【例】在△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1所示的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD＋BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2所示的位置时,求证:DE＝AD－BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3所示的位置时,请直接写出DE,AD,BE之间的等量关系,并证明你的结论.

解:(1)证明:①
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
在△ADC和△CEB中,$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠BCE,\\∠ADC=∠CEB,\\AC=CB,\end{array} $
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②
∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)证明:
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
在△ADC和△CEB中,$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠BCE,\\∠ADC=∠CEB,\\AC=BC,\end{array} $
∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴CE=AD,CD=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE.
(3)DE=BE-AD.证明略

【分析】
本题是直角型一线三等角全等模型的典型题型，解题思路如下：1. 找角的等量关系：已知AD、BE均垂直于MN，结合∠ACB为直角，可得三个直角，利用“同角的余角相等”可推出一组锐角相等；2. 证明三角形全等：结合已知AC=BC，以及两个直角相等的条件，用AAS判定定理即可证明△ADC和△CEB全等；3. 推导线段关系：根据全等三角形对应边相等，得到CE=AD、CD=BE，再观察DE由哪两条线段组成，代入对应边即可得到DE与AD、BE的数量关系，直线旋转后图形位置改变但核心思路不变，仅需调整线段的和差逻辑即可。
【解析】
(1)证明：①
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE。
在△ADC和△CEB中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠BCE,\\∠ADC=∠CEB,\\AC=CB,\end{array} $
∴△ADC≌△CEB(AAS)。
②
∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE。
(2)证明：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE。
在△ADC和△CEB中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠BCE,\\∠ADC=∠CEB,\\AC=BC,\end{array} $
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE。
(3)等量关系：DE=BE-AD，证明可参考前两问思路，先证△ADC≌△CEB得CE=AD、CD=BE，再由DE=CD-CE推导即可。
【答案】
(1)①△ADC≌△CEB成立；②DE=AD+BE成立；
(2)DE=AD-BE成立；
(3)DE=BE-AD
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
3. 线段和差计算
【点评】
本题是一线三等角全等模型的经典习题，图形随直线旋转动态变化，但核心的全等证明逻辑保持不变，解题时需注意观察不同位置下线段的组成关系，避免混淆和差方向，有助于提升动态几何问题的分析能力。
【难度系数】
0.6

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B=∠1=∠C，AD=DE，求证：BD=CE.

证明：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD。
又∵ ∠ADC = ∠1 + ∠CDE，且∠B = ∠1，
∴ ∠B + ∠BAD = ∠1 + ∠CDE，
∴ ∠BAD = ∠CDE。
在△ABD和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C, \\∠BAD = ∠CDE, \\AD = DE,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △DCE（AAS），
∴ BD = CE。

【分析】
要证明BD=CE，通常可证明两条线段所在的三角形全等，本题中BD在△ABD中，CE在△DCE中，因此目标为证明△ABD≌△DCE。首先梳理已知条件：已有∠B=∠C，AD=DE，还缺少一组角相等的条件。观察图形可得∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得∠ADC=∠B+∠BAD，同时∠ADC可拆分为∠1+∠CDE，结合已知∠B=∠1，即可推出∠BAD=∠CDE，满足AAS全等判定的三个条件，证得三角形全等后即可得到对应边BD=CE。
【解析】
证明：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD。
又
∵ ∠ADC = ∠1 + ∠CDE，且∠B = ∠1，
∴ ∠B + ∠BAD = ∠1 + ∠CDE，
∴ ∠BAD = ∠CDE。
在△ABD和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\∠BAD = ∠CDE \\AD = DE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △DCE（AAS），
∴ BD = CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
三角形外角性质；全等三角形AAS判定；全等三角形性质
【点评】
本题是一线三等角模型的基础全等证明题，解题核心是通过三角形外角性质推导得到相等的角，结合已知条件判定三角形全等，进而得到对应边相等，解题时需先定位待证线段所在的三角形，再寻找全等所需的条件即可。
【难度系数】
0.7

2.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°,BC=4$,过点 C 作 $CD⊥ AC$,且 $CD=AC$,连接 $BD$,求 $△ BCD$ 的面积.

2.8

【分析】
要求△BCD的面积，已知底边BC=4，只需得到BC边上的高即可求解。结合已知条件∠ABC=90°、CD⊥AC且AC=CD，符合“一线三等角”全等构造的特征，可过D作BC延长线的垂线，通过证明三角形全等求出高的长度，进而计算面积。
【解析】
过点D作$DE⊥BC$，交BC的延长线于点E，则$∠ E=90°=∠ ABC$。
∵$CD⊥AC$，
∴$∠ ACD=90°$，可得$∠ ACB+∠ DCE=90°$。
在$Rt△ABC$中，$∠ A+∠ ACB=90°$，因此$∠ A=∠ DCE$。
在△ABC和△CED中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ E \\∠ A=∠ DCE \\AC=CD\end{cases}$
∴$△ABC≌△CED$（AAS），
∴$DE=BC=4$。
则$S_{△BCD}=\frac{1}{2}× BC× DE=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，一线三等角模型
【点评】
本题是一线三等角构造全等的典型题型，解题的关键是结合直角和等线段的条件作垂线构造全等三角形，将未知的高转化为已知的边长，简化计算。
【难度系数】
0.7