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11. 新趋势 学科内综合 若$△ ABC$的两边长是方程组$\begin{cases}x+2y=10, \\ 4x+3y=20\end{cases}$的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 ______ 个.
答案
11.3
12. [2025重庆长寿区期中] 已知$△ ABC$的边$AB$，边$BC$的长度分别是不等式组$\begin{cases}\dfrac{2x - 1}{3} ≤ 5, \\ \dfrac{3x - 5}{2} ＞ 5\end{cases}$的最大整数解与最小整数解，如果$△ ABC$的周长是奇数，则$△ ABC$的第三条边$AC$的长度的最小值为 ______ .
答案
12.3 【点拨】解不等式组$\begin{cases}\dfrac{2x - 1}{3} ≤ 5, \\ \dfrac{3x - 5}{2} ＞ 5\end{cases}$得5＜x≤8,则不等式组的最大整数解为8,最小整数解为6.
∵△ABC的周长是奇数,8+6=14是偶数,且8−6＜AC＜8+6,
∴△ABC的第三条边AC的长度的最小值为3.
∵△ABC的周长是奇数,8+6=14是偶数,且8−6＜AC＜8+6,
∴△ABC的第三条边AC的长度的最小值为3.
13. 六边形钢架ABCDEF由6条钢条铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢条连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法.(只需画图，不必写出作法)
答案
13.【解】如图所示.(画法不唯一)
14. 情境题 生活应用 五一假期期间，小梦一家计划从家(点B)出发，到景点C游玩，如图所示。由于B，C之间是一条河，无法通过，只有BAC和BPC两条路线，哪一条路线比较近？为什么？
答案
14.【解】路线BPC比较近.
理由:如图,延长BP交AC于点D,
∵在△ABD中,AB+AD＞BD=BP+PD,
在△CDP中,PD+CD＞CP,
∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP,
∴AB+AD+CD＞BP+CP,即AB+AC＞BP+CP,
∴路线BPC比较近.
15. 已知$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边长，且满足
$a+b-4c+24=0,a-b-2c+10=0.$
(1)求$c$的取值范围.
(2)若$△ ABC$的周长为21，求$a,b,c$的值.
$a+b-4c+24=0,a-b-2c+10=0.$
(1)求$c$的取值范围.
(2)若$△ ABC$的周长为21，求$a,b,c$的值.
答案
15.【解】(1)根据三角形三边关系可知a+b＞c,a−b＜c.
∵a+b−4c+24=0,a−b−2c+10=0,
∴a+b=4c−24,a−b=2c−10,
∴$\begin{cases}4c−24＞c, \\ 2c−10＜c\end{cases}$,解得8＜c＜10.
(2)由(1)得$\begin{cases}a+b=4c−24, \\ a−b=2c−10\end{cases}$,整理得$\begin{cases}a=3c−17, \\ b=c−7\end{cases}$.
∵△ABC的周长为21,
∴a+b+c=21,即3c−17+c−7+c=21,解得c=9,
∴a=3×9−17=10,b=9−7=2.
∵a+b−4c+24=0,a−b−2c+10=0,
∴a+b=4c−24,a−b=2c−10,
∴$\begin{cases}4c−24＞c, \\ 2c−10＜c\end{cases}$,解得8＜c＜10.
(2)由(1)得$\begin{cases}a+b=4c−24, \\ a−b=2c−10\end{cases}$,整理得$\begin{cases}a=3c−17, \\ b=c−7\end{cases}$.
∵△ABC的周长为21,
∴a+b+c=21,即3c−17+c−7+c=21,解得c=9,
∴a=3×9−17=10,b=9−7=2.
16. 综合与探究
【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c(a＞b)$，且满足$(b+c-2a)^2 + |b+c-8|=0$，求$c$的取值范围.”
【思路分析】小明说：“把$b+c$看作一个整体，我能求出$a$的值.”
小红说：“我求不出$c$的取值范围，但我能用含$c$的代数式表示$b$.”
小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到$c$的取值范围.”
【问题解决】
(1)你知道小明是如何计算$a$的值的吗？请你写出求解的过程.
(2)请你用含$c$的代数式表示$b$：
(3)请你根据李老师的提示，求$c$的取值范围.
【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c(a＞b)$，且满足$(b+c-2a)^2 + |b+c-8|=0$，求$c$的取值范围.”
【思路分析】小明说：“把$b+c$看作一个整体，我能求出$a$的值.”
小红说：“我求不出$c$的取值范围，但我能用含$c$的代数式表示$b$.”
小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到$c$的取值范围.”
【问题解决】
(1)你知道小明是如何计算$a$的值的吗？请你写出求解的过程.
(2)请你用含$c$的代数式表示$b$：
b=8−c
.(3)请你根据李老师的提示，求$c$的取值范围.
答案
16.【解】(1)根据题意,得b+c−2a=0,b+c−8=0,
∴2a=8,
∴a=4.
(2)b=8−c
(3)由三角形的三边关系,得a+b＞c.
∵a=4,b=8−c,
∴4+8−c＞c,解得c＜6.
又
∵a＞b,
∴b＜4,即8−c＜4,解得c＞4.
∴4＜c＜6.
∴2a=8,
∴a=4.
(2)b=8−c
(3)由三角形的三边关系,得a+b＞c.
∵a=4,b=8−c,
∴4+8−c＞c,解得c＜6.
又
∵a＞b,
∴b＜4,即8−c＜4,解得c＞4.
∴4＜c＜6.
