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【例】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°.求证：$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
答案
证明：
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。
∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ CF = CE，∠CFD = ∠CEB = 90°。
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，
∴ ∠ABC = ∠CDF。
在△CDF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠CFD = ∠CEB \\∠CDF = ∠CBE \\CD = CB\end{array} $
∴ △CDF ≌ △CBE（AAS），
∴ DF = BE。
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AC \\CF = CE\end{array} $
∴ Rt△ACF ≌ Rt△ACE（HL），
∴ AF = AE。
∵ AB = AE + BE，AD = AF - DF，
且AF = AE，DF = BE，
∴ AB + AD = AE + BE + AE - BE = 2AE，
∴ $AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。
∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ CF = CE，∠CFD = ∠CEB = 90°。
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，
∴ ∠ABC = ∠CDF。
在△CDF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠CFD = ∠CEB \\∠CDF = ∠CBE \\CD = CB\end{array} $
∴ △CDF ≌ △CBE（AAS），
∴ DF = BE。
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AC \\CF = CE\end{array} $
∴ Rt△ACF ≌ Rt△ACE（HL），
∴ AF = AE。
∵ AB = AE + BE，AD = AF - DF，
且AF = AE，DF = BE，
∴ AB + AD = AE + BE + AE - BE = 2AE，
∴ $AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
解析
【分析】
要证明$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$，本质是证明$AB+AD=2AE$，属于线段和差类证明题，需通过全等三角形转化线段关系。首先结合AC平分∠BAD、CE⊥AB的条件，根据角平分线的性质，可过点C作AD延长线的垂线CF，得到CF=CE；再结合已知∠ABC+∠ADC=180°可推出∠CDF=∠CBE，配合CD=CB的条件可证△CDF和△CBE全等，得到DF=BE；接下来证明Rt△ACF和Rt△ACE全等，得到AF=AE；最后将AB、AD用含AE、BE、DF的式子表示，相加后消去等量即可推导出结论。
【解析】
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。
∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ CF = CE，∠CFD = ∠CEB = 90°。
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，
∴ ∠ABC = ∠CDF。
在△CDF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠CFD = ∠CEB \\∠CDF = ∠CBE \\CD = CB\end{array} $
∴ △CDF ≌ △CBE（AAS），
∴ DF = BE。
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AC \\CF = CE\end{array} $
∴ Rt△ACF ≌ Rt△ACE（HL），
∴ AF = AE。
∵ AB = AE + BE，AD = AF - DF，
且AF = AE，DF = BE，
∴ AB + AD = AE + BE + AE - BE = 2AE，
∴ $AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
【答案】
$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$
【知识点】
1.角平分线的性质 2.全等三角形的判定 3.全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形构造的典型题型，核心解题思路是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，实现不同线段之间的等量转化，这种构造方法在处理对角互补、邻边相等的几何问题时非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$，本质是证明$AB+AD=2AE$，属于线段和差类证明题，需通过全等三角形转化线段关系。首先结合AC平分∠BAD、CE⊥AB的条件，根据角平分线的性质，可过点C作AD延长线的垂线CF，得到CF=CE；再结合已知∠ABC+∠ADC=180°可推出∠CDF=∠CBE，配合CD=CB的条件可证△CDF和△CBE全等，得到DF=BE；接下来证明Rt△ACF和Rt△ACE全等，得到AF=AE；最后将AB、AD用含AE、BE、DF的式子表示，相加后消去等量即可推导出结论。
【解析】
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。
∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ CF = CE，∠CFD = ∠CEB = 90°。
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，
∴ ∠ABC = ∠CDF。
在△CDF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠CFD = ∠CEB \\∠CDF = ∠CBE \\CD = CB\end{array} $
∴ △CDF ≌ △CBE（AAS），
∴ DF = BE。
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AC \\CF = CE\end{array} $
∴ Rt△ACF ≌ Rt△ACE（HL），
∴ AF = AE。
∵ AB = AE + BE，AD = AF - DF，
且AF = AE，DF = BE，
∴ AB + AD = AE + BE + AE - BE = 2AE，
∴ $AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
【答案】
$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$
【知识点】
1.角平分线的性质 2.全等三角形的判定 3.全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形构造的典型题型，核心解题思路是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，实现不同线段之间的等量转化，这种构造方法在处理对角互补、邻边相等的几何问题时非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
1.如图,在平面直角坐标系中,点$C(m,m)$在第一象限,点$B,A$分别在$x$轴的正半轴和$y$轴的正半轴上,$∠ ACB=90°$,求$OA+OB$的值.(用含$m$的代数式表示)
答案
$OA+OB=2m$
解析
【分析】
已知点C的横、纵坐标均为m，说明点C到x轴、y轴的距离相等，我们可通过过点C作两条坐标轴的垂线构造全等三角形，将OA、OB的线段和转化为可求的固定长度之和：首先作辅助线得到正方形和两个直角三角形，结合∠ACB=90°推导角相等，证明三角形全等后替换线段，即可求出OA+OB的结果。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于E，$CD⊥ x$轴于D。
∵点$C(m,m)$在第一象限，
∴$CE=CD=m$，$∠ CEO=∠ CDO=90°$，
又
∵$∠ EOD=90°$，
∴四边形OECD是矩形，结合$CE=CD$，可知四边形OECD是正方形，
∴$OE=OD=m$，$∠ ECD=90°$。
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ECD-∠ ACD=∠ ACB-∠ ACD$，即$∠ ECA=∠ DCB$。
在$△ ECA$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}∠ CEA=∠ CDB=90° \\CE=CD \\∠ ECA=∠ DCB\end{cases}$
∴$△ ECA≌△ DCB(\mathrm{ASA})$，
∴$AE=BD$。
则$OA+OB=(OE-AE)+(OD+BD)=OE+OD=m+m=2m$。
【答案】
$OA+OB=2m$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 正方形的性质
3. 平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是邻边相等构造全等的典型题型，通过作坐标轴垂线构造全等实现线段转化是解决此类问题的常用方法，需要熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
已知点C的横、纵坐标均为m，说明点C到x轴、y轴的距离相等，我们可通过过点C作两条坐标轴的垂线构造全等三角形，将OA、OB的线段和转化为可求的固定长度之和：首先作辅助线得到正方形和两个直角三角形，结合∠ACB=90°推导角相等，证明三角形全等后替换线段，即可求出OA+OB的结果。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于E，$CD⊥ x$轴于D。
∵点$C(m,m)$在第一象限，
∴$CE=CD=m$，$∠ CEO=∠ CDO=90°$，
又
∵$∠ EOD=90°$，
∴四边形OECD是矩形，结合$CE=CD$，可知四边形OECD是正方形，
∴$OE=OD=m$，$∠ ECD=90°$。
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ECD-∠ ACD=∠ ACB-∠ ACD$，即$∠ ECA=∠ DCB$。
在$△ ECA$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}∠ CEA=∠ CDB=90° \\CE=CD \\∠ ECA=∠ DCB\end{cases}$
∴$△ ECA≌△ DCB(\mathrm{ASA})$，
∴$AE=BD$。
则$OA+OB=(OE-AE)+(OD+BD)=OE+OD=m+m=2m$。
【答案】
$OA+OB=2m$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 正方形的性质
3. 平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是邻边相等构造全等的典型题型，通过作坐标轴垂线构造全等实现线段转化是解决此类问题的常用方法，需要熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
