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1[2025浙江中考]已知反比例函数$y=\frac{-7}{x}$。下列选项正确的是（
A.函数图象在第一、三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.y随x的增大而增大
C
）A.函数图象在第一、三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.y随x的增大而增大
答案
C 【解析】
∵k=-7＜0,
∴反比例函数$y=\frac{-7}{x}$的图象在第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大.故选C.
∵k=-7＜0,
∴反比例函数$y=\frac{-7}{x}$的图象在第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大.故选C.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质与比例系数$k$的关系：第一步先确定本题中$k$的取值，再根据$k$的正负判断图象所在象限；判断增减性时要注意，反比例函数的增减性只有在同一象限内才成立，不能笼统描述整个定义域内的增减规律，最后逐一判断四个选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{-7}{x}$，比例系数$k=-7＜0$：
1. 判断图象象限：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、四象限，因此A选项错误，C选项正确；
2. 判断增减性：当$k＜0$时，仅在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大，B选项直接表述“$y$随$x$的增大而减小”、D选项直接表述“$y$随$x$的增大而增大”，均未限定“在每一象限内”的前提，表述错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提条件，误选D选项，掌握反比例函数中$k$的正负与图象、增减性的对应关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质与比例系数$k$的关系：第一步先确定本题中$k$的取值，再根据$k$的正负判断图象所在象限；判断增减性时要注意，反比例函数的增减性只有在同一象限内才成立，不能笼统描述整个定义域内的增减规律，最后逐一判断四个选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{-7}{x}$，比例系数$k=-7＜0$：
1. 判断图象象限：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、四象限，因此A选项错误，C选项正确；
2. 判断增减性：当$k＜0$时，仅在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大，B选项直接表述“$y$随$x$的增大而减小”、D选项直接表述“$y$随$x$的增大而增大”，均未限定“在每一象限内”的前提，表述错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提条件，误选D选项，掌握反比例函数中$k$的正负与图象、增减性的对应关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2[2025河北中考]在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中,若2＜y＜4,则（
A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$
B
）A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$
答案
B 【解析】
∵$y=\frac{4}{x},k=4＞0$,
∴在每一个象限内,y随x的增大而减小,当y=2时,$x=\frac{4}{2}=2$;当y=4时,$x=\frac{4}{4}=1$,
∴当2＜y＜4时,1＜x＜2,故选B.
∵$y=\frac{4}{x},k=4＞0$,
∴在每一个象限内,y随x的增大而减小,当y=2时,$x=\frac{4}{2}=2$;当y=4时,$x=\frac{4}{4}=1$,
∴当2＜y＜4时,1＜x＜2,故选B.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先回忆反比例函数的性质，先根据k值的正负判断函数的增减性；再结合题目给出的y的取值范围，确定此时对应的函数图象所在的象限（本题y都是正数，对应第一象限）；接着代入y的边界值求出对应的x的边界值；最后结合函数的增减性，就能推导出x的取值范围。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，$k=4＞0$，
∴该函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小。
已知$2＜y＜4$，此时y为正数，对应第一象限的函数分支，即$x＞0$。
当$y=2$时，代入函数得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入函数得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$。
结合y随x增大而减小的性质，可得当$2＜y＜4$时，$1＜x＜2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.自变量取值范围求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，要先根据函数值的正负确定所在象限，再结合边界值推导自变量范围，避免忽略象限限制导致增减性用反的错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先回忆反比例函数的性质，先根据k值的正负判断函数的增减性；再结合题目给出的y的取值范围，确定此时对应的函数图象所在的象限（本题y都是正数，对应第一象限）；接着代入y的边界值求出对应的x的边界值；最后结合函数的增减性，就能推导出x的取值范围。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，$k=4＞0$，
∴该函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小。
已知$2＜y＜4$，此时y为正数，对应第一象限的函数分支，即$x＞0$。
当$y=2$时，代入函数得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入函数得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$。
结合y随x增大而减小的性质，可得当$2＜y＜4$时，$1＜x＜2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.自变量取值范围求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，要先根据函数值的正负确定所在象限，再结合边界值推导自变量范围，避免忽略象限限制导致增减性用反的错误。
【难度系数】
0.8
3[2025陕西中考B卷]如图，过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于$A(m,n)$，$B(m-6,n-6)$两点，则$k$的值为
9
。答案
9 【解析】
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于A,B两点,
∴点$A(m,n)$和点$B(m-6,n-6)$关于原点对称,即A的横坐标与B的横坐标互为相反数,A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数,
∴$-m=m-6,-n=n-6$,
∴$m=3,n=3$,
∴$A(3,3)$.把$A(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$3=\frac{k}{3}$,解得$k=9$.故答案为9.
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于A,B两点,
∴点$A(m,n)$和点$B(m-6,n-6)$关于原点对称,即A的横坐标与B的横坐标互为相反数,A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数,
∴$-m=m-6,-n=n-6$,
∴$m=3,n=3$,
∴$A(3,3)$.把$A(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$3=\frac{k}{3}$,解得$k=9$.故答案为9.
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数图象是关于原点中心对称的图形，因此过原点的直线与它的两个交点必然关于原点对称；接下来利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，结合题目给出的A、B两点的坐标表达式，列出方程求解得到m、n的值，确定A点坐标后，代入反比例函数解析式即可计算出k的值。
【解析】
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于$A$、$B$两点，
∴点$A$与点$B$关于原点对称，关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数，
∴可列方程：$m+(m-6)=0$，$n+(n-6)=0$，
解得：$m=3$，$n=3$，即点$A$的坐标为$(3,3)$，
将$A(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{3}$，
解得$k=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的对称性；原点对称点的坐标特征；待定系数法求反比例函数系数
【点评】
本题属于反比例函数的常规基础题，解题关键是熟练掌握反比例函数的中心对称性，结合坐标对称的性质快速求解交点坐标，考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数图象是关于原点中心对称的图形，因此过原点的直线与它的两个交点必然关于原点对称；接下来利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，结合题目给出的A、B两点的坐标表达式，列出方程求解得到m、n的值，确定A点坐标后，代入反比例函数解析式即可计算出k的值。
【解析】
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于$A$、$B$两点，
∴点$A$与点$B$关于原点对称，关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数，
∴可列方程：$m+(m-6)=0$，$n+(n-6)=0$，
解得：$m=3$，$n=3$，即点$A$的坐标为$(3,3)$，
将$A(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{3}$，
解得$k=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的对称性；原点对称点的坐标特征；待定系数法求反比例函数系数
【点评】
本题属于反比例函数的常规基础题，解题关键是熟练掌握反比例函数的中心对称性，结合坐标对称的性质快速求解交点坐标，考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
4[2025山东德州中考]已知点$P(a,b)$在双曲线$y_1=\dfrac{1}{x}$上，点$M(6a,b),N(a,c)$在双曲线$y_2=\dfrac{k}{x}$上，若$|b-c|=2$，则$N$的坐标为
$(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$
。答案
$(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$ 【解析】
∵点$P(a,b)$在双曲线$y_1=\frac{1}{x}$上,
∴$ab=1$,
∴$b=\frac{1}{a}$.
∵点$M(6a,b),N(a,c)$在双曲线$y_2=\frac{k}{x}$上,
∴$6ab=ac=k$,
∴$ac=6$,
∴$c=\frac{6}{a}$.
∵$|b-c|=2$,
∴$\left|\frac{1}{a}-\frac{6}{a}\right|=2$,
∴$\frac{5}{|a|}=2$,
∴$|a|=\frac{5}{2}$,
∴$a=\pm\frac{5}{2}$.当$a=\frac{5}{2}$时,$c=\frac{12}{5}$,则$N(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$;当$a=-\frac{5}{2}$时,$c=-\frac{12}{5}$,则$N(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$,故N的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$.
∵点$P(a,b)$在双曲线$y_1=\frac{1}{x}$上,
∴$ab=1$,
∴$b=\frac{1}{a}$.
∵点$M(6a,b),N(a,c)$在双曲线$y_2=\frac{k}{x}$上,
∴$6ab=ac=k$,
∴$ac=6$,
∴$c=\frac{6}{a}$.
∵$|b-c|=2$,
∴$\left|\frac{1}{a}-\frac{6}{a}\right|=2$,
∴$\frac{5}{|a|}=2$,
∴$|a|=\frac{5}{2}$,
∴$a=\pm\frac{5}{2}$.当$a=\frac{5}{2}$时,$c=\frac{12}{5}$,则$N(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$;当$a=-\frac{5}{2}$时,$c=-\frac{12}{5}$,则$N(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$,故N的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$.
解析
【分析】
解题思路基于反比例函数的核心性质：若点(x,y)在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，则横纵坐标的乘积等于比例系数k，即$xy=k$。第一步，利用点P在$y_1=\dfrac{1}{x}$上，得到a与b的乘积关系，用含a的代数式表示b；第二步，利用点M、N均在$y_2=\dfrac{k}{x}$上，分别列出含k的等式，消去k后结合ab的关系，用含a的代数式表示c；第三步，将b、c代入$|b-c|=2$，解绝对值方程求出a的取值，再计算对应的c值，即可得到点N的坐标。
【解析】
∵点$P(a,b)$在双曲线$y_1=\dfrac{1}{x}$上，
∴$ab=1$，即$b=\dfrac{1}{a}$。
∵点$M(6a,b)$、$N(a,c)$在双曲线$y_2=\dfrac{k}{x}$上，
∴$k=6a· b = a· c$，
将$ab=1$代入得：$k=6×1=6=ac$，
∴$c=\dfrac{6}{a}$。
∵$|b-c|=2$，
∴$\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{6}{a}\right|=2$，
化简得$\left|-\dfrac{5}{a}\right|=2$，即$\dfrac{5}{|a|}=2$，
解得$|a|=\dfrac{5}{2}$，即$a=\dfrac{5}{2}$或$a=-\dfrac{5}{2}$。
当$a=\dfrac{5}{2}$时，$c=\dfrac{6}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{12}{5}$，此时$N(\dfrac{5}{2},\dfrac{12}{5})$；
当$a=-\dfrac{5}{2}$时，$c=\dfrac{6}{-\dfrac{5}{2}}=-\dfrac{12}{5}$，此时$N(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{12}{5})$。
【答案】
$(\dfrac{5}{2},\dfrac{12}{5})$或$(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{12}{5})$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征 2.绝对值方程解法 3.代数式代换求值
【点评】
本题侧重考查反比例函数性质的基础应用，解题的关键是灵活运用“反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k”建立变量关系，求解绝对值方程时注意正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路基于反比例函数的核心性质：若点(x,y)在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，则横纵坐标的乘积等于比例系数k，即$xy=k$。第一步，利用点P在$y_1=\dfrac{1}{x}$上，得到a与b的乘积关系，用含a的代数式表示b；第二步，利用点M、N均在$y_2=\dfrac{k}{x}$上，分别列出含k的等式，消去k后结合ab的关系，用含a的代数式表示c；第三步，将b、c代入$|b-c|=2$，解绝对值方程求出a的取值，再计算对应的c值，即可得到点N的坐标。
【解析】
∵点$P(a,b)$在双曲线$y_1=\dfrac{1}{x}$上，
∴$ab=1$，即$b=\dfrac{1}{a}$。
∵点$M(6a,b)$、$N(a,c)$在双曲线$y_2=\dfrac{k}{x}$上，
∴$k=6a· b = a· c$，
将$ab=1$代入得：$k=6×1=6=ac$，
∴$c=\dfrac{6}{a}$。
∵$|b-c|=2$，
∴$\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{6}{a}\right|=2$，
化简得$\left|-\dfrac{5}{a}\right|=2$，即$\dfrac{5}{|a|}=2$，
解得$|a|=\dfrac{5}{2}$，即$a=\dfrac{5}{2}$或$a=-\dfrac{5}{2}$。
当$a=\dfrac{5}{2}$时，$c=\dfrac{6}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{12}{5}$，此时$N(\dfrac{5}{2},\dfrac{12}{5})$；
当$a=-\dfrac{5}{2}$时，$c=\dfrac{6}{-\dfrac{5}{2}}=-\dfrac{12}{5}$，此时$N(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{12}{5})$。
【答案】
$(\dfrac{5}{2},\dfrac{12}{5})$或$(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{12}{5})$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征 2.绝对值方程解法 3.代数式代换求值
【点评】
本题侧重考查反比例函数性质的基础应用，解题的关键是灵活运用“反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k”建立变量关系，求解绝对值方程时注意正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5[2025宁夏中考]函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$和$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的部分图象如图所示，点A在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，过点A作$AB// y$轴交x轴于点C，交$y=\frac{k_2}{x}$的图象于点B。若$AC=3BC$，则$\frac{k_1}{k_2}$的值为（
A.-3
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
A
）A.-3
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
答案
A 【解析】如图
,连接OA,OB.∵$AB// y$轴,$AC=3BC$,
∴$S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$.
∵$AB⊥ OC$,点A在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上,$k_1＞0$,
∴$S_{△ OAC}=\frac{k_1}{2}$,
∴$S_{△ OBC}=\frac{k_1}{6}$.又
∵点B在$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上,$OC⊥ AB$,
∴$\frac{1}{2}|k_2|=\frac{k_1}{6}$.
∵$k_2＜0$,
∴$-\frac{k_2}{2}=\frac{k_1}{6}$,
∴$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{6}{2}=-3$.故选A.
解析
【分析】
解决本题可先结合反比例函数k的几何意义分析：首先由AB//y轴可得AB垂直x轴，△OAC和△OBC同底为OC，高分别为AC、BC，根据AC=3BC可得两个三角形的面积比为3:1；再分别用$k_1$、$k_2$表示两个三角形的面积，结合图象判断$k_1$、$k_2$的正负去掉绝对值，即可推导得到$\frac{k_1}{k_2}$的比值。
【解析】
如图，连接OA，OB。
∵$AB// y$轴，$AC=3BC$，
∴$S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$。
∵$AB⊥ OC$，点A在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上，$k_1＞0$，
∴$S_{△ OAC}=\frac{k_1}{2}$，
∴$S_{△ OBC}=\frac{k_1}{6}$。
又
∵点B在$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，$OC⊥ AB$，
∴$\frac{1}{2}|k_2|=\frac{k_1}{6}$。
∵$k_2＜0$，
∴$-\frac{k_2}{2}=\frac{k_1}{6}$，
∴$\frac{k_1}{k_2}=-3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，解题关键是通过线段比例得到两个三角形的面积关系，再结合反比例函数k的几何意义建立等式，解题时需注意根据函数图象所在象限判断k的正负，避免忽略符号选错答案。
【难度系数】
0.7
解决本题可先结合反比例函数k的几何意义分析：首先由AB//y轴可得AB垂直x轴，△OAC和△OBC同底为OC，高分别为AC、BC，根据AC=3BC可得两个三角形的面积比为3:1；再分别用$k_1$、$k_2$表示两个三角形的面积，结合图象判断$k_1$、$k_2$的正负去掉绝对值，即可推导得到$\frac{k_1}{k_2}$的比值。
【解析】
如图
，连接OA，OB。∵$AB// y$轴，$AC=3BC$，
∴$S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$。
∵$AB⊥ OC$，点A在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上，$k_1＞0$，
∴$S_{△ OAC}=\frac{k_1}{2}$，
∴$S_{△ OBC}=\frac{k_1}{6}$。
又
∵点B在$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，$OC⊥ AB$，
∴$\frac{1}{2}|k_2|=\frac{k_1}{6}$。
∵$k_2＜0$，
∴$-\frac{k_2}{2}=\frac{k_1}{6}$，
∴$\frac{k_1}{k_2}=-3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，解题关键是通过线段比例得到两个三角形的面积关系，再结合反比例函数k的几何意义建立等式，解题时需注意根据函数图象所在象限判断k的正负，避免忽略符号选错答案。
【难度系数】
0.7
6[2025 黑龙江绥化中考]如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过A,C两点,过点A作$AB ⊥ y$轴于点B,过点C作$CD ⊥ x$轴于点D,连接OA,OC,AC.若$S_{△ ACO}=4$,$CD:OB=1:3$,则k的值是 (
A.-12
B.-9
C.-6
D.-3
D
)A.-12
B.-9
C.-6
D.-3
答案
D 【解析】延长DC,BA交于点E,如图
.设$CD=a(a＞0)$.∵$CD:OB=1:3$,
∴$OB=3a$.
∵$AB⊥ y$轴,$CD⊥ x$轴,
∴点A的纵坐标为$3a$,点C的纵坐标为a,
∴$a=\frac{k}{x_C}$,$3a=\frac{k}{x_A}$,
∴$x_C=\frac{k}{a}$,$x_A=\frac{k}{3a}$,
∴$OD=-\frac{k}{a}$,$AB=-\frac{k}{3a}$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过A,C两点,
∴$S_{△ DOC}=S_{△ AOB}=-\frac{k}{2}$.
∵$∠ EDO=∠ DOB=∠ EBO=90°$,
∴四边形OBED是矩形,
∴$∠ E=90°$,$BE=OD=-\frac{k}{a}$,$DE=OB=3a$,
∴$AE=BE-AB=-\frac{2k}{3a}$,$CE=DE-CD=2a$,
∴$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}AE· CE=-\frac{2k}{3}$,$S_{矩形OBED}=OD· OB=-\frac{k}{a}×3a=-3k$.
∵$S_{△ ACO}=4$,
∴$S_{矩形OBED}-S_{△ DOC}-S_{△ AOB}-S_{△ AEC}=S_{△ ACO}=4$,即$-3k-(-\frac{k}{2})-(-\frac{k}{2})-(-\frac{2k}{3})=4$,
∴$k=-3$,故选D.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的综合应用，解题思路如下：1. 结合已知的线段比例$CD:OB=1:3$，可设参数表示两条线段长度，进而得到A、C两点的纵坐标；2. 利用反比例函数图象上点的坐标特征，用参数和k表示A、C的横坐标，注意$x＜0$的范围，处理长度和坐标的符号关系；3. 直接求$△ ACO$的面积较困难，可通过作辅助线延长DC、BA交于点E，构造矩形OBED，用割补法将$△ ACO$的面积转化为矩形面积减去周围三个直角三角形的面积；4. 结合反比例函数k的几何意义，以及各部分面积的表达式列方程，即可求出k的值，注意k的符号为负。
【解析】
延长DC，BA交于点E，如图。
设$CD=a(a＞0)$，
∵$CD:OB=1:3$，
∴$OB=3a$。
∵$AB⊥y$轴，$CD⊥x$轴，
∴点A的纵坐标为$3a$，点C的纵坐标为$a$。
将A、C坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：$a=\frac{k}{x_C}$，$3a=\frac{k}{x_A}$，
解得$x_C=\frac{k}{a}$，$x_A=\frac{k}{3a}$。
∵$x＜0$，
∴线段长度为坐标绝对值：$OD=-x_C=-\frac{k}{a}$，$AB=-x_A=-\frac{k}{3a}$。
由反比例函数$k$的几何意义可得：$S_{△ DOC}=S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=-\frac{k}{2}$（$k＜0$）。
∵$∠EDO=∠DOB=∠EBO=90°$，
∴四边形OBED是矩形，
∴$∠E=90°$，$BE=OD=-\frac{k}{a}$，$DE=OB=3a$，
∴$AE=BE-AB=-\frac{k}{a}-(-\frac{k}{3a})=-\frac{2k}{3a}$，$CE=DE-CD=3a-a=2a$，
∴$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}AE· CE=\frac{1}{2}×(-\frac{2k}{3a})×2a=-\frac{2k}{3}$，$S_{矩形OBED}=OD· OB=-\frac{k}{a}×3a=-3k$。
∵$S_{△ ACO}=4$，且$S_{△ ACO}=S_{矩形OBED}-S_{△ DOC}-S_{△ AOB}-S_{△ AEC}$，
代入得：$-3k-(-\frac{k}{2})-(-\frac{k}{2})-(-\frac{2k}{3})=4$，
解得$k=-3$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数的综合题，解题关键是通过构造辅助线将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，结合反比例函数的性质建立方程求解，解题时需注意反比例函数所在象限对应的k的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
本题考查反比例函数的综合应用，解题思路如下：1. 结合已知的线段比例$CD:OB=1:3$，可设参数表示两条线段长度，进而得到A、C两点的纵坐标；2. 利用反比例函数图象上点的坐标特征，用参数和k表示A、C的横坐标，注意$x＜0$的范围，处理长度和坐标的符号关系；3. 直接求$△ ACO$的面积较困难，可通过作辅助线延长DC、BA交于点E，构造矩形OBED，用割补法将$△ ACO$的面积转化为矩形面积减去周围三个直角三角形的面积；4. 结合反比例函数k的几何意义，以及各部分面积的表达式列方程，即可求出k的值，注意k的符号为负。
【解析】
延长DC，BA交于点E，如图
。设$CD=a(a＞0)$，
∵$CD:OB=1:3$，
∴$OB=3a$。
∵$AB⊥y$轴，$CD⊥x$轴，
∴点A的纵坐标为$3a$，点C的纵坐标为$a$。
将A、C坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：$a=\frac{k}{x_C}$，$3a=\frac{k}{x_A}$，
解得$x_C=\frac{k}{a}$，$x_A=\frac{k}{3a}$。
∵$x＜0$，
∴线段长度为坐标绝对值：$OD=-x_C=-\frac{k}{a}$，$AB=-x_A=-\frac{k}{3a}$。
由反比例函数$k$的几何意义可得：$S_{△ DOC}=S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=-\frac{k}{2}$（$k＜0$）。
∵$∠EDO=∠DOB=∠EBO=90°$，
∴四边形OBED是矩形，
∴$∠E=90°$，$BE=OD=-\frac{k}{a}$，$DE=OB=3a$，
∴$AE=BE-AB=-\frac{k}{a}-(-\frac{k}{3a})=-\frac{2k}{3a}$，$CE=DE-CD=3a-a=2a$，
∴$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}AE· CE=\frac{1}{2}×(-\frac{2k}{3a})×2a=-\frac{2k}{3}$，$S_{矩形OBED}=OD· OB=-\frac{k}{a}×3a=-3k$。
∵$S_{△ ACO}=4$，且$S_{△ ACO}=S_{矩形OBED}-S_{△ DOC}-S_{△ AOB}-S_{△ AEC}$，
代入得：$-3k-(-\frac{k}{2})-(-\frac{k}{2})-(-\frac{2k}{3})=4$，
解得$k=-3$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数的综合题，解题关键是通过构造辅助线将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，结合反比例函数的性质建立方程求解，解题时需注意反比例函数所在象限对应的k的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
7 [2025吉林长春中考]在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当$25 ≤ t ≤ 40$时，P的值可以为 (
A.24
B.27
C.45
D.50
C
)A.24
B.27
C.45
D.50
答案
C 【解析】设P关于t的函数表达式为$P=\frac{W}{t}$.代入$(60,20)$,得$20=\frac{W}{60}$,解得$W=1200$,
∴P关于t的函数表达式为$P=\frac{1200}{t}$.当$t=25$时,$P=\frac{1200}{25}=48$;当$t=40$时,$P=\frac{1200}{40}=30$.
∵$1200＞0$,
∴在第一象限内,P随着t的增大而减小,
∴$25≤ t≤40$时,$30≤ P≤48$,
∴P的值可以为45,故选C.
∴P关于t的函数表达式为$P=\frac{1200}{t}$.当$t=25$时,$P=\frac{1200}{25}=48$;当$t=40$时,$P=\frac{1200}{40}=30$.
∵$1200＞0$,
∴在第一象限内,P随着t的增大而减小,
∴$25≤ t≤40$时,$30≤ P≤48$,
∴P的值可以为45,故选C.
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据功率P与做功时间t成反比例的关系，设出反比例函数解析式；再利用函数图像上已知的点(60,20)，用待定系数法求出功W的值，得到完整的函数解析式；最后根据反比例函数的增减性，计算t=25和t=40对应的P值，确定t在25≤t≤40范围内P的取值范围，对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设P关于t的函数表达式为$P=\frac{W}{t}$（W为常数，W≠0）。
将点$(60,20)$代入解析式，得$20=\frac{W}{60}$，解得$W=1200$，
因此P关于t的函数表达式为$P=\frac{1200}{t}$（t＞0）。
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$；当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
∵$1200＞0$，
∴在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当$25≤t≤40$时，$30≤P≤48$。
观察选项，只有45在这个取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理中的功率公式考查反比例函数的实际应用，解题核心是先求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性确定因变量的取值范围，是反比例函数应用类的典型题目。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据功率P与做功时间t成反比例的关系，设出反比例函数解析式；再利用函数图像上已知的点(60,20)，用待定系数法求出功W的值，得到完整的函数解析式；最后根据反比例函数的增减性，计算t=25和t=40对应的P值，确定t在25≤t≤40范围内P的取值范围，对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设P关于t的函数表达式为$P=\frac{W}{t}$（W为常数，W≠0）。
将点$(60,20)$代入解析式，得$20=\frac{W}{60}$，解得$W=1200$，
因此P关于t的函数表达式为$P=\frac{1200}{t}$（t＞0）。
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$；当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
∵$1200＞0$，
∴在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当$25≤t≤40$时，$30≤P≤48$。
观察选项，只有45在这个取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理中的功率公式考查反比例函数的实际应用，解题核心是先求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性确定因变量的取值范围，是反比例函数应用类的典型题目。
【难度系数】
0.7
8[宁夏中考]给某气球充满一定质量的气体,在温度不变时,气球内气体的气压$p$(kPa)是气体体积$V$(m³)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)当气球内的气压超过150 kPa时,气球会爆炸,若将气球近似看成一个球体,试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$,π取3);
(2)请你利用$p$与$V$的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.
(1)当气球内的气压超过150 kPa时,气球会爆炸,若将气球近似看成一个球体,试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$,π取3);
(2)请你利用$p$与$V$的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.
答案
(1)由题意设$p=\frac{k}{V}$,气球的半径为r m,根据图象可得$k=pV=120×0.04=4.8$,
∴$p=\frac{4.8}{V}$,
∴当$p=150$时,$V=\frac{4.8}{150}=0.032$.令$\frac{4}{3}×3r^3=0.032$,解得$r=0.2$.
∵$k=4.8＞0$,
∴p随V的增大而减小,
∴要使气球不会爆炸,则$V≥0.032$,此时$r≥0.2$,
∴气球的半径至少为0.2 m时,气球不会爆炸.(2)由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大导致爆胎.
∴$p=\frac{4.8}{V}$,
∴当$p=150$时,$V=\frac{4.8}{150}=0.032$.令$\frac{4}{3}×3r^3=0.032$,解得$r=0.2$.
∵$k=4.8＞0$,
∴p随V的增大而减小,
∴要使气球不会爆炸,则$V≥0.032$,此时$r≥0.2$,
∴气球的半径至少为0.2 m时,气球不会爆炸.(2)由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大导致爆胎.
解析
【分析】
(1)本题是反比例函数的实际应用问题，首先根据“温度不变时气压p是体积V的反比例函数”设出函数解析式，再利用图象上给出的V=0.04m³时p=120kPa的条件，求出反比例函数的系数k，得到p与V的函数关系。要使气球不爆炸，需p≤150kPa，结合反比例函数的增减性可得到V的最小值，最后代入球体体积公式即可求出半径的最小值。
(2)结合反比例函数中p随V的变化规律，联系超载时轮胎体积的变化，推导气压的变化即可解释爆胎原因。
【解析】
(1)设p与V的函数解析式为$ p=\frac{k}{V} $（k≠0），将V=0.04m³，p=120kPa代入解析式得：
$ k = pV = 120×0.04 = 4.8 $，
∴p与V的函数解析式为$ p=\frac{4.8}{V} $。
当气球刚好要爆炸时p=150kPa，代入解析式得：
$ V=\frac{4.8}{150}=0.032\ \mathrm{m}^3 $。
∵k=4.8＞0，在V＞0时，p随V的增大而减小，
∴要使气球不爆炸（即p≤150kPa），则需气体体积V≥0.032m³。
设气球半径为r m，将V=0.032、π=3代入球体体积公式$ V=\frac{4}{3}π r^3 $得：
$ \frac{4}{3}×3× r^3 = 0.032 $，
化简得$ 4r^3=0.032 $，解得$ r=0.2 $，
∴当V≥0.032时，r≥0.2，即气球半径至少为0.2m时不会爆炸。
(2)车辆超载时，轮胎受到的压力变大，轮胎内气体被压缩，体积V变小，温度不变的情况下，根据$ p=\frac{k}{V} $，胎内气体的气压p会增大，当气压超过轮胎可承受的限值时，就会发生爆胎。
【答案】
(1)气球的半径至少为0.2 m时，气球不会爆炸；
(2)车辆超载时，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，球体体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际运用，既需要掌握反比例函数解析式的求解与性质应用，也需要结合生活常识分析问题，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1)本题是反比例函数的实际应用问题，首先根据“温度不变时气压p是体积V的反比例函数”设出函数解析式，再利用图象上给出的V=0.04m³时p=120kPa的条件，求出反比例函数的系数k，得到p与V的函数关系。要使气球不爆炸，需p≤150kPa，结合反比例函数的增减性可得到V的最小值，最后代入球体体积公式即可求出半径的最小值。
(2)结合反比例函数中p随V的变化规律，联系超载时轮胎体积的变化，推导气压的变化即可解释爆胎原因。
【解析】
(1)设p与V的函数解析式为$ p=\frac{k}{V} $（k≠0），将V=0.04m³，p=120kPa代入解析式得：
$ k = pV = 120×0.04 = 4.8 $，
∴p与V的函数解析式为$ p=\frac{4.8}{V} $。
当气球刚好要爆炸时p=150kPa，代入解析式得：
$ V=\frac{4.8}{150}=0.032\ \mathrm{m}^3 $。
∵k=4.8＞0，在V＞0时，p随V的增大而减小，
∴要使气球不爆炸（即p≤150kPa），则需气体体积V≥0.032m³。
设气球半径为r m，将V=0.032、π=3代入球体体积公式$ V=\frac{4}{3}π r^3 $得：
$ \frac{4}{3}×3× r^3 = 0.032 $，
化简得$ 4r^3=0.032 $，解得$ r=0.2 $，
∴当V≥0.032时，r≥0.2，即气球半径至少为0.2m时不会爆炸。
(2)车辆超载时，轮胎受到的压力变大，轮胎内气体被压缩，体积V变小，温度不变的情况下，根据$ p=\frac{k}{V} $，胎内气体的气压p会增大，当气压超过轮胎可承受的限值时，就会发生爆胎。
【答案】
(1)气球的半径至少为0.2 m时，气球不会爆炸；
(2)车辆超载时，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，球体体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际运用，既需要掌握反比例函数解析式的求解与性质应用，也需要结合生活常识分析问题，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
