6.[2025重庆八中开学考试]如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，点$E$为$CB$上一点，且$CE=AC$，$EF⊥ CD$，垂足为$F$，连接$AE$。
(1)求证:$AD=CF$；
(2)点$G$为$AE$上一点，连接$GD$，$GF$，若$∠ 1=45°$，求证:$GD⊥ GF$。

6. (1)【证明】
∵CD⊥AB,EF⊥CD,
∴∠ADC=∠EFC=90°.
∴∠ECF+∠CEF=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠ECF=90°.
∴∠ACD=∠CEF,
又
∵AC=CE,
∴△ADC≌△CFE.
∴AD=CF.
(2)如图,取 AE 的中点 H,连接 FH,DH,CH,
则 AH=EH.
∵AC=CE,∠ACB=90°,
∴∠CAE = ∠CEA = 45°,
CH⊥AE,CH 平分∠ACE.
∴∠CHA = 90°,∠ACH = ∠ECH=45°=∠CAE=∠CEA.
∴AH=CH.
∵△ADC≌△CFE,
∴∠CAD=∠ECF.
∴∠CAD−∠CAE=∠ECF−∠HCE,
即∠HAD=∠HCF,
又
∵CF=AD,
∴△AHD≌△CHF.
∴∠CHF=∠AHD,FH=DH.
∴∠CHF+∠AHF=∠AHD+∠AHF,
即∠FHD=∠CHA=90°.
∴∠DFH=∠FDH=45°.
∵∠DFG=∠1=45°=∠DFH,且 H,G 都在 AE 上,
∴点 H,G 重合.
∴∠FGD=90°.
∴GD⊥GF.

7. 如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D. 求证：BF=2CD.

7.【证明】如图,延长 BA,CD 交于点 E.
∵BF 平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠1=∠2,∠BDC=∠BDE=90°.
又
∵BD=BD,
∴△BDC≌△BDE.
∴DC=DE.
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠2=∠ACE.
又
∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,
∴△ABF≌△ACE.
∴BF=CE.
∴BF=2CD.

8. [2025 唐山期中] 如图①、图②，已知在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB = AC$，$BC = 8$，$AD$为$∠ BAC$的平分线，$E$是边$BC$上一动点（点$E$不与点$B,C$重合），连接$AE$，过点$C$作$CF ⊥ AE$于点$F$，交射线$AD$于点$G$.
(1) 当点$E$在点$D$的左侧运动时（如图①所示），求证：$△ BAE ≌ △ ACG$；
(2) 若$AD=4$，$DG=3$，求$BE$的长；
(3) 当点$E$的位置如图②所示时，过点$A,B,C$分别作$AM ⊥ AE$，$BP ⊥ AE$，$CF ⊥ AE$，且$AM=AF$，点$P$在$AE$的延长线上，连接$BM$，$BM$与$AE$交于点$H$，写出$HF,PF$与$CF$之间的数量关系.

8. (1)【证明】
∵∠BAC=90°,CF⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠ACG=90°.
∴∠BAE=∠ACG.
∵AD 为∠BAC 的平分线,AB=AC,∠BAC=90°,
∴易得∠CAD=45°=∠ABC.
在△BAE 和△ACG 中,
$\begin{cases}∠ABC=∠CAG,\\AB=CA,\\∠BAE=∠ACG,\end{cases}$
∴△BAE≌△ACG(ASA).
(2)【解】当点 E 在点 D 的左侧时,如图①,
∵△BAE≌△ACG,
∴BE=AG.
∵AD=4,DG=3,
∴AG=AD−DG=1.
∴BE=AG=1;
当点 E 在点 D 的右侧时,如图②,
∵AB=AC,∠BAC=90°,AD 为∠BAC 的平分线,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×90°=45°,∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°=∠ABC,AD⊥BC.
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=∠CAD.
又
∵CF⊥AE,
∴∠G+∠FAG=∠G+∠DCG=90°,
∴∠FAG=∠DCG.
∴∠FAG+∠BAD=∠DCG+∠ACD,
即∠BAE=∠ACG.
在△BAE 和△ACG 中,
$\begin{cases}∠ABC=∠CAG,\\AB=CA,\\∠BAE=∠ACG,\end{cases}$
∴△BAE≌△ACG(ASA).
∴BE=AG.
∵AD=4,DG=3,
∴AG=AD+DG=7.
∴BE=AG=7.
综上所述,BE 的长为 1 或 7.
(3)CF=2(HF+PF).理由如下:
∵BP⊥AE,CF⊥AE,
∴∠APB=∠CFA=90°.
∵∠BAP+∠CAE=∠CAE+∠ACF=90°,
∴∠BAP=∠ACF.
在△ABP 和△CAF 中,
$\begin{cases}∠BAP=∠ACF,\\∠APB=∠CFA,\\AB=CA,\end{cases}$
∴△ABP≌△CAF(AAS).
∴BP=AF,AP=CF.
∵AM=AF,
∴BP=AM.
∵AM⊥AE,
∴∠MAE=∠BPH=90°.
在△BPH 和△MAH 中,
$\begin{cases}∠BHP=∠MHA,\\∠BPH=∠MAH,\\BP=AM,\end{cases}$
∴△BPH≌△MAH(AAS).
∴PH=AH.
∴AP=AH+PH=2PH=2(HF+PF).
∴CF=2(HF+PF).