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14 如图，$\odot O$是以原点O为圆心，半径为1的圆，$∠ AOB=45°$，点P在x轴上运动。若过点P且与OA平行的直线与$\odot O$有公共点，设$OP=x$，则x的取值范围是（
A.$0＜x≤\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{2}$
C.$-1≤ x≤1$
D.$x＞\sqrt{2}$
A
）A.$0＜x≤\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{2}$
C.$-1≤ x≤1$
D.$x＞\sqrt{2}$
答案
14. A
15 如图，直线AE与$\odot O$相切于点A，AB是$\odot O$的直径，$∠ EAC=150°$，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，AD交BC于点F，则$AC:AD$等于（
A.$1:2$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:3$
B
）A.$1:2$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:3$
答案
15. B
16 如图，OA是$\odot O$的半径，BC是$\odot O$的弦，$OA⊥ BC$于点D，AE是$\odot O$的切线，AE交OC的延长线于点E。若$∠ AOC=45°$，$BC=2$，则线段AE的长为
$\sqrt{2}$
。答案
16. $\sqrt{2}$ 【解析】
∵ OA⊥BC,
∴ ∠ODC=90°,DC=$\frac{1}{2}$BC=1.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △ODC 为等腰直角三角形.
∴ OC=$\sqrt{2}$DC=$\sqrt{2}$.
∴ OA=OC=$\sqrt{2}$.
∵ AE 是$\odot O$的切线,
∴ ∠OAE=90°.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △AOE 为等腰直角三角形.
∴ AE=OA=$\sqrt{2}$.
∵ OA⊥BC,
∴ ∠ODC=90°,DC=$\frac{1}{2}$BC=1.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △ODC 为等腰直角三角形.
∴ OC=$\sqrt{2}$DC=$\sqrt{2}$.
∴ OA=OC=$\sqrt{2}$.
∵ AE 是$\odot O$的切线,
∴ ∠OAE=90°.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △AOE 为等腰直角三角形.
∴ AE=OA=$\sqrt{2}$.
17 如图,在$\odot O$中,AB是直径,C是圆上一点,在AB的延长线上取一点D,连接CD,使$∠ BCD=∠ A$.
(1) 求证:直线CD是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ ACD=120°,CD=2\sqrt{3}$,求涂色部分的面积.
(1) 求证:直线CD是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ ACD=120°,CD=2\sqrt{3}$,求涂色部分的面积.
答案
17. （1）连接 OC.
∵ AB 是直径,
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=90°$.
∵ OA=OC,$∠ BCD=∠ A$,
∴ $∠ OCA=∠ A=∠ BCD$.
∴ $∠ BCD+∠ OCB=∠ OCD=90°$.
∴ $OC⊥CD$.
∵ OC 是$\odot O$的半径,
∴ 直线 CD 是$\odot O$的切线
（2）
∵ $∠ ACD=120°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ A=∠ BCD=120°-90°=30°$.
∴ 易得$∠ BOC=2∠ A=60°$.
∴ $∠ D=30°$. 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,由勾股定理,易得 OC=2,
∴ $S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2-\frac{60π×2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
∵ AB 是直径,
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=90°$.
∵ OA=OC,$∠ BCD=∠ A$,
∴ $∠ OCA=∠ A=∠ BCD$.
∴ $∠ BCD+∠ OCB=∠ OCD=90°$.
∴ $OC⊥CD$.
∵ OC 是$\odot O$的半径,
∴ 直线 CD 是$\odot O$的切线
（2）
∵ $∠ ACD=120°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ A=∠ BCD=120°-90°=30°$.
∴ 易得$∠ BOC=2∠ A=60°$.
∴ $∠ D=30°$. 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,由勾股定理,易得 OC=2,
∴ $S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2-\frac{60π×2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
18 如图，AB是$\odot O$的直径，四边形ABCD内接于$\odot O$，OD交AC于点E，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$。
（1）求证：$OD// BC$；
（2）若$AC=10$，$DE=4$，求BC的长。
（1）求证：$OD// BC$；
（2）若$AC=10$，$DE=4$，求BC的长。
答案
18. （1）
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$. 又
∵ AB 是$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$,即 $BC⊥AC$.
∴ $OD// BC$ （2）
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$,$AE=CE$. 又
∵ $AC=10$,
∴ $AE=CE=\frac{1}{2}AC=5$.
设$\odot O$的半径为 R,则 OA=R,OE=R-4. 在$\mathrm{Rt}△ AOE$ 中,
$OA^2=OE^2+AE^2$,即 $R^2=(R-4)^2+5^2$,
∴ $R=\frac{41}{8}$. 又
∵ O,E
为 AB,AC 的中点,
∴ $OE=\frac{1}{2}BC$,$OE// BC$.
∴ $BC=2OE=2×(\frac{41}{8}-4)=\frac{9}{4}$
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$. 又
∵ AB 是$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$,即 $BC⊥AC$.
∴ $OD// BC$ （2）
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$,$AE=CE$. 又
∵ $AC=10$,
∴ $AE=CE=\frac{1}{2}AC=5$.
设$\odot O$的半径为 R,则 OA=R,OE=R-4. 在$\mathrm{Rt}△ AOE$ 中,
$OA^2=OE^2+AE^2$,即 $R^2=(R-4)^2+5^2$,
∴ $R=\frac{41}{8}$. 又
∵ O,E
为 AB,AC 的中点,
∴ $OE=\frac{1}{2}BC$,$OE// BC$.
∴ $BC=2OE=2×(\frac{41}{8}-4)=\frac{9}{4}$
