2.如图，在四边形ABCD中，AC是四边形ABCD的对角线，AB＞AD，CB=CD，且∠ABC+∠ADC=180°。
(1)如图1，求证:AC平分∠BAD。
(2)如图2，延长AB，DC交于点E，再过点E作射线EF交AD的延长线于点F，连接CF。若∠DEF=∠DEA，求证:BE+DF=EF。

(1)如图1,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.
∵CF⊥AB,CE⊥AD,
∴∠BFC=∠CED=90°.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
∵CB=CD,
∴△CFB≌△CED(AAS),
∴CF=CE.
∵CF⊥AB,CE⊥AD,
∴AC平分∠BAD.

(2)同理(1)可得,AC平分∠EAF.
∵∠DEF=∠DEA,
∴FC平分∠AFE,
∴∠AFC=∠EFC.
如图2,在EF上截取EM=BE,连接CM.
在△BEC和△MEC中,
$\begin{cases} BE=ME, \\ ∠BEC=∠MEC, \\ EC=EC, \end{cases}$
∴△BEC≌△MEC(SAS),
∴BC=CM,∠EBC=∠EMC.
∵BC=CD,
∴CM=CD.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴∠ABC=∠FDC.
∵∠EBC=∠EMC,
∴∠ABC=∠CMF,
∴∠CDF=∠CMF.
∵CF=CF,
∴△CDF≌△CMF(AAS),
∴DF=MF,
∴BE+DF=EM+MF=EF.

【分析】
(1) 要证AC平分∠BAD，可利用角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。因此过点C作AB、AD的垂线，结合已知CB=CD、∠ABC+∠ADC=180°，可证两条垂线所在的直角三角形全等，得到垂线段相等即可得证。
(2) 要证BE+DF=EF，属于线段和差类问题，常用截长补短法求解。首先由(1)的结论可得AC平分∠EAF，结合∠DEF=∠DEA可知点C是△AEF的内心，即CF平分∠AFE。在EF上截取EM=BE，先利用SAS证△BEC≌△MEC，得到边、角相等的结论，再结合CB=CD的条件证△CDF≌△CMF，得到DF=MF，通过线段代换即可得证。
【解析】
(1) 如图1，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F。
∵CF⊥AB，CE⊥AD，
∴∠BFC=∠CED=90°。
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC。
在△CFB和△CED中，
$\begin{cases}∠BFC=∠CED \\∠FBC=∠EDC \\CB=CD\end{cases}$
∴△CFB≌△CED(AAS)，
∴CF=CE。
∵CF⊥AB，CE⊥AD，
∴AC平分∠BAD。
(2) 由(1)的证明过程可得AC平分∠EAF。
∵∠DEF=∠DEA，即EC平分∠AEF，
∴CF平分∠AFE，即∠AFC=∠EFC。
如图2，在EF上截取EM=BE，连接CM。
在△BEC和△MEC中，
$\begin{cases}BE=ME \\∠BEC=∠MEC \\EC=EC\end{cases}$
∴△BEC≌△MEC(SAS)，
∴BC=CM，∠EBC=∠EMC。
∵BC=CD，
∴CM=CD。
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠ABC=∠FDC。
∵∠EBC+∠ABC=180°，∠EMC+∠CMF=180°，且∠EBC=∠EMC，
∴∠ABC=∠CMF，即∠CDF=∠CMF。
在△CDF和△CMF中，
$\begin{cases}∠CDF=∠CMF \\∠CFD=∠CFM \\CF=CF\end{cases}$
∴△CDF≌△CMF(AAS)，
∴DF=MF，
∴BE+DF=EM+MF=EF。
【答案】
(1) 如图1,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.
∵CF⊥AB,CE⊥AD,
∴∠BFC=∠CED=90°.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
∵CB=CD,
∴△CFB≌△CED(AAS),
∴CF=CE.
∵CF⊥AB,CE⊥AD,
∴AC平分∠BAD.

(2) 同理(1)可得,AC平分∠EAF.
∵∠DEF=∠DEA,
∴FC平分∠AFE,
∴∠AFC=∠EFC.
如图2,在EF上截取EM=BE,连接CM.
在△BEC和△MEC中,
$\begin{cases} BE=ME, \\ ∠BEC=∠MEC, \\ EC=EC, \end{cases}$
∴△BEC≌△MEC(SAS),
∴BC=CM,∠EBC=∠EMC.
∵BC=CD,
∴CM=CD.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴∠ABC=∠FDC.
∵∠EBC=∠EMC,
∴∠ABC=∠CMF,
∴∠CDF=∠CMF.
∵CF=CF,
∴△CDF≌△CMF(AAS),
∴DF=MF,
∴BE+DF=EM+MF=EF.

【知识点】
角平分线判定，全等三角形判定与性质，截长补短法
【点评】
本题是邻边相等且对角互补类四边形的典型证明题，第一问通过作垂线构造全等三角形，结合角平分线判定定理即可求证；第二问是线段和差的常规题型，利用截长补短法结合角平分线性质构造全等三角形完成线段代换是解题核心，要求学生熟练掌握全等三角形的相关性质，灵活运用辅助线构造方法。
【难度系数】
0.6

3.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,连接BD,∠ABD=∠DBC.
(1)如图1,求证:∠BAD+∠DCB=180°;
(2)如图2,连接AC,若∠DAC=45°,BC=3AB,S△DBC=27,求AB的长.

(1)略 (2)3

【分析】
(1) 要证明∠BAD+∠DCB=180°，已知BD是∠ABC的角平分线且AD=CD，可利用角平分线的性质构造全等三角形：过D作DE⊥BA交BA延长线于E，作DF⊥BC于F，可得DE=DF，再证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠DAE=∠DCB，结合∠DAE+∠BAD=180°即可得证。
(2) 先由AD=CD、∠DAC=45°推出∠ADC=90°，结合(1)的结论可得∠ABC=90°，进而证得四边形DEBF是正方形，得BE=BF；再利用全等得AE=CF，推导出DF与AB的数量关系，最后结合△DBC的面积公式列方程求解AB的长度。
【解析】
(1) 证明：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°。
在Rt△ADE和Rt△CDF中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠DAE=∠DCB。
∵∠DAE+∠BAD=180°，
∴∠BAD+∠DCB=180°。
(2) 解：
∵AD=CD，∠DAC=45°，
∴∠DCA=∠DAC=45°，
∴∠ADC=180°-45°-45°=90°。
∵四边形ABCD内角和为360°，且由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，即∠ABC=90°。
∵DE⊥BE，DF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
又
∵DE=DF，
∴矩形DEBF是正方形，得BE=BF。
由Rt△ADE≌Rt△CDF得AE=CF，
设AB=x，AE=CF=y，则BC=3x，
BE=BA+AE=x+y，BF=BC-CF=3x-y，
∴x+y=3x-y，整理得y=x。
∴DF=BE=x+y=2x，
∵$S_{△ DBC}=\frac{1}{2} × BC × DF=27$，
代入BC=3x，DF=2x得：
$\frac{1}{2} × 3x × 2x = 3x^2=27$，
解得x=3（x=-3不符合线段长度要求，舍去）。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的邻边相等+对角互补的几何模型题，解题核心是结合角平分线性质作垂线构造全等三角形，第二问需要用到第一问的结论推导角度和线段关系，体现了几何综合题前后问关联的解题逻辑。
【难度系数】
0.65