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【例】已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，根据下列要求回答问题.
(1)将其化为顶点式为
(2)请根据示意图填空:
①当$x=$
②当$-2≤x≤0$时，函数$y$的最大值为
③当$-1≤x≤4$时，函数$y$的最大值为
④若当$t≤x≤6$时，函数$y$的最小值为$-2$，则$t$的值为
⑤若当$x≤a$时，函数$y$有最小值$-4$，则$a$的取值范围是
⑥若当$t≤x≤t+2$时，函数$y$的最大值是5，则$t$的值为
(1)将其化为顶点式为
$y=(x-1)^2 -4$
，请在下列方框内画出该函数的示意图并标明其顶点及与$x$轴的交点.(2)请根据示意图填空:
①当$x=$
$1$
时，函数$y$有最小值，为$-4$
.②当$-2≤x≤0$时，函数$y$的最大值为
$5$
，最小值为$-3$
.③当$-1≤x≤4$时，函数$y$的最大值为
$5$
，最小值为$-4$
.④若当$t≤x≤6$时，函数$y$的最小值为$-2$，则$t$的值为
$1+\sqrt{2}$
.⑤若当$x≤a$时，函数$y$有最小值$-4$，则$a$的取值范围是
$a≥1$
.⑥若当$t≤x≤t+2$时，函数$y$的最大值是5，则$t$的值为
$-2$或$2$
.答案
(1)$y=(x-1)^2 -4$，示意图见
(2)①1 -4
②5 -3
③5 -4
④$1+\sqrt{2}$
⑤$a≥1$
⑥$-2$或$2$
解析
【分析】
解题思路：1. 第一问利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，绘制函数图像时先确定顶点坐标、与x轴、y轴的交点，结合开口方向即可完成作图；2. 第二问的最值问题结合二次函数性质求解：该函数开口向上，对称轴为x=1，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，顶点处取最小值。针对不同区间，先判断区间与对称轴的位置关系，再结合增减性计算端点、顶点的函数值，比较后得到最值；求解参数时先根据给定函数值解方程得到对应x的值，再结合区间范围、最值的位置确定参数的取值。
【解析】
(1) 利用配方法对解析式变形：
$y=x^2-2x-3 = x^2-2x+1 -1 -3 = (x-1)^2 -4$
绘制示意图：函数开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，令$y=0$，解得$x=-1$或$x=3$，即与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$，结合上述特征绘制图像即可。
(2) ① 二次函数开口向上，顶点处取最小值，顶点横坐标为1，纵坐标为-4，因此当$x=1$时，y的最小值为-4。
② 区间$-2≤x≤0$在对称轴$x=1$左侧，函数在该区间单调递减，因此$x=-2$时y取最大值：$y=(-2)^2-2×(-2)-3=5$；$x=0$时y取最小值：$y=0-0-3=-3$。
③ 区间$-1≤x≤4$包含对称轴$x=1$，因此最小值为顶点的函数值-4；比较区间端点到对称轴的距离：$|-1-1|=2$，$|4-1|=3$，可知$x=4$时y更大，代入得$y=4^2-2×4-3=5$，即最大值为5。
④ 令$y=-2$，则$(x-1)^2-4=-2$，解得$x=1+\sqrt{2}$或$x=1-\sqrt{2}$。若区间$t≤x≤6$包含$x=1$，则最小值为-4，不符合题意，因此区间在对称轴右侧，最小值在$x=t$处取到，故$t=1+\sqrt{2}$。
⑤ 函数最小值-4当且仅当x=1时取到，要使$x≤a$时函数能取到最小值-4，则区间需包含$x=1$，因此$a≥1$。
⑥ 令$y=5$，则$x^2-2x-3=5$，解得$x=-2$或$x=4$。区间$[t,t+2]$的最大值为5，说明区间端点为$x=-2$或$x=4$：若左端点为-2，即$t=-2$，此时区间为$[-2,0]$，最大值为5；若右端点为4，即$t+2=4$，$t=2$，此时区间为$[2,4]$，最大值为5，故$t=-2$或$2$。
【答案】
(1)$y=(x-1)^2 -4$，示意图见
(2)①1；-4
②5；-3
③5；-4
④$1+\sqrt{2}$
⑤$a≥1$
⑥$-2$或$2$
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值；二次函数的图像与性质
【点评】
本题围绕二次函数的性质展开，重点考查给定区间下的最值求解和含参区间的最值分析，解题时结合数形结合的方法，先确定对称轴位置，再判断区间与对称轴的位置关系，能有效提升解题准确率，注意含参问题要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路：1. 第一问利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，绘制函数图像时先确定顶点坐标、与x轴、y轴的交点，结合开口方向即可完成作图；2. 第二问的最值问题结合二次函数性质求解：该函数开口向上，对称轴为x=1，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，顶点处取最小值。针对不同区间，先判断区间与对称轴的位置关系，再结合增减性计算端点、顶点的函数值，比较后得到最值；求解参数时先根据给定函数值解方程得到对应x的值，再结合区间范围、最值的位置确定参数的取值。
【解析】
(1) 利用配方法对解析式变形：
$y=x^2-2x-3 = x^2-2x+1 -1 -3 = (x-1)^2 -4$
绘制示意图：函数开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，令$y=0$，解得$x=-1$或$x=3$，即与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$，结合上述特征绘制图像即可。
(2) ① 二次函数开口向上，顶点处取最小值，顶点横坐标为1，纵坐标为-4，因此当$x=1$时，y的最小值为-4。
② 区间$-2≤x≤0$在对称轴$x=1$左侧，函数在该区间单调递减，因此$x=-2$时y取最大值：$y=(-2)^2-2×(-2)-3=5$；$x=0$时y取最小值：$y=0-0-3=-3$。
③ 区间$-1≤x≤4$包含对称轴$x=1$，因此最小值为顶点的函数值-4；比较区间端点到对称轴的距离：$|-1-1|=2$，$|4-1|=3$，可知$x=4$时y更大，代入得$y=4^2-2×4-3=5$，即最大值为5。
④ 令$y=-2$，则$(x-1)^2-4=-2$，解得$x=1+\sqrt{2}$或$x=1-\sqrt{2}$。若区间$t≤x≤6$包含$x=1$，则最小值为-4，不符合题意，因此区间在对称轴右侧，最小值在$x=t$处取到，故$t=1+\sqrt{2}$。
⑤ 函数最小值-4当且仅当x=1时取到，要使$x≤a$时函数能取到最小值-4，则区间需包含$x=1$，因此$a≥1$。
⑥ 令$y=5$，则$x^2-2x-3=5$，解得$x=-2$或$x=4$。区间$[t,t+2]$的最大值为5，说明区间端点为$x=-2$或$x=4$：若左端点为-2，即$t=-2$，此时区间为$[-2,0]$，最大值为5；若右端点为4，即$t+2=4$，$t=2$，此时区间为$[2,4]$，最大值为5，故$t=-2$或$2$。
【答案】
(1)$y=(x-1)^2 -4$，示意图见
(2)①1；-4
②5；-3
③5；-4
④$1+\sqrt{2}$
⑤$a≥1$
⑥$-2$或$2$
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值；二次函数的图像与性质
【点评】
本题围绕二次函数的性质展开，重点考查给定区间下的最值求解和含参区间的最值分析，解题时结合数形结合的方法，先确定对称轴位置，再判断区间与对称轴的位置关系，能有效提升解题准确率，注意含参问题要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1.已知二次函数$y=-x^2+6x-5$，当$1＜x＜4$时，函数值$y$的取值范围是
$0＜y≤4$
。答案
$0＜y≤4$
解析
【分析】
要确定二次函数在给定自变量范围内的函数值取值范围，可按以下思路推导：①先将二次函数通过配方转化为顶点式，判断开口方向，确定对称轴和顶点坐标；②判断对称轴是否落在给定的x的取值区间内，若在区间内，顶点处的函数值就是对应最值（开口向下取最大值，开口向上取最小值）；③计算区间两个端点对应的函数值，结合区间的开闭情况判断端点值是否可取，最终综合得出y的取值范围。
【解析】
第一步：将二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+6x-5\\&=-(x^2-6x)-5\\&=-(x^2-6x+9-9)-5\\&=-(x-3)^2 +9 -5\\&=-(x-3)^2 +4\end{aligned}$
由顶点式可知：二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,4)$。
第二步：判断对称轴位置：对称轴$x=3$满足$1＜3＜4$，落在给定的自变量区间内，因此当$x=3$时，$y$取得最大值4，且$x=3$在区间内，最大值4可取。
第三步：计算区间端点对应的函数值：
当$x=1$时，代入原式得：$y=-1^2+6×1 -5=0$；
当$x=4$时，代入原式得：$y=-4^2+6×4 -5=3$；
由于自变量范围是$1＜x＜4$，为开区间，因此$x=1$和$x=4$都取不到，对应的$y=0$和$y=3$也取不到。
结合抛物线开口向下的增减性：$1＜x＜3$时$y$随$x$增大而增大，$3＜x＜4$时$y$随$x$增大而减小，可知函数值的最小极限为0（取不到），最大值为4（可取）。
【答案】
$0＜y≤4$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数的图象与性质；二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数取值范围类的基础典型题，解题核心是先通过顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合自变量的取值区间，综合顶点和区间端点的函数值判断取值范围，尤其要注意开闭区间对边界值是否可取的影响，避免误判端点值。
【难度系数】
0.6
要确定二次函数在给定自变量范围内的函数值取值范围，可按以下思路推导：①先将二次函数通过配方转化为顶点式，判断开口方向，确定对称轴和顶点坐标；②判断对称轴是否落在给定的x的取值区间内，若在区间内，顶点处的函数值就是对应最值（开口向下取最大值，开口向上取最小值）；③计算区间两个端点对应的函数值，结合区间的开闭情况判断端点值是否可取，最终综合得出y的取值范围。
【解析】
第一步：将二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+6x-5\\&=-(x^2-6x)-5\\&=-(x^2-6x+9-9)-5\\&=-(x-3)^2 +9 -5\\&=-(x-3)^2 +4\end{aligned}$
由顶点式可知：二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,4)$。
第二步：判断对称轴位置：对称轴$x=3$满足$1＜3＜4$，落在给定的自变量区间内，因此当$x=3$时，$y$取得最大值4，且$x=3$在区间内，最大值4可取。
第三步：计算区间端点对应的函数值：
当$x=1$时，代入原式得：$y=-1^2+6×1 -5=0$；
当$x=4$时，代入原式得：$y=-4^2+6×4 -5=3$；
由于自变量范围是$1＜x＜4$，为开区间，因此$x=1$和$x=4$都取不到，对应的$y=0$和$y=3$也取不到。
结合抛物线开口向下的增减性：$1＜x＜3$时$y$随$x$增大而增大，$3＜x＜4$时$y$随$x$增大而减小，可知函数值的最小极限为0（取不到），最大值为4（可取）。
【答案】
$0＜y≤4$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数的图象与性质；二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数取值范围类的基础典型题，解题核心是先通过顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合自变量的取值区间，综合顶点和区间端点的函数值判断取值范围，尤其要注意开闭区间对边界值是否可取的影响，避免误判端点值。
【难度系数】
0.6
2. 已知二次函数 $y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a≠0)$，当 $-1≤ x≤\dfrac{5}{2}$ 时，$y$ 的最大值为6，则 $a$ 的值为（
A.6或－2
B.－6或2
C.－6或－2
D.6或2
B
）A.6或－2
B.－6或2
C.－6或－2
D.6或2
答案
B
解析
【分析】
该题考查顶点式二次函数在固定区间内的最值求解，解题思路如下：首先确定二次函数的对称轴与顶点坐标，判断对称轴是否在给定区间内；再根据二次项系数a的正负分情况讨论开口方向：①a＞0时开口向上，区间内最大值出现在离对称轴更远的端点处；②a＜0时开口向下，区间内最大值出现在顶点处；最后分别代入最值条件列方程求解，验证解符合对应a的正负范围即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a≠0)$的对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},-a)$，且$\dfrac{1}{2}$属于区间$[-1,\dfrac{5}{2}]$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，区间内最大值在离对称轴更远的端点处取得：
端点$x=-1$到对称轴的距离：$\dfrac{1}{2}-(-1)=\dfrac{3}{2}$
端点$x=\dfrac{5}{2}$到对称轴的距离：$\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=2$
因$2＞\dfrac{3}{2}$，故$x=\dfrac{5}{2}$时y取最大值6，代入得：
$a(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2})^2 -a=6$，化简得$3a=6$，解得$a=2$，符合$a＞0$的条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，区间内最大值在顶点处取得：
即顶点纵坐标为最大值6，得$-a=6$，解得$a=-6$，符合$a＜0$的条件。
综上，a的值为-6或2。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略对a正负的分类讨论，或错误判断最值点的位置，解题关键是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系确定最值点。
【难度系数】
0.7
该题考查顶点式二次函数在固定区间内的最值求解，解题思路如下：首先确定二次函数的对称轴与顶点坐标，判断对称轴是否在给定区间内；再根据二次项系数a的正负分情况讨论开口方向：①a＞0时开口向上，区间内最大值出现在离对称轴更远的端点处；②a＜0时开口向下，区间内最大值出现在顶点处；最后分别代入最值条件列方程求解，验证解符合对应a的正负范围即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 - a(a≠0)$的对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},-a)$，且$\dfrac{1}{2}$属于区间$[-1,\dfrac{5}{2}]$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，区间内最大值在离对称轴更远的端点处取得：
端点$x=-1$到对称轴的距离：$\dfrac{1}{2}-(-1)=\dfrac{3}{2}$
端点$x=\dfrac{5}{2}$到对称轴的距离：$\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=2$
因$2＞\dfrac{3}{2}$，故$x=\dfrac{5}{2}$时y取最大值6，代入得：
$a(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2})^2 -a=6$，化简得$3a=6$，解得$a=2$，符合$a＞0$的条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，区间内最大值在顶点处取得：
即顶点纵坐标为最大值6，得$-a=6$，解得$a=-6$，符合$a＜0$的条件。
综上，a的值为-6或2。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略对a正负的分类讨论，或错误判断最值点的位置，解题关键是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系确定最值点。
【难度系数】
0.7
3. (黔东南期末)若二次函数$y=-x^2 -2x +3$，当$m≤x≤2$时，$y$有最大值4，最小值$-5$，则$m$的取值范围是（
A.$-4≤m≤2$
B.$-4≤m≤-1$
C.$m≤-1$
D.$-1≤m≤2$
B
）A.$-4≤m≤2$
B.$-4≤m≤-1$
C.$m≤-1$
D.$-1≤m≤2$
答案
B
解析
【分析】
解决本题是定二次函数、动区间的最值问题，解题思路如下：第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数的增减性；第二步分别求出函数值为4和-5时对应的x的值；第三步结合给定区间右端点x=2的函数值，分析要同时满足最大值为4、最小值为-5时，区间左端点m需要满足的条件，进而求出m的取值范围。
【解析】
首先对二次函数解析式配方：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x+1)+1+3=-(x+1)^2+4$
由此可知：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$，即函数的最大值为4，且在$x=-1$处取得。
先计算区间右端点$x=2$对应的函数值：
当$x=2$时，$y=-2^2-2×2+3=-4-4+3=-5$，恰好为题目给出的最小值。
再求函数值为$-5$时对应的$x$：
令$y=-5$，则$-(x+1)^2+4=-5$，
整理得$(x+1)^2=9$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
结合函数增减性分析：
因为函数开口向下，在对称轴左侧（$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小。
要使$m≤x≤2$时，$y$的最大值为4，说明区间必须包含顶点$x=-1$，因此$m≤-1$；
要使$y$的最小值为$-5$，说明区间左端点$m$不能小于$-4$，否则当$m＜-4$时，$x=m$对应的函数值会小于$-5$，不符合最小值为$-5$的要求，因此$m≥-4$。
综上，$m$的取值范围是$-4≤m≤-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，区间最值求解
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型考题，解题关键是先确定二次函数的开口方向、对称轴，结合函数增减性判断最值的取值位置，分析区间范围时要注意验证端点是否满足要求，避免取值范围扩大或缩小。
【难度系数】
0.6
解决本题是定二次函数、动区间的最值问题，解题思路如下：第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数的增减性；第二步分别求出函数值为4和-5时对应的x的值；第三步结合给定区间右端点x=2的函数值，分析要同时满足最大值为4、最小值为-5时，区间左端点m需要满足的条件，进而求出m的取值范围。
【解析】
首先对二次函数解析式配方：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x+1)+1+3=-(x+1)^2+4$
由此可知：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$，即函数的最大值为4，且在$x=-1$处取得。
先计算区间右端点$x=2$对应的函数值：
当$x=2$时，$y=-2^2-2×2+3=-4-4+3=-5$，恰好为题目给出的最小值。
再求函数值为$-5$时对应的$x$：
令$y=-5$，则$-(x+1)^2+4=-5$，
整理得$(x+1)^2=9$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
结合函数增减性分析：
因为函数开口向下，在对称轴左侧（$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小。
要使$m≤x≤2$时，$y$的最大值为4，说明区间必须包含顶点$x=-1$，因此$m≤-1$；
要使$y$的最小值为$-5$，说明区间左端点$m$不能小于$-4$，否则当$m＜-4$时，$x=m$对应的函数值会小于$-5$，不符合最小值为$-5$的要求，因此$m≥-4$。
综上，$m$的取值范围是$-4≤m≤-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，区间最值求解
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型考题，解题关键是先确定二次函数的开口方向、对称轴，结合函数增减性判断最值的取值位置，分析区间范围时要注意验证端点是否满足要求，避免取值范围扩大或缩小。
【难度系数】
0.6
4.(南阳月考)已知二次函数$y=(x-h)^2+1$（$h$为常数），在自变量$x$的值满足$1≤x≤3$的情况下，与其对应的函数值$y$的最小值为10，则$h$的值为（
A.$-2$或4
B.$0$或6
C.$1$或3
D.$-2$或6
D
）A.$-2$或4
B.$0$或6
C.$1$或3
D.$-2$或6
答案
D
解析
【分析】
该二次函数为顶点式，开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点处函数值为1。由于题目给定自变量$x$的取值范围是$1≤x≤3$，函数最小值不一定在顶点处取得，需根据对称轴$h$与区间$[1,3]$的位置关系分三类讨论：①$h$在区间左侧（$h＜1$）；②$h$在区间内（$1≤h≤3$）；③$h$在区间右侧（$h＞3$），分别求出每种情况下的最小值，再结合最小值为10列方程求解，排除不符合条件的解即可得到$h$的值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(x-h)^2+1$的二次项系数$a=1＞0$，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线$x=h$，当$x=h$时，函数取得最小值1。
分三种情况讨论：
1. 当$h＜1$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=1$时$y$取最小值10，
代入得：$(1-h)^2+1=10$，
解得$h=-2$或$h=4$，
∵$h＜1$，
∴$h=4$舍去，得$h=-2$；
2. 当$1≤h≤3$时，函数的最小值为顶点的函数值1，与题中最小值为10矛盾，故该情况不存在；
3. 当$h＞3$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=3$时$y$取最小值10，
代入得：$(3-h)^2+1=10$，
解得$h=6$或$h=0$，
∵$h＞3$，
∴$h=0$舍去，得$h=6$。
综上，$h$的值为$-2$或$6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题，解题关键是明确开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大，需结合对称轴和给定区间的位置关系分类讨论，避免默认顶点为区间内最小值点导致漏解、错解。
【难度系数】
0.6
该二次函数为顶点式，开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点处函数值为1。由于题目给定自变量$x$的取值范围是$1≤x≤3$，函数最小值不一定在顶点处取得，需根据对称轴$h$与区间$[1,3]$的位置关系分三类讨论：①$h$在区间左侧（$h＜1$）；②$h$在区间内（$1≤h≤3$）；③$h$在区间右侧（$h＞3$），分别求出每种情况下的最小值，再结合最小值为10列方程求解，排除不符合条件的解即可得到$h$的值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(x-h)^2+1$的二次项系数$a=1＞0$，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线$x=h$，当$x=h$时，函数取得最小值1。
分三种情况讨论：
1. 当$h＜1$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=1$时$y$取最小值10，
代入得：$(1-h)^2+1=10$，
解得$h=-2$或$h=4$，
∵$h＜1$，
∴$h=4$舍去，得$h=-2$；
2. 当$1≤h≤3$时，函数的最小值为顶点的函数值1，与题中最小值为10矛盾，故该情况不存在；
3. 当$h＞3$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=3$时$y$取最小值10，
代入得：$(3-h)^2+1=10$，
解得$h=6$或$h=0$，
∵$h＞3$，
∴$h=0$舍去，得$h=6$。
综上，$h$的值为$-2$或$6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值求解，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题，解题关键是明确开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大，需结合对称轴和给定区间的位置关系分类讨论，避免默认顶点为区间内最小值点导致漏解、错解。
【难度系数】
0.6
5.(河南期末)已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$(2,1)$和点$(-1,4)$.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若将抛物线$y=x^2+bx+c$往下平移$m$个单位长度得到新的抛物线$y_1$,且当$0≤x≤3$时,$y_1$的最大值为3,求$m$的值；
(3)若当$t≤x≤t+1$时,抛物线$y=x^2+bx+c$的最小值为4,求$t$的值.(直接写出结果)
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若将抛物线$y=x^2+bx+c$往下平移$m$个单位长度得到新的抛物线$y_1$,且当$0≤x≤3$时,$y_1$的最大值为3,求$m$的值；
(3)若当$t≤x≤t+1$时,抛物线$y=x^2+bx+c$的最小值为4,求$t$的值.(直接写出结果)
答案
解:(1)将点(2,1),(-1,4)代入抛物线$y=x^2+bx+c$,得
$\begin{cases} 1=2^2+2b+c,\\4=(-1)^2+(-1)× b+c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2,\\c=1.\end{cases}$ $\therefore$抛物线的解析式为$y=x^2-2x+1$,即$y=(x-1)^2$.
(2)原抛物线$y=(x-1)^2$向下平移$m$个单位长度后为$y_1=(x-1)^2 - m$.
$\because$抛物线开口向上,对称轴是$x=1$,$\therefore$在$0≤ x≤ 3$中,当$x=3$时,$y=(3-1)^2 - m=4 - m$为最大值. $\therefore 4 - m=3$,解得$m=1$.
(3)由题意,得抛物线的顶点为$(1,0)$,开口向上,若$t≤ x≤ t+1$包含顶点$x=1$时,最小值为0,但题目要求最小值为4,故$t≤ x≤ t+1$不包含顶点. 当$t≥1$,此时函数最小值在$x=t$处取得,$\therefore (t-1)^2=4$,解得$t=3$或$t=-1$(舍去);当$t+1≤1$,即$t≤0$时,此时函数最小值在$x=t+1$处取得,$\therefore (t+1-1)^2=4$,解得$t=2$(舍去)或$t=-2$. 综上所述,$t$的值为$-2$或3.
$\begin{cases} 1=2^2+2b+c,\\4=(-1)^2+(-1)× b+c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2,\\c=1.\end{cases}$ $\therefore$抛物线的解析式为$y=x^2-2x+1$,即$y=(x-1)^2$.
(2)原抛物线$y=(x-1)^2$向下平移$m$个单位长度后为$y_1=(x-1)^2 - m$.
$\because$抛物线开口向上,对称轴是$x=1$,$\therefore$在$0≤ x≤ 3$中,当$x=3$时,$y=(3-1)^2 - m=4 - m$为最大值. $\therefore 4 - m=3$,解得$m=1$.
(3)由题意,得抛物线的顶点为$(1,0)$,开口向上,若$t≤ x≤ t+1$包含顶点$x=1$时,最小值为0,但题目要求最小值为4,故$t≤ x≤ t+1$不包含顶点. 当$t≥1$,此时函数最小值在$x=t$处取得,$\therefore (t-1)^2=4$,解得$t=3$或$t=-1$(舍去);当$t+1≤1$,即$t≤0$时,此时函数最小值在$x=t+1$处取得,$\therefore (t+1-1)^2=4$,解得$t=2$(舍去)或$t=-2$. 综上所述,$t$的值为$-2$或3.
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式已知两个过点，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到b、c的值，进而得到抛物线解析式。
(2) 先根据二次函数“上加下减”的平移规律写出平移后$y_1$的解析式，结合抛物线开口方向、对称轴分析区间$0≤x≤3$内的最大值位置：开口向上的抛物线离对称轴越远函数值越大，找到最大值后令其等于3即可求解m。
(3) 原抛物线开口向上，顶点处最小值为0，题中区间内最小值为4，说明区间不包含顶点，分两种情况讨论：①区间整体在对称轴右侧，最小值在区间左端点取得；②区间整体在对称轴左侧，最小值在区间右端点取得，分别列方程求解后舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 将点$(2,1)$、$(-1,4)$代入抛物线$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} 1=2^2+2b+c \\4=(-1)^2+(-1)×b+c \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\c=1 \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x+1$，即$y=(x-1)^2$。
(2) 原抛物线向下平移$m$个单位长度，根据平移规律得新抛物线解析式为$y_1=(x-1)^2 - m$。
∵抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴在$0≤x≤3$范围内，$x=3$离对称轴更远，函数值最大，
将$x=3$代入得最大值为$(3-1)^2 - m=4 - m$，
由题意得$4 - m=3$，解得$m=1$。
(3) 原抛物线$y=(x-1)^2$开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，函数最小值为0，
∵$t≤x≤t+1$时函数最小值为4，说明区间不包含顶点$x=1$，分两种情况讨论：
①当$t≥1$时，区间在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，最小值在$x=t$处取得，
∴$(t-1)^2=4$，解得$t=3$或$t=-1$（不符合$t≥1$，舍去）；
②当$t+1≤1$即$t≤0$时，区间在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，最小值在$x=t+1$处取得，
∴$(t+1-1)^2=4$，即$t^2=4$，解得$t=-2$或$t=2$（不符合$t≤0$，舍去）。
综上，$t$的值为$-2$或$3$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$（或$y=x^2-2x+1$）；
(2) $m=1$；
(3) $t=-2$或$3$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数平移，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数经典综合题，覆盖了解析式求解、平移性质、区间最值等核心考点，第三问的动区间最值考察分类讨论思想，能有效巩固二次函数性质的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 求二次函数解析式已知两个过点，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到b、c的值，进而得到抛物线解析式。
(2) 先根据二次函数“上加下减”的平移规律写出平移后$y_1$的解析式，结合抛物线开口方向、对称轴分析区间$0≤x≤3$内的最大值位置：开口向上的抛物线离对称轴越远函数值越大，找到最大值后令其等于3即可求解m。
(3) 原抛物线开口向上，顶点处最小值为0，题中区间内最小值为4，说明区间不包含顶点，分两种情况讨论：①区间整体在对称轴右侧，最小值在区间左端点取得；②区间整体在对称轴左侧，最小值在区间右端点取得，分别列方程求解后舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 将点$(2,1)$、$(-1,4)$代入抛物线$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} 1=2^2+2b+c \\4=(-1)^2+(-1)×b+c \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\c=1 \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x+1$，即$y=(x-1)^2$。
(2) 原抛物线向下平移$m$个单位长度，根据平移规律得新抛物线解析式为$y_1=(x-1)^2 - m$。
∵抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴在$0≤x≤3$范围内，$x=3$离对称轴更远，函数值最大，
将$x=3$代入得最大值为$(3-1)^2 - m=4 - m$，
由题意得$4 - m=3$，解得$m=1$。
(3) 原抛物线$y=(x-1)^2$开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，函数最小值为0，
∵$t≤x≤t+1$时函数最小值为4，说明区间不包含顶点$x=1$，分两种情况讨论：
①当$t≥1$时，区间在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，最小值在$x=t$处取得，
∴$(t-1)^2=4$，解得$t=3$或$t=-1$（不符合$t≥1$，舍去）；
②当$t+1≤1$即$t≤0$时，区间在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，最小值在$x=t+1$处取得，
∴$(t+1-1)^2=4$，即$t^2=4$，解得$t=-2$或$t=2$（不符合$t≤0$，舍去）。
综上，$t$的值为$-2$或$3$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$（或$y=x^2-2x+1$）；
(2) $m=1$；
(3) $t=-2$或$3$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数平移，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数经典综合题，覆盖了解析式求解、平移性质、区间最值等核心考点，第三问的动区间最值考察分类讨论思想，能有效巩固二次函数性质的应用。
【难度系数】
0.6
