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4.(南充中考)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题.
材料一：租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二：A型客车租车费用为3200元/辆;B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用$(3200-50m)$元/辆;租用B型客车,租车费用打八折.
材料三：租车公司最多提供8辆A型客车;学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆.
(1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少?
材料一：租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二：A型客车租车费用为3200元/辆;B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用$(3200-50m)$元/辆;租用B型客车,租车费用打八折.
材料三：租车公司最多提供8辆A型客车;学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆.
(1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少?
答案
(1) 设 A 型客车每辆载客量为$x$人,则 B 型客车每辆载客量为$(x-15)$人,根据题意,得$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-15}$,解得$x=60$.经检验,$x=60$是所列方程的解,且符合题意. $\therefore x-15=60-15=45$.答:A 型客车每辆载客量为 60 人,B 型客车每辆载客量为 45 人.
(2) 设租用 A 型客车$m$辆,则租用 B 型客车$(10-m)$辆,根据题意,得$60m+45(10-m)≥ 530$,解得$m≥ \frac{16}{3}$.设本次研学活动学校的租车总费用为$w$元,则$w=(3200-50m)m+3000× 0.8(10-m)=-50m^2+800m+24000$,$\because -50＜0$,抛物线的对称轴为$m=-\frac{800}{2×(-50)}=8$,$\therefore$ 当$m≤ 8$时,$w$随着$m$的增大而增大. $\because m$取正整数,且$m≥ \frac{16}{3}$,$\therefore$ 当$m=6$时,$w$取得最小值,最小值为$-50× 6^2+800× 6+24000=27000$.答:本次研学活动学校的最少租车费用是 27000 元.
(2) 设租用 A 型客车$m$辆,则租用 B 型客车$(10-m)$辆,根据题意,得$60m+45(10-m)≥ 530$,解得$m≥ \frac{16}{3}$.设本次研学活动学校的租车总费用为$w$元,则$w=(3200-50m)m+3000× 0.8(10-m)=-50m^2+800m+24000$,$\because -50＜0$,抛物线的对称轴为$m=-\frac{800}{2×(-50)}=8$,$\therefore$ 当$m≤ 8$时,$w$随着$m$的增大而增大. $\because m$取正整数,且$m≥ \frac{16}{3}$,$\therefore$ 当$m=6$时,$w$取得最小值,最小值为$-50× 6^2+800× 6+24000=27000$.答:本次研学活动学校的最少租车费用是 27000 元.
解析
【分析】
(1) 求解A、B型客车载客量时，先找准两个等量关系：①每辆A型客车比B型多载客15人；②载客600人用A型车的数量和载客450人用B型车的数量相等。我们设A型载客量为x人，用x表示B型载客量，再根据车辆数相等列分式方程求解即可，注意分式方程的根需要检验。
(2) 求最少租车费用时，首先确定租用A型车数量m的取值范围：一是总载客量不得少于530人，二是A型车最多提供8辆，且m为正整数；再根据优惠规则列出总费用关于m的二次函数表达式，结合二次函数的增减性，在m的取值范围内找到使总费用最小的m值，代入计算即可得到最低费用。
【解析】
(1) 设A型客车每辆载客量为$x$人，则B型客车每辆载客量为$(x-15)$人。
根据题意列方程：
$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-15}$
交叉相乘得$600(x-15)=450x$，
整理得$150x=9000$，解得$x=60$。
检验：当$x=60$时，$x(x-15)=2700≠0$，因此$x=60$是原方程的解，且符合实际意义。
则B型客车每辆载客量为$x-15=60-15=45$（人）。
(2) 设租用A型客车$m$辆，则租用B型客车$(10-m)$辆。
根据总载客量要求列不等式：
$60m + 45(10-m) ≥ 530$
整理得$15m≥80$，解得$m≥\frac{16}{3}$。
结合A型车最多提供8辆，且$m$为正整数，可得$m$的取值为6、7、8。
设总租车费用为$w$元，根据优惠方案列函数式：
$w = m(3200-50m) + 3000×0.8(10-m)$
整理得$w=-50m^2 +800m +24000$。
该函数为开口向下的二次函数，对称轴为$m=-\frac{800}{2×(-50)}=8$，因此当$m≤8$时，$w$随$m$的增大而增大。
要使$w$最小，取$m$的最小整数值6，代入得：
$w=-50×6^2 +800×6 +24000=27000$（元）。
【答案】
(1) A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
(2) 本次研学活动学校的最少租车费用是27000元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数最值应用
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查多个知识点的综合应用，求解时要注意分式方程必须验根，实际问题中自变量的取值要符合现实要求，结合函数增减性求最值是解决这类优化问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
(1) 求解A、B型客车载客量时，先找准两个等量关系：①每辆A型客车比B型多载客15人；②载客600人用A型车的数量和载客450人用B型车的数量相等。我们设A型载客量为x人，用x表示B型载客量，再根据车辆数相等列分式方程求解即可，注意分式方程的根需要检验。
(2) 求最少租车费用时，首先确定租用A型车数量m的取值范围：一是总载客量不得少于530人，二是A型车最多提供8辆，且m为正整数；再根据优惠规则列出总费用关于m的二次函数表达式，结合二次函数的增减性，在m的取值范围内找到使总费用最小的m值，代入计算即可得到最低费用。
【解析】
(1) 设A型客车每辆载客量为$x$人，则B型客车每辆载客量为$(x-15)$人。
根据题意列方程：
$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-15}$
交叉相乘得$600(x-15)=450x$，
整理得$150x=9000$，解得$x=60$。
检验：当$x=60$时，$x(x-15)=2700≠0$，因此$x=60$是原方程的解，且符合实际意义。
则B型客车每辆载客量为$x-15=60-15=45$（人）。
(2) 设租用A型客车$m$辆，则租用B型客车$(10-m)$辆。
根据总载客量要求列不等式：
$60m + 45(10-m) ≥ 530$
整理得$15m≥80$，解得$m≥\frac{16}{3}$。
结合A型车最多提供8辆，且$m$为正整数，可得$m$的取值为6、7、8。
设总租车费用为$w$元，根据优惠方案列函数式：
$w = m(3200-50m) + 3000×0.8(10-m)$
整理得$w=-50m^2 +800m +24000$。
该函数为开口向下的二次函数，对称轴为$m=-\frac{800}{2×(-50)}=8$，因此当$m≤8$时，$w$随$m$的增大而增大。
要使$w$最小，取$m$的最小整数值6，代入得：
$w=-50×6^2 +800×6 +24000=27000$（元）。
【答案】
(1) A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
(2) 本次研学活动学校的最少租车费用是27000元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数最值应用
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查多个知识点的综合应用，求解时要注意分式方程必须验根，实际问题中自变量的取值要符合现实要求，结合函数增减性求最值是解决这类优化问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
5.（深圳中考）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间,安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数;
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数$y$与安检时间$x$之间满足关系式:$y=-x^2 +60x +100$ $(0≤x≤30)$.
结合上述信息,请完成下述问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间$x$分钟时,已入场人数为
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大人数为多少?
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道,请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间,安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数;
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数$y$与安检时间$x$之间满足关系式:$y=-x^2 +60x +100$ $(0≤x≤30)$.
结合上述信息,请完成下述问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间$x$分钟时,已入场人数为
18x
,排队人数$w$与安检时间$x$的函数关系式为$w=-x^2+42x+100$
;【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大人数为多少?
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道,请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.
答案
(1) $18x$; $w=-x^2+42x+100$
(2) $\because w=-x^2+42x+100=-(x-21)^2+541$,$\therefore$ 当$x=21$时,$w$取最大值,最大值为 541.答:排队人数在第 21 分钟达到最大值,最大人数为 541 人.
(3) 设开了$m$条通道,则$w=y-6mx=-x^2+60x+100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100$. $\therefore$ 对称轴为$x=3(10-m)$. $\because$ 排队人数 10 分钟(包括 10 分钟)内减少,$\therefore 0≤ 3(10-m)≤ 10$,即$\frac{20}{3}≤ m≤ 10$. 又$\because$ 最多开通 9 条,$\therefore \frac{20}{3}≤ m≤ 9$. $\because m$为正整数,$\therefore m$的最小值为 7. $\therefore$ 最少开 7 条通道.
(2) $\because w=-x^2+42x+100=-(x-21)^2+541$,$\therefore$ 当$x=21$时,$w$取最大值,最大值为 541.答:排队人数在第 21 分钟达到最大值,最大人数为 541 人.
(3) 设开了$m$条通道,则$w=y-6mx=-x^2+60x+100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100$. $\therefore$ 对称轴为$x=3(10-m)$. $\because$ 排队人数 10 分钟(包括 10 分钟)内减少,$\therefore 0≤ 3(10-m)≤ 10$,即$\frac{20}{3}≤ m≤ 10$. 又$\because$ 最多开通 9 条,$\therefore \frac{20}{3}≤ m≤ 9$. $\because m$为正整数,$\therefore m$的最小值为 7. $\therefore$ 最少开 7 条通道.
解析
【分析】
（1）首先根据每条通道每分钟安检6人的条件，先计算3条通道每分钟的总安检效率，乘以安检时间x即可得到已入场人数；再根据题目给出的“排队人数=现场总人数-已入场人数”的关系，代入总人数y的表达式，就能推导出排队人数w和x的函数关系式。
（2）得到w的二次函数表达式后，因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点位置对应函数最大值，通过配方或者顶点坐标公式即可求出最值对应的时间和最大排队人数。
（3）先设开设m条安检通道，仿照（1）的逻辑写出w关于x的函数表达式，求出二次函数的对称轴；要求10分钟内排队人数减少，结合开口向下的二次函数“对称轴右侧函数值随x增大而减小”的性质，可得对称轴≤10，再结合m为正整数、最多开放9条通道的限制，即可求出满足条件的最小m值。
【解析】
(1) 开通3条安检通道时，每分钟总安检人数为$3×6=18$人，因此x分钟已入场人数为$18x$；
根据排队人数的计算公式，代入$y=-x^2 +60x +100$可得：
$w=y-18x=-x^2 +60x +100-18x=-x^2+42x+100$（$0≤ x≤30$）。
(2) 对$w=-x^2+42x+100$配方得：
$w=-(x^2-42x)+100=-(x-21)^2+441+100=-(x-21)^2+541$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，且$x=21$在$0≤ x≤30$的取值范围内，
$\therefore$ 当$x=21$时，$w$取最大值，最大值为541。
(3) 设开设$m$条安检通道，此时x分钟已入场人数为$6mx$，则排队人数为：
$w=y-6mx=-x^2 +60x +100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{6(10-m)}{2×(-1)}=3(10-m)$，
要求10分钟内（含10分钟）排队人数减少，即$0≤ x≤10$时$w$随$x$增大而减小，因此对称轴需满足$0≤3(10-m)≤10$，
解不等式得$\frac{20}{3}≤ m≤10$，
又$\because$ 最多可开放9条通道，且$m$为正整数，因此$m$的最小取值为7。
【答案】
(1) $18x$; $w=-x^2+42x+100$
(2) 排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人。
(3) 可开设7条安检通道。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题结合生活中排队安检的真实场景考查二次函数的综合应用，解题核心是理清各数量间的关系，将实际问题转化为二次函数的性质问题求解，同时要注意参数的取值要符合实际限制。
【难度系数】
0.65
（1）首先根据每条通道每分钟安检6人的条件，先计算3条通道每分钟的总安检效率，乘以安检时间x即可得到已入场人数；再根据题目给出的“排队人数=现场总人数-已入场人数”的关系，代入总人数y的表达式，就能推导出排队人数w和x的函数关系式。
（2）得到w的二次函数表达式后，因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点位置对应函数最大值，通过配方或者顶点坐标公式即可求出最值对应的时间和最大排队人数。
（3）先设开设m条安检通道，仿照（1）的逻辑写出w关于x的函数表达式，求出二次函数的对称轴；要求10分钟内排队人数减少，结合开口向下的二次函数“对称轴右侧函数值随x增大而减小”的性质，可得对称轴≤10，再结合m为正整数、最多开放9条通道的限制，即可求出满足条件的最小m值。
【解析】
(1) 开通3条安检通道时，每分钟总安检人数为$3×6=18$人，因此x分钟已入场人数为$18x$；
根据排队人数的计算公式，代入$y=-x^2 +60x +100$可得：
$w=y-18x=-x^2 +60x +100-18x=-x^2+42x+100$（$0≤ x≤30$）。
(2) 对$w=-x^2+42x+100$配方得：
$w=-(x^2-42x)+100=-(x-21)^2+441+100=-(x-21)^2+541$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，且$x=21$在$0≤ x≤30$的取值范围内，
$\therefore$ 当$x=21$时，$w$取最大值，最大值为541。
(3) 设开设$m$条安检通道，此时x分钟已入场人数为$6mx$，则排队人数为：
$w=y-6mx=-x^2 +60x +100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{6(10-m)}{2×(-1)}=3(10-m)$，
要求10分钟内（含10分钟）排队人数减少，即$0≤ x≤10$时$w$随$x$增大而减小，因此对称轴需满足$0≤3(10-m)≤10$，
解不等式得$\frac{20}{3}≤ m≤10$，
又$\because$ 最多可开放9条通道，且$m$为正整数，因此$m$的最小取值为7。
【答案】
(1) $18x$; $w=-x^2+42x+100$
(2) 排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人。
(3) 可开设7条安检通道。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题结合生活中排队安检的真实场景考查二次函数的综合应用，解题核心是理清各数量间的关系，将实际问题转化为二次函数的性质问题求解，同时要注意参数的取值要符合实际限制。
【难度系数】
0.65
