3.如图1,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$A$,$E$三点都在直线$m$上,并且$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$,$α$为任意锐角或钝角.
(1)猜想$DE$,$BD$,$CE$之间的数量关系并证明.
(2)如图2,若$∠ BAC$是钝角,$AB=AC$,$∠ BAD ＞ ∠ CAE$,$∠ BDA = ∠ AEC = ∠ BAC$,直线$m$与$BC$的延长线交于点$F$.若$BC=2CF$,$△ ABC$的面积是$12$,求$△ ABD$与$△ CEF$的面积之和.

3.解:(1)$DE=BD+CE$.证明如下:
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,
∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠CAE,\\∠BDA=∠AEC,\\AB=CA,\end{array} $
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)6

【分析】
(1) 本题属于“一线三等角”全等构造问题，解题思路如下：首先根据已知的等角条件，结合三角形内角和与平角的性质推导出一组相等的角，再结合AB=AC的边相等条件，用AAS证明△ADB和△CEA全等，得到对应边相等后，通过线段和的关系即可推出DE、BD、CE的数量关系。
(2) 第二问沿用第一问的全等结论，可得△ABD和△CEA面积相等，将所求的两个三角形面积和转化为△ACF的面积；再根据BC和CF的长度关系，利用同高三角形面积与底成正比的性质计算即可。
【解析】
(1) 猜想：$DE=BD+CE$，证明如下：
∵ $∠ BDA=∠ BAC=α$，
在$△ ABD$中，$∠ ABD + ∠ BAD + ∠ BDA = 180°$，即$∠ ABD + ∠ BAD = 180° - α$；
又
∵ $∠ BAD + ∠ CAE + ∠ BAC = 180°$，即$∠ BAD + ∠ CAE = 180° - α$，
∴ $∠ ABD = ∠ CAE$。
在$△ ADB$和$△ CEA$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABD = ∠ CAE \\∠ BDA = ∠ AEC \\AB = CA\end{array} $
∴ $△ ADB ≌ △ CEA$（AAS），
∴ $AE=BD$，$AD=CE$，
∵ $DE = AE + AD$，
∴ $DE = BD + CE$。
(2) 同理(1)可证$△ ADB ≌ △ CEA$，
∴ $S_{△ ADB} = S_{△ CEA}$，
∴ $S_{△ ABD} + S_{△ CEF} = S_{△ CEA} + S_{△ CEF} = S_{△ ACF}$。
$△ ABC$和$△ ACF$以BC、CF为底时高相同，且$BC=2CF$，因此$S_{△ ABC}:S_{△ ACF} = BC:CF = 2:1$，
已知$S_{△ ABC}=12$，则$S_{△ ACF} = 12 ÷ 2 = 6$，即$S_{△ ABD} + S_{△ CEF} = 6$。
【答案】
(1) $DE=BD+CE$，证明见解析；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
一线三等角全等模型，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查一线三等角构造全等三角形的应用，第一问是基础的全等证明与线段关系推导，第二问需要灵活转化面积，结合同高三角形的面积比例关系求解，熟练掌握一线三等角的全等构造规律是快速解题的核心。
【难度系数】
0.65

4.(2025·大连甘井子区期末节选)在平面直角坐标系中,一个三角形有顶点在坐标轴上.
(1)如图1,△AOB的顶点O在原点上,∠AOB=90°,AO=BO,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D.
①若点B的坐标为(3,−1),求点A的坐标;
②若点A的坐标为(a,b),则点B的坐标为(用含a,b的代数式表示).
(2)如图2,点P在x轴的正半轴上,坐标为$(-\frac{n}{n^2+1},0)$,点Q在y轴的负半轴上,坐标为$(0,\frac{2n}{n^2+1})$.若∠PMQ=90°,且PM=QM,求点M的坐标(用含n的代数式表示).

4.(1)①(1,3) ②$(b,-a)$
(2)$(-\frac{3n}{2n^2+2},\frac{3n}{2n^2+2})$或$(\frac{n}{2n^2+2},\frac{n}{2n^2+2})$

【分析】
本题通过构造“一线三等角”（K型）全等模型求解：
(1) ①已知∠AOB=90°，AC、BD均垂直于y轴，可通过同角的余角相等得到一组角相等，结合AO=BO、两个直角相等，证明△ACO和△ODB全等，再利用全等三角形对应边相等即可求出点A的坐标；②类比①的全等结论，结合点A的坐标即可推导点B的坐标。
(2) 已知∠PMQ=90°且PM=QM，过点M构造K型全等三角形，分M在PQ两侧两种情况讨论，利用全等三角形对应边相等列等式，代入P、Q的坐标即可求出M的坐标。
【解析】
(1) ①
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OAC+∠AOC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在$△ ACO$和$△ ODB$中：
$\begin{cases}∠ ACO=∠ ODB\\∠ OAC=∠ BOD\\AO=OB\end{cases}$
∴$△ ACO≌△ ODB$（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
∵点B坐标为$(3,-1)$，
∴BD=3，OD=1，
∴AC=1，OC=3，又A在第一象限，故A的坐标为$(1,3)$。
②若点A坐标为$(a,b)$，则AC=a，OC=b，
由全等结论得OD=AC=a，BD=OC=b，
∵点B在第四象限，横坐标为BD的长度，纵坐标为$-OD$，故点B坐标为$(b,-a)$。
(2) 设点M坐标为$(x,y)$，过点M构造K型全等三角形，由$∠ PMQ=90°,PM=QM$可证对应三角形全等，得对应边相等，代入$P(-\dfrac{n}{n^2+1},0)$、$Q(0,\dfrac{2n}{n^2+1})$计算，可得到两组解：
第一种情况解得$x=-\dfrac{3n}{2n^2+2},y=\dfrac{3n}{2n^2+2}$；
第二种情况解得$x=\dfrac{n}{2n^2+2},y=\dfrac{n}{2n^2+2}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(1,3)}$；②$\boldsymbol{(b,-a)}$
(2)$\boldsymbol{(-\dfrac{3n}{2n^2+2},\dfrac{3n}{2n^2+2})}$或$\boldsymbol{(\dfrac{n}{2n^2+2},\dfrac{n}{2n^2+2})}$
【知识点】
一线三等角全等模型，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题核心考查构造全等三角形求解平面直角坐标系中点坐标的方法，熟练掌握“一线三等角”全等的构造思路是解题关键，第(2)问需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6