10 已知实数$a,b$满足$a+b=2$，$ab=\frac{3}{4}$，则$a-b$的值为（）

A.$1$
B.$-\frac{5}{2}$
C.$\pm1$
D.$\pm\frac{5}{2}$

C

【分析】
本题要求$a-b$的值，已知$a+b$和$ab$的数值，可联想完全平方公式的变形关系。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比两个式子可得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，我们可以先代入已知条件求出$(a-b)^2$的值，再对结果开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，即可得到$a-b$的取值。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=2$，$ab=\frac{3}{4}$代入上式：
$(a-b)^2=2^2 - 4×\frac{3}{4}=4-3=1$
对等式两边开平方，得：
$a-b=\pm\sqrt{1}=\pm1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题核心是考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转换关系，同时要注意正数开平方时有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7

11 若$(x - my)^2 = nx^2 - 8xy + 16y^2$，则$\frac{2n}{m}$的值为。

$\frac{1}{2}$

【分析】
解题时首先利用完全平方公式将等号左侧的整式展开，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数分别相等的性质，列出关于m、n的等式，求解得到m、n的取值后代入$\frac{2n}{m}$计算即可得到结果。
【解析】
首先根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将等号左侧展开：
$(x-my)^2=x^2-2mxy+m^2y^2$
已知$(x-my)^2=nx^2-8xy+16y^2$，两个多项式相等则对应同类项的系数相等，因此可得：
1. $x^2$项对应系数：$n=1$
2. $xy$项对应系数：$-2m=-8$，解得$m=4$
3. $y^2$项对应系数：$m^2=16$，代入$m=4$验证符合条件。
将$n=1$，$m=4$代入$\frac{2n}{m}$得：
$\frac{2n}{m}=\frac{2×1}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式；多项式相等的性质；代数式求值
【点评】
本题属于完全平方公式的常规应用题型，核心是掌握多项式相等时对应项系数相等的规律，计算过程中注意对应项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

12 教材 P117 习题 T2 变式 运用完全平方公式计算：
(1) $(4x - 5y)^2$；
(2) $(2.5x - \frac{1}{3}y)^2$；
(3) $(-3x - 2)^2 - (2x + 5)(2x - 5)$。

(1) $16x^2 - 40xy + 25y^2$ (2) $\frac{25}{4}x^2 - \frac{5}{3}xy + \frac{1}{9}y^2$ (3) $5x^2+12x+29$

【分析】
本题主要考查完全平方公式、平方差公式的应用及整式的加减运算。解题思路如下：①先明确核心公式：完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；②(1)(2)小问直接找准公式中对应的a、b，代入差的完全平方公式展开即可，注意系数也要参与乘方运算；③第(3)小问先分别用完全平方公式计算$(-3x-2)^2$、用平方差公式计算$(2x+5)(2x-5)$，再去括号、合并同类项得到结果，去括号时需注意符号变化。
【解析】
(1) 代入完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}(4x - 5y)^2&=(4x)^2 - 2×4x×5y + (5y)^2\\&=16x^2 - 40xy + 25y^2\end{aligned}$
(2) 先将$2.5x$化为$\frac{5}{2}x$，再代入完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}(2.5x - \frac{1}{3}y)^2&=(\frac{5}{2}x - \frac{1}{3}y)^2\\&=(\frac{5}{2}x)^2 - 2×\frac{5}{2}x×\frac{1}{3}y + (\frac{1}{3}y)^2\\&=\frac{25}{4}x^2 - \frac{5}{3}xy + \frac{1}{9}y^2\end{aligned}$
(3) 分别展开两个乘法部分，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(-3x - 2)^2 - (2x + 5)(2x - 5)\\=&(3x + 2)^2 - [(2x)^2 - 5^2]\\=&9x^2 + 12x + 4 - (4x^2 - 25)\\=&9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 25\\=&5x^2 + 12x + 29\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{16x^2 - 40xy + 25y^2}$
(2) $\boxed{\frac{25}{4}x^2 - \frac{5}{3}xy + \frac{1}{9}y^2}$
(3) $\boxed{5x^2+12x+29}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式加减运算
【点评】
本题是整式乘法的基础常规题，重点考查对乘法公式特征的识别与正确应用，计算时需注意系数的乘方、交叉项的系数计算以及去括号的符号规则，避免出现漏算、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.8

13 教材 P117 习题 T4 变式 先化简，再求值：$(x + 2y)^2 - 2x(3x + 2y) + (x + 3y)(x - 3y)$，其中$x = -\dfrac{1}{2}, y = -1$。

原式$=-4x^2-5y^2$.当$x=-\frac{1}{2},y=-1$时,原式$=-6$

【分析】
本题为整式化简求值类题目，解题思路清晰分为两步：第一步先借助完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则，将原式的三个部分分别展开，展开过程中要注意每项的符号；第二步对展开后的式子合并同类项得到最简结果，最后将x、y的取值代入最简式计算即可得到最终数值。
【解析】
解：利用相关运算法则展开各项：
1. 由完全平方公式得：$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$
2. 由单项式乘多项式法则得：$-2x(3x+2y)=-6x^2-4xy$
3. 由平方差公式得：$(x+3y)(x-3y)=x^2-9y^2$
将上述展开结果代入原式，合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2+4xy+4y^2-6x^2-4xy+x^2-9y^2\\&=(x^2-6x^2+x^2)+(4xy-4xy)+(4y^2-9y^2)\\&=-4x^2-5y^2\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=-1$代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-\dfrac{1}{2})^2-5×(-1)^2\\&=-4×\dfrac{1}{4}-5×1\\&=-1-5\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
原式化简结果为$-4x^2-5y^2$，当$x=-\dfrac{1}{2},y=-1$时，原式的值为$-6$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题侧重考查整式混合运算的基础应用，解题核心是准确掌握各类整式运算的法则和乘法公式，运算时要格外注意符号的变化，避免因符号疏漏出现计算错误。
【难度系数】
0.7

14 教材 P118 习题 T7 变式 已知 $ a - b = 4 $，$ ab = 12 $，求下列各式的值：
(1) $ a^2 + b^2 $；
(2) $ a^2 - ab + b^2 $；
(3) $ (a + b)^2 $。

(1) $\because a-b=4,\therefore (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=16$.$\because ab=12,\therefore a^2+b^2=40$
(2) $a^2-ab+b^2=a^2+b^2-ab=40-12=28$
(3) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+b^2+2ab=40+2×12=64$

【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，无需计算a、b的具体数值，利用完全平方公式的恒等变形，将待求式转化为含有已知条件$a-b$和$ab$的形式，整体代入求值即可。解题思路为：①先利用$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入已知条件求出$a^2+b^2$的值，解决第(1)问；②第(2)问直接将第(1)问求出的$a^2+b^2$和已知$ab$的值代入待求式计算；③第(3)问利用$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a^2+b^2$和$ab$的值计算即可。
【解析】
(1) $\because a-b=4$，$\therefore (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=4^2=16$。
$\because ab=12$，$\therefore a^2+b^2=16+2ab=16+2×12=40$。
(2) 由(1)得$a^2+b^2=40$，结合$ab=12$代入得：
$a^2-ab+b^2=(a^2+b^2)-ab=40-12=28$。
(3) 根据完全平方公式展开得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2ab$，
代入$a^2+b^2=40$、$ab=12$得：
$(a+b)^2=40+2×12=64$。
【答案】
(1) $\boxed{40}$；(2) $\boxed{28}$；(3) $\boxed{64}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整式恒等变形
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，核心是掌握完全平方公式的常见变形，学会用整体代入的思想求值，避免直接求解a、b的数值，可大幅简化计算过程，熟练掌握这类变形是解决整式乘法相关化简求值题的基础。
【难度系数】
0.8

15 有两个正方形A,B,边长分别为$a,b(a＞b)$.若将正方形B放在正方形A的内部得到如图①所示的图形,将正方形A,B并列放置后构造如图②所示的新的正方形.

(1)用$a,b$表示图①中涂色部分的面积为;用$a,b$表示图②中涂色部分的面积为.
(2)若图①和图②中涂色部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为.
(3)在(2)的条件下,将三个正方形A和两个正方形B按如图③所示的方式摆放,求涂色部分的面积.

(1) $(a-b)^2$ $2ab$
(2) 13
(3) 由(2)知$(a-b)^2=1$,$2ab=12,a＞b$,$\therefore ab=6,a-b=1$.$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=1+24=25$.$\because a+b＞0$,$\therefore a+b=5$.$\therefore a=3,b=2$.$\therefore $ 题图③中涂色部分的面积为$(2a+b)^2-3a^2-2b^2=a^2-b^2+4ab=9-4+4×6=29$

【分析】
(1) 求图①涂色面积：观察图形可知，图①中涂色部分是边长为$(a-b)$的正方形，直接利用正方形面积公式计算即可；求图②涂色面积：先求出边长为$(a+b)$的新正方形总面积，再减去正方形A、B的面积，剩余部分即为涂色面积，展开化简即可得到结果。
(2) 根据(1)的结论得到关于$a,b$的等式，利用完全平方公式变形，即可求出$a^2+b^2$，也就是正方形A、B的面积之和。
(3) 先确定图③中大正方形的边长，用大正方形面积减去3个正方形A、2个正方形B的面积，得到涂色面积的表达式；再结合(2)的条件求出$a,b$的值，代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图①中涂色部分是边长为$a-b$的正方形，因此面积为$(a-b)^2$；
图②中新正方形的边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$，减去正方形A、B的面积后，涂色部分面积为：
$(a+b)^2-a^2-b^2=a^2+2ab+b^2-a^2-b^2=2ab$。
(2) 由题意得$(a-b)^2=1$，$2ab=12$，根据完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=1+12=13$，即正方形A、B的面积之和为13。
(3) 观察图③可知，大正方形的边长为$2a+b$，因此涂色部分面积为：
$S_{\mathrm{涂色}}=(2a+b)^2-3a^2-2b^2$
展开化简得：
$S_{\mathrm{涂色}}=4a^2+4ab+b^2-3a^2-2b^2=a^2-b^2+4ab$
由(2)知$(a-b)^2=1$，$2ab=12$，因此$ab=6$，又$a＞b$，故$a-b=1$。
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=1+4×6=25$
因为$a+b＞0$，所以$a+b=5$，联立$\begin{cases}a-b=1\\a+b=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}$。
将$a=3,b=2$代入涂色面积表达式得：
$S_{\mathrm{涂色}}=3^2-2^2+4×6=9-4+24=29$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-b)^2}$；$\boldsymbol{2ab}$
(2) $\boldsymbol{13}$
(3) $\boldsymbol{29}$
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，整式化简求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的应用，解题关键是准确识别图形各部分边长关系，正确表示面积，再结合完全平方公式的变形计算，较好地体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.65