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8 下列式子变形正确的是 （
A.$\frac{1 - a}{-a} = \frac{1 + a}{a}$
B.$\frac{1 - a}{-a} = -\frac{1 - a}{a}$
C.$\frac{1 - a}{-a} = \frac{-1 - a}{a}$
D.$\frac{1 - a}{-a} = \frac{1 - a}{a}$
B
）A.$\frac{1 - a}{-a} = \frac{1 + a}{a}$
B.$\frac{1 - a}{-a} = -\frac{1 - a}{a}$
C.$\frac{1 - a}{-a} = \frac{-1 - a}{a}$
D.$\frac{1 - a}{-a} = \frac{1 - a}{a}$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查分式的符号变换规则，解题时首先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，任意改变其中两处，分式的值保持不变。我们可以先对原式$\frac{1 - a}{-a}$进行变形，再逐一对比各个选项判断正误，也可以直接对每个选项按照符号法则验证是否和原式相等。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
对原式$\frac{1 - a}{-a}$变形：分母的符号为负，将分母的负号移到分式本身的前面，相当于改变了分母和分式本身两处的符号，分式值不变，可得：
$\frac{1 - a}{-a} = -\frac{1 - a}{a}$
逐一分析选项：
A选项：变形后分子变为$1+a$，仅改变了分母的符号，分子符号未对应调整，与原式值不相等，错误；
B选项：变形结果与推导结果一致，正确；
C选项：变形后分子变为$-1 -a$，不符合符号变换规则，与原式值不相等，错误；
D选项：仅去掉了分母的负号，分式本身符号未调整，与原式值不相等，错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，分式符号法则
【点评】
本题是分式符号变换的基础题型，解题核心是熟练掌握分式三处符号的变换规则，避免出现仅改变一处符号导致分式值变化的错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式的符号变换规则，解题时首先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，任意改变其中两处，分式的值保持不变。我们可以先对原式$\frac{1 - a}{-a}$进行变形，再逐一对比各个选项判断正误，也可以直接对每个选项按照符号法则验证是否和原式相等。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
对原式$\frac{1 - a}{-a}$变形：分母的符号为负，将分母的负号移到分式本身的前面，相当于改变了分母和分式本身两处的符号，分式值不变，可得：
$\frac{1 - a}{-a} = -\frac{1 - a}{a}$
逐一分析选项：
A选项：变形后分子变为$1+a$，仅改变了分母的符号，分子符号未对应调整，与原式值不相等，错误；
B选项：变形结果与推导结果一致，正确；
C选项：变形后分子变为$-1 -a$，不符合符号变换规则，与原式值不相等，错误；
D选项：仅去掉了分母的负号，分式本身符号未调整，与原式值不相等，错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，分式符号法则
【点评】
本题是分式符号变换的基础题型，解题核心是熟练掌握分式三处符号的变换规则，避免出现仅改变一处符号导致分式值变化的错误。
【难度系数】
0.8
9 下列各式从左到右的变形正确的是 （
A.$\frac{x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + y} = \frac{2x - y}{x + 2y}$
B.$\frac{0.2a + b}{a + 0.2b} = \frac{2a + b}{a + 2b}$
C.$-\frac{x + 1}{x - y} = \frac{x - 1}{x - y}$
D.$\frac{a + b}{a - b} = \frac{a - b}{a + b}$
A
）A.$\frac{x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + y} = \frac{2x - y}{x + 2y}$
B.$\frac{0.2a + b}{a + 0.2b} = \frac{2a + b}{a + 2b}$
C.$-\frac{x + 1}{x - y} = \frac{x - 1}{x - y}$
D.$\frac{a + b}{a - b} = \frac{a - b}{a + b}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。接下来逐一验证每个选项的变形是否符合该性质：注意同乘一个数时分子分母的每一项都要参与运算，不能漏乘；涉及符号变形时，负号作用于分子或分母的每一项，不能只改变部分项的符号。
【解析】
根据分式的基本性质逐一判断：
1. 选项A：将原式分子、分母同时乘以2（2≠0，符合性质要求）：
分子：$(x-\frac{1}{2}y)×2=2x - y$，分母：$(\frac{1}{2}x + y)×2=x + 2y$，变形后为$\frac{2x - y}{x + 2y}$，和右边相等，变形正确。
2. 选项B：将原式分子、分母同时乘以10：
分子：$(0.2a + b)×10=2a + 10b$，分母：$(a + 0.2b)×10=10a + 2b$，变形后应为$\frac{2a + 10b}{10a + 2b}$，不等于$\frac{2a + b}{a + 2b}$，变形错误。
3. 选项C：左边的负号作用于整个分子，即$-\frac{x + 1}{x - y}=\frac{-(x + 1)}{x - y}=\frac{-x - 1}{x - y}$，不等于$\frac{x - 1}{x - y}$，变形错误。
4. 选项D：$\frac{a + b}{a - b}$和$\frac{a - b}{a + b}$互为倒数，仅在特殊情况下相等，不属于恒等变形，变形错误。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式的符号运算
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是运算时漏乘分子或分母的某一项，以及符号变形时只改变部分项的符号，熟练掌握分式基本性质的运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。接下来逐一验证每个选项的变形是否符合该性质：注意同乘一个数时分子分母的每一项都要参与运算，不能漏乘；涉及符号变形时，负号作用于分子或分母的每一项，不能只改变部分项的符号。
【解析】
根据分式的基本性质逐一判断：
1. 选项A：将原式分子、分母同时乘以2（2≠0，符合性质要求）：
分子：$(x-\frac{1}{2}y)×2=2x - y$，分母：$(\frac{1}{2}x + y)×2=x + 2y$，变形后为$\frac{2x - y}{x + 2y}$，和右边相等，变形正确。
2. 选项B：将原式分子、分母同时乘以10：
分子：$(0.2a + b)×10=2a + 10b$，分母：$(a + 0.2b)×10=10a + 2b$，变形后应为$\frac{2a + 10b}{10a + 2b}$，不等于$\frac{2a + b}{a + 2b}$，变形错误。
3. 选项C：左边的负号作用于整个分子，即$-\frac{x + 1}{x - y}=\frac{-(x + 1)}{x - y}=\frac{-x - 1}{x - y}$，不等于$\frac{x - 1}{x - y}$，变形错误。
4. 选项D：$\frac{a + b}{a - b}$和$\frac{a - b}{a + b}$互为倒数，仅在特殊情况下相等，不属于恒等变形，变形错误。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式的符号运算
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是运算时漏乘分子或分母的某一项，以及符号变形时只改变部分项的符号，熟练掌握分式基本性质的运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
10 填空：
(1) $\frac{b}{a}=\frac{2a^2b}{(\quad)}$；
(2) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + ab}=\frac{(\quad)}{a}$；
(3) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 9}=\frac{x}{(\quad)}$。
(1) $\frac{b}{a}=\frac{2a^2b}{(\quad)}$；
(2) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + ab}=\frac{(\quad)}{a}$；
(3) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 9}=\frac{x}{(\quad)}$。
答案
(1) $2a^3$ (2) $a-b$ (3) $x+3$
解析
【分析】
这三道题均考查分式的基本性质的应用，解题核心是牢记“分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”。解题步骤：①先观察已知的分子或分母发生了什么运算变化；②若分子分母是多项式，先因式分解便于观察变化；③再根据分式基本性质对对应的分母或分子做相同运算，即可求出括号内的式子，注意运算的整式不能为0。
【解析】
(1) 观察左边分式分子为$b$，右边分式分子为$2a^2b$，可知分子乘了$2a^2$，根据分式的基本性质，分母$a$也要乘$2a^2$，因此括号内的式子为$a×2a^2=2a^3$；
(2) 先对左边分式的分子、分母因式分解：分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分母$a^2+ab=a(a+b)$，左边分式可化为$\frac{(a+b)(a-b)}{a(a+b)}$。观察分母从$a(a+b)$变为右边的$a$，可知分母除以了不为0的$a+b$，根据分式的基本性质，分子也要除以$a+b$，因此括号内的式子为$\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$；
(3) 先对左边分式的分子、分母因式分解：分子$x^2-3x=x(x-3)$，分母$x^2-9=(x-3)(x+3)$，左边分式可化为$\frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}$。观察分子从$x(x-3)$变为右边的$x$，可知分子除以了不为0的$x-3$，根据分式的基本性质，分母也要除以$x-3$，因此括号内的式子为$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$。
【答案】
(1) $2a^3$；(2) $a-b$；(3) $x+3$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题型，解题的关键是准确判断分子或分母的变化规律，遇到多项式形式的分子分母时，先因式分解可快速找到公因式，进而明确运算方式，运算时要注意保证所乘除的整式不为0，否则分式无意义。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查分式的基本性质的应用，解题核心是牢记“分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”。解题步骤：①先观察已知的分子或分母发生了什么运算变化；②若分子分母是多项式，先因式分解便于观察变化；③再根据分式基本性质对对应的分母或分子做相同运算，即可求出括号内的式子，注意运算的整式不能为0。
【解析】
(1) 观察左边分式分子为$b$，右边分式分子为$2a^2b$，可知分子乘了$2a^2$，根据分式的基本性质，分母$a$也要乘$2a^2$，因此括号内的式子为$a×2a^2=2a^3$；
(2) 先对左边分式的分子、分母因式分解：分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分母$a^2+ab=a(a+b)$，左边分式可化为$\frac{(a+b)(a-b)}{a(a+b)}$。观察分母从$a(a+b)$变为右边的$a$，可知分母除以了不为0的$a+b$，根据分式的基本性质，分子也要除以$a+b$，因此括号内的式子为$\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$；
(3) 先对左边分式的分子、分母因式分解：分子$x^2-3x=x(x-3)$，分母$x^2-9=(x-3)(x+3)$，左边分式可化为$\frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}$。观察分子从$x(x-3)$变为右边的$x$，可知分子除以了不为0的$x-3$，根据分式的基本性质，分母也要除以$x-3$，因此括号内的式子为$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$。
【答案】
(1) $2a^3$；(2) $a-b$；(3) $x+3$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题型，解题的关键是准确判断分子或分母的变化规律，遇到多项式形式的分子分母时，先因式分解可快速找到公因式，进而明确运算方式，运算时要注意保证所乘除的整式不为0，否则分式无意义。
【难度系数】
0.8
11（易错题）若$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，则x的取值范围是
$x≠-1$
。答案
$x≠-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式的相关规则：一是分式有意义的前提是分母不为0，二是分式的基本性质要求分子分母同乘的整式不能为0，否则分式的值会发生变化或分式无意义。观察等式可知，右侧分式是左侧分式的分子、分母同时乘(x+1)得到的，首先左侧分式有意义说明2a≠0，我们只需要保证同乘的(x+1)不为0，同时右侧分式的分母也不为0，就能推导x的取值范围。
【解析】
要使等式$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需满足以下要求：
1. 等式两边的分式都有意义，即分母不为0：
左边$\frac{1}{2a}$有意义，因此$2a≠0$；
右边$\frac{x+1}{2a(x+1)}$有意义，因此$2a(x+1)≠0$，结合$2a≠0$，可得$x+1≠0$。
2. 根据分式的基本性质，分子分母同乘的整式不能为0，即所乘的$(x+1)≠0$。
综上可得$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的易错题，解题时容易忽略分子分母同乘的整式不为0的限制，以及分母不为0的隐含要求，牢记分式相关的限制条件是避免出错的核心。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆分式的相关规则：一是分式有意义的前提是分母不为0，二是分式的基本性质要求分子分母同乘的整式不能为0，否则分式的值会发生变化或分式无意义。观察等式可知，右侧分式是左侧分式的分子、分母同时乘(x+1)得到的，首先左侧分式有意义说明2a≠0，我们只需要保证同乘的(x+1)不为0，同时右侧分式的分母也不为0，就能推导x的取值范围。
【解析】
要使等式$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需满足以下要求：
1. 等式两边的分式都有意义，即分母不为0：
左边$\frac{1}{2a}$有意义，因此$2a≠0$；
右边$\frac{x+1}{2a(x+1)}$有意义，因此$2a(x+1)≠0$，结合$2a≠0$，可得$x+1≠0$。
2. 根据分式的基本性质，分子分母同乘的整式不能为0，即所乘的$(x+1)≠0$。
综上可得$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的易错题，解题时容易忽略分子分母同乘的整式不为0的限制，以及分母不为0的隐含要求，牢记分式相关的限制条件是避免出错的核心。
【难度系数】
0.7
12 已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，则分式$\frac{ab - bc + ac}{a^2 + b^2 + c^2}$的值为
$\frac{7}{50}$
答案
$\frac{7}{50}$
【解析】设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$,则$a=3k,b=4k,c=5k$.
$\therefore \frac{ab-bc+ac}{a^2+b^2+c^2}=\frac{3k· 4k-4k· 5k+3k· 5k}{(3k)^2+(4k)^2+(5k)^2}=\frac{7k^2}{50k^2}=\frac{7}{50}.$
【解析】设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$,则$a=3k,b=4k,c=5k$.
$\therefore \frac{ab-bc+ac}{a^2+b^2+c^2}=\frac{3k· 4k-4k· 5k+3k· 5k}{(3k)^2+(4k)^2+(5k)^2}=\frac{7k^2}{50k^2}=\frac{7}{50}.$
解析
【分析】
本题是已知三个量的连比求分式值的问题，解题思路清晰：首先对于连比相等的形式，常用引入参数的方法统一变量，令三个相等的比值等于参数k，即可将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，把多元问题转化为一元问题；再将用k表示的a、b、c代入待求分式，分别计算分子、分母的结果，最后约去公共的非零因式k²，就能得到分式的具体数值。
【解析】
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$，保证分式有意义），则$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$。
将$a=3k$、$b=4k$、$c=5k$代入分式得：
$\begin{aligned}\frac{ab - bc + ac}{a^2 + b^2 + c^2}&=\frac{3k·4k - 4k·5k + 3k·5k}{(3k)^2 + (4k)^2 + (5k)^2}\\&=\frac{12k^2 - 20k^2 + 15k^2}{9k^2 + 16k^2 + 25k^2}\\&=\frac{7k^2}{50k^2}\\&=\frac{7}{50}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{7}{50}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值，参数法解题
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，核心考点是连比问题的处理方法，解题关键是熟练掌握设参数的技巧，将多个未知量转化为同一个参数表示，代入化简后消去参数即可得到结果，计算时注意整式的乘法和合并同类项不要出错。
【难度系数】
0.8
本题是已知三个量的连比求分式值的问题，解题思路清晰：首先对于连比相等的形式，常用引入参数的方法统一变量，令三个相等的比值等于参数k，即可将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，把多元问题转化为一元问题；再将用k表示的a、b、c代入待求分式，分别计算分子、分母的结果，最后约去公共的非零因式k²，就能得到分式的具体数值。
【解析】
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$，保证分式有意义），则$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$。
将$a=3k$、$b=4k$、$c=5k$代入分式得：
$\begin{aligned}\frac{ab - bc + ac}{a^2 + b^2 + c^2}&=\frac{3k·4k - 4k·5k + 3k·5k}{(3k)^2 + (4k)^2 + (5k)^2}\\&=\frac{12k^2 - 20k^2 + 15k^2}{9k^2 + 16k^2 + 25k^2}\\&=\frac{7k^2}{50k^2}\\&=\frac{7}{50}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{7}{50}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值，参数法解题
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，核心考点是连比问题的处理方法，解题关键是熟练掌握设参数的技巧，将多个未知量转化为同一个参数表示，代入化简后消去参数即可得到结果，计算时注意整式的乘法和合并同类项不要出错。
【难度系数】
0.8
13 不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中的各项分别按$x$的次数从高到低的顺序排列，并分别把最高次项的系数化为正数：
(1) $\frac{2 - x}{-x^2 + 3}$；
(2) $\frac{-x^3 + x^2 - 1}{1 - x^2 - x^3}$；
(3) $-\frac{2x - 3x^2 + 1}{-4 + 5x + x^2}$。
(1) $\frac{2 - x}{-x^2 + 3}$；
(2) $\frac{-x^3 + x^2 - 1}{1 - x^2 - x^3}$；
(3) $-\frac{2x - 3x^2 + 1}{-4 + 5x + x^2}$。
答案
(1) $\frac{x-2}{x^2-3}$ (2) $\frac{x^3-x^2+1}{x^3+x^2-1}$ (3) $\frac{3x^2-2x-1}{x^2+5x-4}$
解析
【分析】
解题分两个核心步骤：①先将分子、分母的所有项按x的次数从高到低（降幂）排列；②观察分子、分母最高次项的系数，若系数为负数，可根据分式的符号规律（改变分式本身、分子、分母三者中任意两个的符号，分式的值不变），给分子或分母整体提取负号，将最高次项系数化为正数，全程保证分式的值不变。
【解析】
(1) 对$\frac{2 - x}{-x^2 + 3}$变形：
第一步按x降幂排列分子、分母：$\frac{-x + 2}{-x^2 + 3}$；
第二步分别给分子、分母提取负号：$\frac{-(x - 2)}{-(x^2 - 3)}$，根据分式符号法则，分子分母的负号抵消，得$\frac{x - 2}{x^2 - 3}$。
(2) 对$\frac{-x^3 + x^2 - 1}{1 - x^2 - x^3}$变形：
第一步按x降幂排列分子、分母：$\frac{-x^3 + x^2 - 1}{-x^3 - x^2 + 1}$；
第二步分别给分子、分母提取负号：$\frac{-(x^3 - x^2 + 1)}{-(x^3 + x^2 - 1)}$，分子分母的负号抵消，得$\frac{x^3 - x^2 + 1}{x^3 + x^2 - 1}$。
(3) 对$-\frac{2x - 3x^2 + 1}{-4 + 5x + x^2}$变形：
第一步按x降幂排列分子、分母：$-\frac{-3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 5x - 4}$；
第二步给分子提取负号：$-\frac{-(3x^2 - 2x - 1)}{x^2 + 5x - 4}$，分子的负号与分式本身的负号抵消，得$\frac{3x^2 - 2x - 1}{x^2 + 5x - 4}$。
【答案】
(1) $\frac{x-2}{x^2-3}$ (2) $\frac{x^3-x^2+1}{x^3+x^2-1}$ (3) $\frac{3x^2-2x-1}{x^2+5x-4}$
【知识点】
分式的基本性质，多项式降幂排列，分式符号法则
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题的易错点是提取负号时漏乘某项，或忽略分式本身自带的符号，做题时需逐次核对分子、分母、分式本身三个位置的符号变化。
【难度系数】
0.7
解题分两个核心步骤：①先将分子、分母的所有项按x的次数从高到低（降幂）排列；②观察分子、分母最高次项的系数，若系数为负数，可根据分式的符号规律（改变分式本身、分子、分母三者中任意两个的符号，分式的值不变），给分子或分母整体提取负号，将最高次项系数化为正数，全程保证分式的值不变。
【解析】
(1) 对$\frac{2 - x}{-x^2 + 3}$变形：
第一步按x降幂排列分子、分母：$\frac{-x + 2}{-x^2 + 3}$；
第二步分别给分子、分母提取负号：$\frac{-(x - 2)}{-(x^2 - 3)}$，根据分式符号法则，分子分母的负号抵消，得$\frac{x - 2}{x^2 - 3}$。
(2) 对$\frac{-x^3 + x^2 - 1}{1 - x^2 - x^3}$变形：
第一步按x降幂排列分子、分母：$\frac{-x^3 + x^2 - 1}{-x^3 - x^2 + 1}$；
第二步分别给分子、分母提取负号：$\frac{-(x^3 - x^2 + 1)}{-(x^3 + x^2 - 1)}$，分子分母的负号抵消，得$\frac{x^3 - x^2 + 1}{x^3 + x^2 - 1}$。
(3) 对$-\frac{2x - 3x^2 + 1}{-4 + 5x + x^2}$变形：
第一步按x降幂排列分子、分母：$-\frac{-3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 5x - 4}$；
第二步给分子提取负号：$-\frac{-(3x^2 - 2x - 1)}{x^2 + 5x - 4}$，分子的负号与分式本身的负号抵消，得$\frac{3x^2 - 2x - 1}{x^2 + 5x - 4}$。
【答案】
(1) $\frac{x-2}{x^2-3}$ (2) $\frac{x^3-x^2+1}{x^3+x^2-1}$ (3) $\frac{3x^2-2x-1}{x^2+5x-4}$
【知识点】
分式的基本性质，多项式降幂排列，分式符号法则
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题的易错点是提取负号时漏乘某项，或忽略分式本身自带的符号，做题时需逐次核对分子、分母、分式本身三个位置的符号变化。
【难度系数】
0.7
14 (1) 若将分式$\frac{3ab}{5a+3b}$中$a,b$的值都变为原来的3倍，则分式的值如何变化？若将$a,b$的值都变为原来的$\frac{1}{3}$，则分式的值又会如何变化？
(2) 若将分式$\frac{a^2 + b^2}{2a + 3b}$中$a,b$的值都变为原来的2倍，则分式的值如何变化？若将$a,b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$，则分式的值又会如何变化？
(2) 若将分式$\frac{a^2 + b^2}{2a + 3b}$中$a,b$的值都变为原来的2倍，则分式的值如何变化？若将$a,b$的值都变为原来的$\frac{1}{2}$，则分式的值又会如何变化？
答案
(1) 变为原来的3倍 变为原来的$\frac{1}{3}$ (2) 变为原来的2倍 变为原来的$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解决这类分式中字母扩大或缩小若干倍后分式值变化的问题，核心思路是利用分式的基本性质，按以下步骤推导：第一步，将题目要求变化后的字母代入原分式；第二步，分别对新分式的分子、分母提取公因式；第三步，约分化简新分式，再和原分式对比，即可得到分式值的变化情况。
【解析】
(1) ①当a、b的值都变为原来的3倍时，将a替换为3a，b替换为3b代入原分式：
新分式$=\frac{3×(3a)×(3b)}{5×(3a)+3×(3b)}=\frac{27ab}{15a+9b}=\frac{27ab}{3(5a+3b)}=\frac{9ab}{5a+3b}=3×\frac{3ab}{5a+3b}$，即分式值变为原来的3倍。
②当a、b的值都变为原来的$\frac{1}{3}$时，将a替换为$\frac{1}{3}a$，b替换为$\frac{1}{3}b$代入原分式：
新分式$=\frac{3×(\frac{1}{3}a)×(\frac{1}{3}b)}{5×(\frac{1}{3}a)+3×(\frac{1}{3}b)}=\frac{\frac{1}{3}ab}{\frac{5a+3b}{3}}=\frac{ab}{5a+3b}=\frac{1}{3}×\frac{3ab}{5a+3b}$，即分式值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2) ①当a、b的值都变为原来的2倍时，将a替换为2a，b替换为2b代入原分式：
新分式$=\frac{(2a)^2+(2b)^2}{2×(2a)+3×(2b)}=\frac{4a^2+4b^2}{4a+6b}=\frac{4(a^2+b^2)}{2(2a+3b)}=\frac{2(a^2+b^2)}{2a+3b}=2×\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$，即分式值变为原来的2倍。
②当a、b的值都变为原来的$\frac{1}{2}$时，将a替换为$\frac{1}{2}a$，b替换为$\frac{1}{2}b$代入原分式：
新分式$=\frac{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}{2×(\frac{1}{2}a)+3×(\frac{1}{2}b)}=\frac{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}{\frac{2a+3b}{2}}=\frac{1}{2}×\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$，即分式值变为原来的$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 变为原来的3倍 变为原来的$\frac{1}{3}$ (2) 变为原来的2倍 变为原来的$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题核心是准确代入变化后的字母，正确提取公因式约分后对比原分式，掌握分式基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这类分式中字母扩大或缩小若干倍后分式值变化的问题，核心思路是利用分式的基本性质，按以下步骤推导：第一步，将题目要求变化后的字母代入原分式；第二步，分别对新分式的分子、分母提取公因式；第三步，约分化简新分式，再和原分式对比，即可得到分式值的变化情况。
【解析】
(1) ①当a、b的值都变为原来的3倍时，将a替换为3a，b替换为3b代入原分式：
新分式$=\frac{3×(3a)×(3b)}{5×(3a)+3×(3b)}=\frac{27ab}{15a+9b}=\frac{27ab}{3(5a+3b)}=\frac{9ab}{5a+3b}=3×\frac{3ab}{5a+3b}$，即分式值变为原来的3倍。
②当a、b的值都变为原来的$\frac{1}{3}$时，将a替换为$\frac{1}{3}a$，b替换为$\frac{1}{3}b$代入原分式：
新分式$=\frac{3×(\frac{1}{3}a)×(\frac{1}{3}b)}{5×(\frac{1}{3}a)+3×(\frac{1}{3}b)}=\frac{\frac{1}{3}ab}{\frac{5a+3b}{3}}=\frac{ab}{5a+3b}=\frac{1}{3}×\frac{3ab}{5a+3b}$，即分式值变为原来的$\frac{1}{3}$。
(2) ①当a、b的值都变为原来的2倍时，将a替换为2a，b替换为2b代入原分式：
新分式$=\frac{(2a)^2+(2b)^2}{2×(2a)+3×(2b)}=\frac{4a^2+4b^2}{4a+6b}=\frac{4(a^2+b^2)}{2(2a+3b)}=\frac{2(a^2+b^2)}{2a+3b}=2×\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$，即分式值变为原来的2倍。
②当a、b的值都变为原来的$\frac{1}{2}$时，将a替换为$\frac{1}{2}a$，b替换为$\frac{1}{2}b$代入原分式：
新分式$=\frac{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}{2×(\frac{1}{2}a)+3×(\frac{1}{2}b)}=\frac{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}{\frac{2a+3b}{2}}=\frac{1}{2}×\frac{a^2+b^2}{2a+3b}$，即分式值变为原来的$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 变为原来的3倍 变为原来的$\frac{1}{3}$ (2) 变为原来的2倍 变为原来的$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题核心是准确代入变化后的字母，正确提取公因式约分后对比原分式，掌握分式基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
