即可，考查学生对基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
2[2026江苏无锡质检,中]学校的自动饮水机开机加热时,水温每分钟上升$10\ °\mathrm{C}$,加热到$100\ °\mathrm{C}$时,停止加热,水温开始下降,此后水温$y(°\mathrm{C})$与通电时间$x(\mathrm{min})$成反比例.当水温降至$30\ °\mathrm{C}$时,饮水机再自动加热.若水温在$30\ °\mathrm{C}$时接通电源,水温$y$与通电时间$x$之间的关系如图所示,则下列说法正确的是 (
A.水温从$30\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$时,需要$7\ \mathrm{min}$
B.在一个加热周期内,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间为$25\ \mathrm{min}$
C.水温从$100\ °\mathrm{C}$降至$30\ °\mathrm{C}$,所需时间为$15\ \mathrm{min}$
D.水温下降过程中,$y$与$x$的函数关系式是$y=\frac{400}{x}$
A
)A.水温从$30\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$时,需要$7\ \mathrm{min}$
B.在一个加热周期内,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间为$25\ \mathrm{min}$
C.水温从$100\ °\mathrm{C}$降至$30\ °\mathrm{C}$,所需时间为$15\ \mathrm{min}$
D.水温下降过程中,$y$与$x$的函数关系式是$y=\frac{400}{x}$
答案
∵开机加热时，水温每分钟上升10 ℃，
∴水温从30 ℃加热到100 ℃，所需时间为$\frac{100-30}{10}=7(\min)$，故A选项符合题意。由题可得，点(7,100)在反比例函数图象上。设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。代入点(7,100)可得k=700，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是$y=\frac{700}{x}$，故D选项不符合题意。当y=30时，$30=\frac{700}{x}$，则$x=\frac{70}{3}$，
∴水温从100 ℃降至30 ℃，所需时间为$\frac{70}{3}-7=\frac{49}{3}(\min)$，故C选项不符合题意。当y=40时，$40=\frac{700}{x}$，则x=17.5。又
∵$\frac{40-30}{10}=1(\min)$，
∴在一个加热周期内，水温不低于40 ℃的时间为17.5-1=16.5(min)，故B选项不符合题意。故选A。
解析
【分析】
本题是结合饮水机水温变化的分段函数实际应用题，解题时分两个阶段分析即可：①首先处理加热阶段：已知初始温度和升温速度，可计算加热到100℃的时间，判断选项A；②降温阶段是反比例函数，代入加热结束的点坐标求出反比例解析式，判断选项D；③再代入y=30到反比例解析式，求出降温到30℃的总时间，减去加热时间得到降温耗时，判断选项C；④最后分别求出加热阶段水温到40℃的时间、降温阶段水温降到40℃的时间，二者的差就是水温不低于40℃的时长，判断选项B。
【解析】
1. 判断选项A：
加热时水温每分钟上升10℃，从30℃升高到100℃需要升高70℃，所需时间为$\frac{100-30}{10}=7(\mathrm{min})$，故A正确。
2. 求降温阶段的反比例函数解析式，判断选项D：
停止加热时对应坐标为$(7,100)$，设降温阶段反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$(7,100)$代入解析式得$100=\frac{k}{7}$，解得$k=700$，即降温阶段函数关系式为$y=\frac{700}{x}(x≥7)$，故D错误。
3. 判断选项C：
当水温降至30℃时，代入$y=\frac{700}{x}$得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，则降温所需时间为$\frac{70}{3}-7=\frac{49}{3}(\mathrm{min})≠15\mathrm{min}$，故C错误。
4. 判断选项B：
加热阶段水温升至40℃的时间：升温10℃耗时$\frac{40-30}{10}=1(\mathrm{min})$；降温阶段水温降至40℃的时间：将$y=40$代入$y=\frac{700}{x}$，得$40=\frac{700}{x}$，解得$x=17.5$。因此水温不低于40℃的总时长为$17.5-1=16.5(\mathrm{min})≠25\mathrm{min}$，故B错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用、一次函数应用、分段函数处理
【点评】
本题结合生活中饮水机的水温变化场景考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同阶段对应的函数类型，结合已知条件求解函数解析式，再根据函数值与自变量的对应关系解决实际问题，解题时要注意分段函数自变量的取值范围，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
本题是结合饮水机水温变化的分段函数实际应用题，解题时分两个阶段分析即可：①首先处理加热阶段：已知初始温度和升温速度，可计算加热到100℃的时间，判断选项A；②降温阶段是反比例函数，代入加热结束的点坐标求出反比例解析式，判断选项D；③再代入y=30到反比例解析式，求出降温到30℃的总时间，减去加热时间得到降温耗时，判断选项C；④最后分别求出加热阶段水温到40℃的时间、降温阶段水温降到40℃的时间，二者的差就是水温不低于40℃的时长，判断选项B。
【解析】
1. 判断选项A：
加热时水温每分钟上升10℃，从30℃升高到100℃需要升高70℃，所需时间为$\frac{100-30}{10}=7(\mathrm{min})$，故A正确。
2. 求降温阶段的反比例函数解析式，判断选项D：
停止加热时对应坐标为$(7,100)$，设降温阶段反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$(7,100)$代入解析式得$100=\frac{k}{7}$，解得$k=700$，即降温阶段函数关系式为$y=\frac{700}{x}(x≥7)$，故D错误。
3. 判断选项C：
当水温降至30℃时，代入$y=\frac{700}{x}$得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，则降温所需时间为$\frac{70}{3}-7=\frac{49}{3}(\mathrm{min})≠15\mathrm{min}$，故C错误。
4. 判断选项B：
加热阶段水温升至40℃的时间：升温10℃耗时$\frac{40-30}{10}=1(\mathrm{min})$；降温阶段水温降至40℃的时间：将$y=40$代入$y=\frac{700}{x}$，得$40=\frac{700}{x}$，解得$x=17.5$。因此水温不低于40℃的总时长为$17.5-1=16.5(\mathrm{min})≠25\mathrm{min}$，故B错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用、一次函数应用、分段函数处理
【点评】
本题结合生活中饮水机的水温变化场景考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同阶段对应的函数类型，结合已知条件求解函数解析式，再根据函数值与自变量的对应关系解决实际问题，解题时要注意分段函数自变量的取值范围，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
3[2026河北保定期末,较难]如图是6级台阶的示意图,每级台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作$A_n$($n$为1~11的整数),函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象为$L$.
(1)若$L$过点$A_1$,则$k=$
(2)若$L$过$A_3$,则$L$一定过另一点$A_m$,$m=$
(3)若$L$使得$A_1$~$A_{11}$这些点分布在它的两侧,且一侧5个点,一侧6个点,请写出符合要求的$k$的所有整数值:
(1)若$L$过点$A_1$,则$k=$
12
;(2)若$L$过$A_3$,则$L$一定过另一点$A_m$,$m=$
9
;(3)若$L$使得$A_1$~$A_{11}$这些点分布在它的两侧,且一侧5个点,一侧6个点,请写出符合要求的$k$的所有整数值:
17
.答案
(1)
∵每级台阶的高和宽分别是1和2，
∴$A_1(2,6)$。
∵函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$A_1$，
∴$6=\frac{k}{2}$，
∴k=12。
(2)由题意可知$A_1(2,6)$，$A_2(2,5)$，$A_3(4,5)$，$A_4(4,4)$，$A_5(6,4)$，$A_6(6,3)$，$A_7(8,3)$，$A_8(8,2)$，$A_9(10,2)$，$A_{10}(10,1)$，$A_{11}(12,1)$。
∵L过点$A_3$，
∴k=4×5=20，观察$A_1$~$A_{11}$的坐标，发现只有$A_9$的横、纵坐标的乘积为10×2=20，
∴m=9。
(3)
∵$A_1$~$A_{11}$的横、纵坐标之积分别为12，10，20，16，24，18，24，16，20，10，12，
∴将这11个点的横、纵坐标之积从小到大排序，为10，10，12，12，16，16，18，20，20，24，24。
∵第5个数与第6个数相等，
∴要使这11个点分布在L的两侧，且一侧5个点，一侧6个点，则k必须满足16＜k＜18，
∴k可取的整数值为17。
∵每级台阶的高和宽分别是1和2，
∴$A_1(2,6)$。
∵函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$A_1$，
∴$6=\frac{k}{2}$，
∴k=12。
(2)由题意可知$A_1(2,6)$，$A_2(2,5)$，$A_3(4,5)$，$A_4(4,4)$，$A_5(6,4)$，$A_6(6,3)$，$A_7(8,3)$，$A_8(8,2)$，$A_9(10,2)$，$A_{10}(10,1)$，$A_{11}(12,1)$。
∵L过点$A_3$，
∴k=4×5=20，观察$A_1$~$A_{11}$的坐标，发现只有$A_9$的横、纵坐标的乘积为10×2=20，
∴m=9。
(3)
∵$A_1$~$A_{11}$的横、纵坐标之积分别为12，10，20，16，24，18，24，16，20，10，12，
∴将这11个点的横、纵坐标之积从小到大排序，为10，10，12，12，16，16，18，20，20，24，24。
∵第5个数与第6个数相等，
∴要使这11个点分布在L的两侧，且一侧5个点，一侧6个点，则k必须满足16＜k＜18，
∴k可取的整数值为17。
解析
【分析】
(1) 首先根据台阶每级宽2、高1的特点确定点$A_1$的坐标，再将坐标代入反比例函数解析式即可求出$k$值；
(2) 先依次写出$A_1$到$A_{11}$所有点的坐标，计算过$A_3$时的$k$值，再找其余点中横、纵坐标乘积等于该$k$值的点，对应的下标即为$m$；
(3) 先计算所有$A_n$的横、纵坐标的乘积，将乘积从小到大排序，要使11个点分布在反比例函数图象两侧，一侧5个一侧6个，说明$k$要位于排序后第5个和第6个乘积之间，进而确定$k$的整数值。
【解析】
(1) 已知每级台阶的高为1、宽为2，可得点$A_1$的坐标为$(2,6)$。
将$A_1(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$。
(2) 根据台阶的尺寸，依次得出各点坐标：$A_1(2,6)$，$A_2(2,5)$，$A_3(4,5)$，$A_4(4,4)$，$A_5(6,4)$，$A_6(6,3)$，$A_7(8,3)$，$A_8(8,2)$，$A_9(10,2)$，$A_{10}(10,1)$，$A_{11}(12,1)$。
若$L$过$A_3$，则$k=4×5=20$，观察各点坐标，只有$A_9$的横、纵坐标乘积为$10×2=20$，故$m=9$。
(3) 先计算$A_1$~$A_{11}$各点的横、纵坐标乘积，依次为：$2×6=12$，$2×5=10$，$4×5=20$，$4×4=16$，$6×4=24$，$6×3=18$，$8×3=24$，$8×2=16$，$10×2=20$，$10×1=10$，$12×1=12$。
将上述乘积从小到大排序为：$10,10,12,12,16,16,18,20,20,24,24$。
要使11个点分布在$L$的两侧，一侧5个、一侧6个，说明$k$需要满足$16＜k＜18$，其中的整数只有17，故符合要求的$k$的整数值为17。
【答案】
(1)12；(2)9；(3)17
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，反比例函数的性质
【点评】
本题结合台阶的实际图形考查反比例函数的相关应用，解题的关键是先准确求出各顶点的坐标，再结合反比例函数中$k=xy$的特征进行分析，既考查了坐标的计算能力，也考查了数据排序和取值范围分析的能力，是反比例函数的典型综合题。
【难度系数】
0.3
(1) 首先根据台阶每级宽2、高1的特点确定点$A_1$的坐标，再将坐标代入反比例函数解析式即可求出$k$值；
(2) 先依次写出$A_1$到$A_{11}$所有点的坐标，计算过$A_3$时的$k$值，再找其余点中横、纵坐标乘积等于该$k$值的点，对应的下标即为$m$；
(3) 先计算所有$A_n$的横、纵坐标的乘积，将乘积从小到大排序，要使11个点分布在反比例函数图象两侧，一侧5个一侧6个，说明$k$要位于排序后第5个和第6个乘积之间，进而确定$k$的整数值。
【解析】
(1) 已知每级台阶的高为1、宽为2，可得点$A_1$的坐标为$(2,6)$。
将$A_1(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$。
(2) 根据台阶的尺寸，依次得出各点坐标：$A_1(2,6)$，$A_2(2,5)$，$A_3(4,5)$，$A_4(4,4)$，$A_5(6,4)$，$A_6(6,3)$，$A_7(8,3)$，$A_8(8,2)$，$A_9(10,2)$，$A_{10}(10,1)$，$A_{11}(12,1)$。
若$L$过$A_3$，则$k=4×5=20$，观察各点坐标，只有$A_9$的横、纵坐标乘积为$10×2=20$，故$m=9$。
(3) 先计算$A_1$~$A_{11}$各点的横、纵坐标乘积，依次为：$2×6=12$，$2×5=10$，$4×5=20$，$4×4=16$，$6×4=24$，$6×3=18$，$8×3=24$，$8×2=16$，$10×2=20$，$10×1=10$，$12×1=12$。
将上述乘积从小到大排序为：$10,10,12,12,16,16,18,20,20,24,24$。
要使11个点分布在$L$的两侧，一侧5个、一侧6个，说明$k$需要满足$16＜k＜18$，其中的整数只有17，故符合要求的$k$的整数值为17。
【答案】
(1)12；(2)9；(3)17
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，反比例函数的性质
【点评】
本题结合台阶的实际图形考查反比例函数的相关应用，解题的关键是先准确求出各顶点的坐标，再结合反比例函数中$k=xy$的特征进行分析，既考查了坐标的计算能力，也考查了数据排序和取值范围分析的能力，是反比例函数的典型综合题。
【难度系数】
0.3
4[较难]实验研究发现:学生在数学课上的听课注意力指标y随上课时间x(分)的变化而变化,上课开始时,学生的注意力指标激增,中间一段时间,学生的注意力指标保持平稳状态,随后注意力开始分散.学生的注意力指标y随时间x(分)变化的函数图象如图所示,当0≤x＜10和10≤x＜20时,图象是线段;当20≤x≤40时,图象是反比例函数图象的一部分.
(1)求点A对应的指标值;
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于32?请说明理由.
(1)求点A对应的指标值;
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于32?请说明理由.
答案
(1)设当20≤x≤40时，反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$。将C(20,48)代入得$48=\frac{k}{20}$，解得k=960，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}(20≤x≤40)$。当x=40时，$y=\frac{960}{40}=24$，
∴D(40,24)，
∴A(0,24)，即A对应的指标值为24。
(2)张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
理由如下：设当0≤x＜10时，AB所在直线的表达式为y = mx + n。将A(0,24)，B(10,48)代入得
$\begin{cases}24=n,\\48=10m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{12}{5},\\n=24,\end{cases}$
∴AB所在直线的表达式为$y=\frac{12}{5}x+24$。当y≥32时，$\frac{12}{5}x+24≥32$，解得$x≥\frac{10}{3}$。由(1)得反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}$，当y≥32时，$\frac{960}{x}≥32$，解得x≤30，
∴$\frac{10}{3}≤x≤30$时，注意力指标都不低于32，而$30-\frac{10}{3}=\frac{80}{3}＞15$，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}(20≤x≤40)$。当x=40时，$y=\frac{960}{40}=24$，
∴D(40,24)，
∴A(0,24)，即A对应的指标值为24。
(2)张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
理由如下：设当0≤x＜10时，AB所在直线的表达式为y = mx + n。将A(0,24)，B(10,48)代入得
$\begin{cases}24=n,\\48=10m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{12}{5},\\n=24,\end{cases}$
∴AB所在直线的表达式为$y=\frac{12}{5}x+24$。当y≥32时，$\frac{12}{5}x+24≥32$，解得$x≥\frac{10}{3}$。由(1)得反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}$，当y≥32时，$\frac{960}{x}≥32$，解得x≤30，
∴$\frac{10}{3}≤x≤30$时，注意力指标都不低于32，而$30-\frac{10}{3}=\frac{80}{3}＞15$，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
解析
【分析】
(1) 观察图象可知A点与D点的纵坐标相等，因此先求解20≤x≤40区间的反比例函数解析式，代入C点坐标求出反比例函数的参数k，再计算x=40时的函数值，即可得到D点纵坐标，也就是A点对应的指标值。
(2) 要判断能否安排15分钟的讲解且注意力指标不低于32，首先用待定系数法求出0≤x＜10区间AB段的一次函数解析式，分别在一次函数、反比例函数区间求解y≥32时x的取值范围，得到符合要求的x的总区间，计算区间长度，若长度≥15则可以安排，反之不行。
【解析】
(1) 设当20≤x≤40时，反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$。
将C(20,48)代入得$48=\frac{k}{20}$，解得$k=960$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}(20≤x≤40)$。
当$x=40$时，$y=\frac{960}{40}=24$，
∴D(40,24)，由图象可知A点纵坐标与D点相等，即A(0,24)，即A对应的指标值为24。
(2) 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下：
设当0≤x＜10时，AB所在直线的表达式为$y = mx + n$。
将A(0,24)，B(10,48)代入得$\begin{cases}24=n\\48=10m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{12}{5}\\n=24\end{cases}$
∴AB所在直线的表达式为$y=\frac{12}{5}x+24$。
当$y≥32$时，$\frac{12}{5}x+24≥32$，解得$x≥\frac{10}{3}$。
由(1)得反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}$，当$y≥32$时，$\frac{960}{x}≥32$，解得$x≤30$。
∴$\frac{10}{3}≤x≤30$时，注意力指标都不低于32，该区间长度为$30-\frac{10}{3}=\frac{80}{3}$，$\frac{80}{3}＞15$，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
【答案】
(1) 点A对应的指标值为24；
(2) 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合实际教学场景命题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了利用函数与不等式的关系解决实际问题的能力，能有效提升学生将数学知识应用于生活的意识。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图象可知A点与D点的纵坐标相等，因此先求解20≤x≤40区间的反比例函数解析式，代入C点坐标求出反比例函数的参数k，再计算x=40时的函数值，即可得到D点纵坐标，也就是A点对应的指标值。
(2) 要判断能否安排15分钟的讲解且注意力指标不低于32，首先用待定系数法求出0≤x＜10区间AB段的一次函数解析式，分别在一次函数、反比例函数区间求解y≥32时x的取值范围，得到符合要求的x的总区间，计算区间长度，若长度≥15则可以安排，反之不行。
【解析】
(1) 设当20≤x≤40时，反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$。
将C(20,48)代入得$48=\frac{k}{20}$，解得$k=960$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}(20≤x≤40)$。
当$x=40$时，$y=\frac{960}{40}=24$，
∴D(40,24)，由图象可知A点纵坐标与D点相等，即A(0,24)，即A对应的指标值为24。
(2) 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下：
设当0≤x＜10时，AB所在直线的表达式为$y = mx + n$。
将A(0,24)，B(10,48)代入得$\begin{cases}24=n\\48=10m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{12}{5}\\n=24\end{cases}$
∴AB所在直线的表达式为$y=\frac{12}{5}x+24$。
当$y≥32$时，$\frac{12}{5}x+24≥32$，解得$x≥\frac{10}{3}$。
由(1)得反比例函数的表达式为$y=\frac{960}{x}$，当$y≥32$时，$\frac{960}{x}≥32$，解得$x≤30$。
∴$\frac{10}{3}≤x≤30$时，注意力指标都不低于32，该区间长度为$30-\frac{10}{3}=\frac{80}{3}$，$\frac{80}{3}＞15$，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
【答案】
(1) 点A对应的指标值为24；
(2) 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32。
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合实际教学场景命题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了利用函数与不等式的关系解决实际问题的能力，能有效提升学生将数学知识应用于生活的意识。
【难度系数】
0.6
