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12若$x=-1$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则下列式子成立的是（
A.$a+b+c=0$
B.$a-b+c=0$
C.$a+b-c=0$
D.$-a+b+c=0$
B
）A.$a+b+c=0$
B.$a-b+c=0$
C.$a+b-c=0$
D.$-a+b+c=0$
答案
12. B
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。已知x=-1是给定方程的根，我们只需将x=-1代入原方程，对左边的式子进行化简，就能得到a、b、c满足的关系式，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入方程$ax^2+bx+c=0$中：
左边=$a× (-1)^2 + b× (-1) + c = a - b + c$
因为根代入方程后左右两边相等，右边为0，所以可得：
$a - b + c = 0$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握一元二次方程根的定义，直接代入根化简即可得到结论，没有复杂运算。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。已知x=-1是给定方程的根，我们只需将x=-1代入原方程，对左边的式子进行化简，就能得到a、b、c满足的关系式，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入方程$ax^2+bx+c=0$中：
左边=$a× (-1)^2 + b× (-1) + c = a - b + c$
因为根代入方程后左右两边相等，右边为0，所以可得：
$a - b + c = 0$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握一元二次方程根的定义，直接代入根化简即可得到结论，没有复杂运算。
【难度系数】
0.9
13 已知$m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，则代数式$-2m^2 + 2m + 2026$的值为（
A.2022
B.2024
C.2026
D.2028
B
）A.2022
B.2024
C.2026
D.2028
答案
13. B
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，变形后求出$m^2 - m$的值。再观察所求代数式的结构，可提取公因式将其转化为含有$(m^2 - m)$的形式，最后整体代入计算即可，无需解出m的具体数值，能大幅简化计算过程。
【解析】
∵m是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，
整理可得：$m^2 - m = 1$。
对代数式$-2m^2 + 2m + 2026$变形：
$-2m^2 + 2m + 2026 = -2(m^2 - m) + 2026$，
把$m^2 - m = 1$代入上式：
原式$=-2×1 + 2026 = 2024$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求代数式的值
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的性质的应用，利用整体代入的思想计算代数式的值，避免了求解方程根的复杂运算，是代数式求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，变形后求出$m^2 - m$的值。再观察所求代数式的结构，可提取公因式将其转化为含有$(m^2 - m)$的形式，最后整体代入计算即可，无需解出m的具体数值，能大幅简化计算过程。
【解析】
∵m是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，
整理可得：$m^2 - m = 1$。
对代数式$-2m^2 + 2m + 2026$变形：
$-2m^2 + 2m + 2026 = -2(m^2 - m) + 2026$，
把$m^2 - m = 1$代入上式：
原式$=-2×1 + 2026 = 2024$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求代数式的值
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的性质的应用，利用整体代入的思想计算代数式的值，避免了求解方程根的复杂运算，是代数式求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
14 若方程$(m+2)x^{m^2 - 2} + (m - 1)x - 2 = 0$是关于x的一元二次方程，则$m=$
2
。答案
14. 2
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合一元二次方程的定义分析。一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数是2；②二次项的系数不为0（若二次项系数为0，方程就不含二次项，不属于一元二次方程）。因此我们可以先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再结合二次项系数不为0排除不符合要求的解，即可得到最终的m值。
【解析】
∵ 方程$(m+2)x^{m^2 - 2} + (m - 1)x - 2 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$m^2 - 2 = 2$
解该方程：
$m^2 = 4$
解得 $m = 2$ 或 $m = -2$
2. 二次项系数不为0：$m + 2 ≠ 0$
解得 $m ≠ -2$
综合两个条件，舍去不符合要求的$m=-2$，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；含参方程的检验
【点评】
本题是对一元二次方程基本概念的考查，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制，直接得出$m=\pm2$的错误结果，求解这类含参数的一元二次方程问题时，一定要牢记两个条件同时满足，再对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合一元二次方程的定义分析。一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数是2；②二次项的系数不为0（若二次项系数为0，方程就不含二次项，不属于一元二次方程）。因此我们可以先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再结合二次项系数不为0排除不符合要求的解，即可得到最终的m值。
【解析】
∵ 方程$(m+2)x^{m^2 - 2} + (m - 1)x - 2 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$m^2 - 2 = 2$
解该方程：
$m^2 = 4$
解得 $m = 2$ 或 $m = -2$
2. 二次项系数不为0：$m + 2 ≠ 0$
解得 $m ≠ -2$
综合两个条件，舍去不符合要求的$m=-2$，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；含参方程的检验
【点评】
本题是对一元二次方程基本概念的考查，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制，直接得出$m=\pm2$的错误结果，求解这类含参数的一元二次方程问题时，一定要牢记两个条件同时满足，再对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
15 若关于$x$的一元二次方程$mx^2 + 2nx -1=0(m≠0)$的一个根是$x=1$，则$3 - 2m - 4n$的值是
1
。答案
15. 1
解析
【分析】
解题时首先想到方程根的定义：如果一个数是方程的根，那么将这个数代入原方程，等式一定成立。因此第一步把x=1代入给定的一元二次方程，得到m和n的数量关系；再观察所求代数式3-2m-4n的结构，将其变形为含有刚才得到的m、n关系式的形式，用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出m、n的具体值。
【解析】
1. 将根代入原方程求参数关系
把$x=1$代入方程$mx^2 + 2nx -1=0$（$m≠0$），可得：
$m·1^2 + 2n·1 -1 = 0$
整理得：$m + 2n = 1$
2. 变形所求代数式并整体代入
对$3 - 2m - 4n$提取公因式变形：
$3 - 2m - 4n = 3 - 2(m + 2n)$
将$m + 2n = 1$代入上式：
$3 - 2×1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用方程根的性质得到参数关系，再结合整体代入思想简化计算，避免了单独求解参数的繁琐，重点考查对基础概念的理解和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先想到方程根的定义：如果一个数是方程的根，那么将这个数代入原方程，等式一定成立。因此第一步把x=1代入给定的一元二次方程，得到m和n的数量关系；再观察所求代数式3-2m-4n的结构，将其变形为含有刚才得到的m、n关系式的形式，用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出m、n的具体值。
【解析】
1. 将根代入原方程求参数关系
把$x=1$代入方程$mx^2 + 2nx -1=0$（$m≠0$），可得：
$m·1^2 + 2n·1 -1 = 0$
整理得：$m + 2n = 1$
2. 变形所求代数式并整体代入
对$3 - 2m - 4n$提取公因式变形：
$3 - 2m - 4n = 3 - 2(m + 2n)$
将$m + 2n = 1$代入上式：
$3 - 2×1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用方程根的性质得到参数关系，再结合整体代入思想简化计算，避免了单独求解参数的繁琐，重点考查对基础概念的理解和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
16 若$x=-3$是关于$x$的方程$2x^2 -a=0$的一个根，则常数$a=$
18
，这个方程的另一个根为$x=3$
。答案
16. 18 $x=3$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此先将已知根x=-3代入原方程，就能求出常数a的值；再将a的值代回原方程，用直接开平方法解一元二次方程，即可得到方程的另一个根，也可根据不含一次项的一元二次方程两根互为相反数的特点，直接推出另一个根。
【解析】
1. 求常数a的值：
∵x=-3是方程$2x^2 -a=0$的一个根，将x=-3代入方程得：
$2×(-3)^2 - a = 0$
计算得：$2×9 - a = 0$，即$18 - a = 0$
解得：$a=18$
2. 求方程的另一个根：
将a=18代入原方程得：$2x^2 - 18 = 0$
移项化简得：$x^2 = 9$
开平方得：$x = \pm3$
已知一个根为x=-3，因此另一个根为$x=3$
【答案】
18；$x=3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解方程；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础题型，核心考察一元二次方程根的含义，代入已知根求参数是这类题的常规解题思路，解方程时用直接开平方法计算十分简便，掌握基础概念和基础解法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此先将已知根x=-3代入原方程，就能求出常数a的值；再将a的值代回原方程，用直接开平方法解一元二次方程，即可得到方程的另一个根，也可根据不含一次项的一元二次方程两根互为相反数的特点，直接推出另一个根。
【解析】
1. 求常数a的值：
∵x=-3是方程$2x^2 -a=0$的一个根，将x=-3代入方程得：
$2×(-3)^2 - a = 0$
计算得：$2×9 - a = 0$，即$18 - a = 0$
解得：$a=18$
2. 求方程的另一个根：
将a=18代入原方程得：$2x^2 - 18 = 0$
移项化简得：$x^2 = 9$
开平方得：$x = \pm3$
已知一个根为x=-3，因此另一个根为$x=3$
【答案】
18；$x=3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解方程；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础题型，核心考察一元二次方程根的含义，代入已知根求参数是这类题的常规解题思路，解方程时用直接开平方法计算十分简便，掌握基础概念和基础解法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
17 根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式(不需要求解)：
(1) 6个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是27，求等腰直角三角形的直角边长x；
(2) 一个矩形的周长为20，面积是24，求矩形的长x；
(3) 从一块正方形木板上锯掉一块宽为3 dm的矩形木板，剩下的矩形的面积为60 dm²，原来正方形木板的边长为a dm，求a的值(木板厚度忽略不计)。
(1) 6个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是27，求等腰直角三角形的直角边长x；
(2) 一个矩形的周长为20，面积是24，求矩形的长x；
(3) 从一块正方形木板上锯掉一块宽为3 dm的矩形木板，剩下的矩形的面积为60 dm²，原来正方形木板的边长为a dm，求a的值(木板厚度忽略不计)。
答案
17. (1) 由题意,得$\frac{1}{2}x^2 × 6=27$. 整理,得$x^2 -9=0$ (2) 由题意,得$x(\frac{20}{2}-x)=24$. 整理,得$x^2 -10x +24=0$ (3) 由题意,得$a(a-3)=60$. 整理,得$a^2 -3a -60=0$
解析
【分析】
解题时先找准每个小题的等量关系，再结合对应几何公式列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式（形如$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$）即可：
(1) 等量关系为6个等腰直角三角形的面积和=27，先根据等腰直角三角形面积公式表示出单个三角形的面积，乘6后等于27列方程，再整理为一般形式；
(2) 等量关系为矩形面积=24，已知周长为20、长为x，可先表示出矩形的宽，再代入面积公式列方程，最后整理为一般形式；
(3) 等量关系为剩下矩形的面积=$60\ dm^2$，剩下矩形的长为原正方形边长a，宽为$(a-3)\ dm$，代入面积公式列方程后整理为一般形式。
【解析】
(1) 单个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}x^2$，根据6个面积和为27列方程：
$\frac{1}{2}x^2 × 6=27$
化简整理得$x^2 -9=0$
(2) 矩形周长为20，长为x，则宽为$\frac{20}{2}-x$，根据面积为24列方程：
$x(\frac{20}{2}-x)=24$
展开移项整理得$x^2 -10x +24=0$
(3) 剩下矩形的长为$a\ dm$，宽为$(a-3)\ dm$，根据面积为$60\ dm^2$列方程：
$a(a-3)=60$
展开移项整理得$a^2 -3a -60=0$
【答案】
(1) 方程为$\frac{1}{2}x^2 × 6=27$，一般形式为$x^2 -9=0$；
(2) 方程为$x(\frac{20}{2}-x)=24$，一般形式为$x^2 -10x +24=0$；
(3) 方程为$a(a-3)=60$，一般形式为$a^2 -3a -60=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式；几何图形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，以及一元二次方程一般形式的化简规则，解题核心是熟练掌握常见几何图形的周长、面积公式，化简时注意移项要变号，保证二次项系数为正。
【难度系数】
0.8
解题时先找准每个小题的等量关系，再结合对应几何公式列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式（形如$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$）即可：
(1) 等量关系为6个等腰直角三角形的面积和=27，先根据等腰直角三角形面积公式表示出单个三角形的面积，乘6后等于27列方程，再整理为一般形式；
(2) 等量关系为矩形面积=24，已知周长为20、长为x，可先表示出矩形的宽，再代入面积公式列方程，最后整理为一般形式；
(3) 等量关系为剩下矩形的面积=$60\ dm^2$，剩下矩形的长为原正方形边长a，宽为$(a-3)\ dm$，代入面积公式列方程后整理为一般形式。
【解析】
(1) 单个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}x^2$，根据6个面积和为27列方程：
$\frac{1}{2}x^2 × 6=27$
化简整理得$x^2 -9=0$
(2) 矩形周长为20，长为x，则宽为$\frac{20}{2}-x$，根据面积为24列方程：
$x(\frac{20}{2}-x)=24$
展开移项整理得$x^2 -10x +24=0$
(3) 剩下矩形的长为$a\ dm$，宽为$(a-3)\ dm$，根据面积为$60\ dm^2$列方程：
$a(a-3)=60$
展开移项整理得$a^2 -3a -60=0$
【答案】
(1) 方程为$\frac{1}{2}x^2 × 6=27$，一般形式为$x^2 -9=0$；
(2) 方程为$x(\frac{20}{2}-x)=24$，一般形式为$x^2 -10x +24=0$；
(3) 方程为$a(a-3)=60$，一般形式为$a^2 -3a -60=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式；几何图形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，以及一元二次方程一般形式的化简规则，解题核心是熟练掌握常见几何图形的周长、面积公式，化简时注意移项要变号，保证二次项系数为正。
【难度系数】
0.8
18 已知 $ m $ 是一元二次方程 $ 2x^2 + 4x - 1 = 0 $ 的一个根，求 $ ( m + \dfrac{4m + 4}{m} ) ÷ \dfrac{m + 2}{m^2} $ 的值。
答案
18. 原式$=m^2 +2m$. $\because m$是一元二次方程$2x^2 +4x -1=0$的一个根,$\therefore 2m^2 +4m -1=0$. $\therefore$ 原式$=m^2 +2m=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
遇到已知方程的根求代数式值的题目时，无需直接求解未知数的值，可按以下思路解题：首先对所求分式进行化简，先处理括号内的分式加法，通分合并后将除法转化为乘法，约分得到最简形式；再利用一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程得到关于m的等式，变形后整体代入化简后的式子即可算出结果，能大幅简化运算。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}(m + \dfrac{4m + 4}{m}) ÷ \dfrac{m + 2}{m^2}&=(\dfrac{m^2}{m} + \dfrac{4m + 4}{m}) · \dfrac{m^2}{m + 2}\\&=\dfrac{m^2 + 4m + 4}{m} · \dfrac{m^2}{m + 2}\\&=\dfrac{(m + 2)^2}{m} · \dfrac{m^2}{m + 2}\\&=m(m + 2)\\&=m^2 + 2m\end{aligned}$
∵m是一元二次方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根，将x=m代入方程得：
$2m^2 + 4m - 1 = 0$，即$2m^2 + 4m = 1$，
等式两边同时除以2可得：$m^2 + 2m = \dfrac{1}{2}$，
∴原式的值为$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值、一元二次方程的根的定义、整体代入求值
【点评】
本题核心是灵活运用分式运算规则和整体代入思想，解题的关键是先化简代数式再结合方程根的性质代入计算，避免了直接求解m带来的复杂运算，需要熟练掌握分式混合运算的顺序和整体代入的解题技巧。
【难度系数】
0.7
遇到已知方程的根求代数式值的题目时，无需直接求解未知数的值，可按以下思路解题：首先对所求分式进行化简，先处理括号内的分式加法，通分合并后将除法转化为乘法，约分得到最简形式；再利用一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程得到关于m的等式，变形后整体代入化简后的式子即可算出结果，能大幅简化运算。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}(m + \dfrac{4m + 4}{m}) ÷ \dfrac{m + 2}{m^2}&=(\dfrac{m^2}{m} + \dfrac{4m + 4}{m}) · \dfrac{m^2}{m + 2}\\&=\dfrac{m^2 + 4m + 4}{m} · \dfrac{m^2}{m + 2}\\&=\dfrac{(m + 2)^2}{m} · \dfrac{m^2}{m + 2}\\&=m(m + 2)\\&=m^2 + 2m\end{aligned}$
∵m是一元二次方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根，将x=m代入方程得：
$2m^2 + 4m - 1 = 0$，即$2m^2 + 4m = 1$，
等式两边同时除以2可得：$m^2 + 2m = \dfrac{1}{2}$，
∴原式的值为$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值、一元二次方程的根的定义、整体代入求值
【点评】
本题核心是灵活运用分式运算规则和整体代入思想，解题的关键是先化简代数式再结合方程根的性质代入计算，避免了直接求解m带来的复杂运算，需要熟练掌握分式混合运算的顺序和整体代入的解题技巧。
【难度系数】
0.7
19 新考向 新定义题 关于$x$的一元二次方程$a_1(x-m)^2 +k=0$与$a_2(x-m)^2 +k=0$称为“同族二次方程”，如$2(x-3)^2 +4=0$与$3(x-3)^2 +4=0$是“同族二次方程”。现有关于$x$的一元二次方程$2(x-1)^2 +1=0$与$(a+2)x^2 +(b-4)x +8=0$是“同族二次方程”，则$a+b=$
−5
。答案
19. −5 【解析】由第一个方程$2(x-1)^2 +1=0$得$m=1$,$k=1$. $\therefore$ 第二个方程$(a+2)x^2 +(b-4)x +8=0$应等价于$(a+2)·(x-1)^2 +1=0$. $\therefore (a+2)(x-1)^2 +1=(a+2)x^2 -2(a+2)x +(a+3)=(a+2)x^2 +(b-4)x +8$. $\therefore \begin{cases}-2(a+2)=b-4,\\a+3=8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=5,\\b=-10.\end{cases}$ $\therefore a+b=5+(-10)=-5$
解析
【分析】
解题首先要准确理解“同族二次方程”的新定义：两个同族二次方程中，$(x-m)^2$中的$m$和常数$k$的取值完全相同，仅二次项系数不同。首先从已知的第一个同族方程中提取出$m$、$k$的值，再将第二个方程按照同族方程的形式改写为含$a$、$b$的顶点式，展开后与给出的第二个方程的一般式对比，根据多项式相等时对应项系数相等列出二元一次方程组，求解得到$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
由“同族二次方程”的定义可知，两个方程的$m$、$k$值相同，
∵ 方程$2(x-1)^2 +1=0$与$(a+2)x^2 +(b-4)x +8=0$是同族二次方程，
∴ $m=1$，$k=1$，即第二个方程可改写为：$(a+2)(x-1)^2 +1=0$，
将左边展开整理得：
$(a+2)(x^2-2x+1)+1=(a+2)x^2 - 2(a+2)x + (a+2)+1=(a+2)x^2 - 2(a+2)x + a+3$，
与$(a+2)x^2 +(b-4)x +8$对比，对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}-2(a+2)=b-4\\a+3=8\end{cases}$
先解第二个方程：$a+3=8$，得$a=5$，
将$a=5$代入第一个方程：$-2×(5+2)=b-4$，即$-14=b-4$，解得$b=-10$，
∴ $a+b=5+(-10)=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
新定义理解；多项式恒等条件；二元一次方程组求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是抓住“同族二次方程”中$m$、$k$不变的特征，将未知方程转化为顶点式后利用系数对应相等求解参数，既考查对新概念的提取应用能力，也考查整式运算和方程组求解的基础计算能力。
【难度系数】
0.6
解题首先要准确理解“同族二次方程”的新定义：两个同族二次方程中，$(x-m)^2$中的$m$和常数$k$的取值完全相同，仅二次项系数不同。首先从已知的第一个同族方程中提取出$m$、$k$的值，再将第二个方程按照同族方程的形式改写为含$a$、$b$的顶点式，展开后与给出的第二个方程的一般式对比，根据多项式相等时对应项系数相等列出二元一次方程组，求解得到$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
由“同族二次方程”的定义可知，两个方程的$m$、$k$值相同，
∵ 方程$2(x-1)^2 +1=0$与$(a+2)x^2 +(b-4)x +8=0$是同族二次方程，
∴ $m=1$，$k=1$，即第二个方程可改写为：$(a+2)(x-1)^2 +1=0$，
将左边展开整理得：
$(a+2)(x^2-2x+1)+1=(a+2)x^2 - 2(a+2)x + (a+2)+1=(a+2)x^2 - 2(a+2)x + a+3$，
与$(a+2)x^2 +(b-4)x +8$对比，对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}-2(a+2)=b-4\\a+3=8\end{cases}$
先解第二个方程：$a+3=8$，得$a=5$，
将$a=5$代入第一个方程：$-2×(5+2)=b-4$，即$-14=b-4$，解得$b=-10$，
∴ $a+b=5+(-10)=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
新定义理解；多项式恒等条件；二元一次方程组求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是抓住“同族二次方程”中$m$、$k$不变的特征，将未知方程转化为顶点式后利用系数对应相等求解参数，既考查对新概念的提取应用能力，也考查整式运算和方程组求解的基础计算能力。
【难度系数】
0.6
20 已知实数$a$是一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，求代数式$a^2 - 2024a + \frac{2025}{a^2 + 1}$的值。
答案
20. 由题意,得$a^2 -2025a +1=0$. $\therefore a≠ 0$,$a^2=2025a -1$,$a^2 +1=2025a$. $\therefore a^2 -2024a +\frac{2025}{a^2 +1}=2025a -1 -2024a +\frac{2025}{2025a}=a-1+\frac{1}{a}=\frac{a^2 +1}{a}-1=\frac{2025a}{a}-1=2024$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入方程得到关于a的等式，无需计算a的具体值，通过对等式变形，将所求代数式中的高次项$a^2$、分母$a^2+1$替换为含a的一次式，实现降次化简，再结合$a≠0$的隐含条件处理分式，即可快速求出结果，避免直接求根带来的复杂计算。
【解析】
解：
∵实数a是一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2025a + 1 = 0$，
若$a=0$，代入上式左边为$1≠0$，故$a≠0$，
对等式变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$，
将上述两个式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2024a + \frac{2025}{a^2 + 1}&=2025a - 1 - 2024a + \frac{2025}{2025a}\\&=a - 1 + \frac{1}{a}\\&=\frac{a^2 + 1}{a} - 1\end{aligned}$
再将$a^2 + 1 = 2025a$代入得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2025a}{a} - 1\\&=2025 - 1\\&=2024\end{aligned}$
【答案】
2024
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.整体代入求值 3.分式化简
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，核心是利用方程根的定义构造可替换的等式，对目标代数式降次简化计算，是代数式求值类题型的典型考法，熟练掌握整体替换技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入方程得到关于a的等式，无需计算a的具体值，通过对等式变形，将所求代数式中的高次项$a^2$、分母$a^2+1$替换为含a的一次式，实现降次化简，再结合$a≠0$的隐含条件处理分式，即可快速求出结果，避免直接求根带来的复杂计算。
【解析】
解：
∵实数a是一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2025a + 1 = 0$，
若$a=0$，代入上式左边为$1≠0$，故$a≠0$，
对等式变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$，
将上述两个式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2024a + \frac{2025}{a^2 + 1}&=2025a - 1 - 2024a + \frac{2025}{2025a}\\&=a - 1 + \frac{1}{a}\\&=\frac{a^2 + 1}{a} - 1\end{aligned}$
再将$a^2 + 1 = 2025a$代入得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2025a}{a} - 1\\&=2025 - 1\\&=2024\end{aligned}$
【答案】
2024
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.整体代入求值 3.分式化简
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，核心是利用方程根的定义构造可替换的等式，对目标代数式降次简化计算，是代数式求值类题型的典型考法，熟练掌握整体替换技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
