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1.计算 $a^3 ÷ a$ 可得 $a^?$，则“？”是 （
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法运算法则，其次明确单独一个字母a的指数为1，最后按照法则计算指数的差值即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$）。
单独的字母$a$可表示为$a^1$，代入法则计算：
$a^3÷ a = a^3÷ a^1 = a^{3-1} = a^2$
因此“？”对应的数值是2。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，是同底数幂除法法则的直接应用，解题时需注意不要忽略单独字母的指数为1，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法运算法则，其次明确单独一个字母a的指数为1，最后按照法则计算指数的差值即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$）。
单独的字母$a$可表示为$a^1$，代入法则计算：
$a^3÷ a = a^3÷ a^1 = a^{3-1} = a^2$
因此“？”对应的数值是2。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，是同底数幂除法法则的直接应用，解题时需注意不要忽略单独字母的指数为1，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
2.下列计算正确的是 （
A.$a^2 ÷ a^4 = a^2$
B.$(-a)^6 ÷ (-a)^3 = a^3$
C.$a^4 ÷ a = a^4$
D.$a^5 ÷ a^2 = a^3$
D
）A.$a^2 ÷ a^4 = a^2$
B.$(-a)^6 ÷ (-a)^3 = a^3$
C.$a^4 ÷ a = a^4$
D.$a^5 ÷ a^2 = a^3$
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查同底数幂的除法运算，解题核心是牢记同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，同时要注意负数的幂的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。解题时只需逐个选项按照法则计算，对比结果判断对错即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$），逐一分析选项：
选项A：$a^2÷ a^4=a^{2-4}=a^{-2}≠ a^2$，计算错误；
选项B：$(-a)^6÷ (-a)^3=(-a)^{6-3}=(-a)^3=-a^3≠ a^3$，计算错误；
选项C：$a^4÷ a=a^{4-1}=a^3≠ a^4$，计算错误；
选项D：$a^5÷ a^2=a^{5-2}=a^3$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法法则，负数幂的符号规律
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对同底数幂除法法则的应用，解题时需注意底数是否统一，不要混淆指数的加减规则，遇到带负号的底数时要先判断幂的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查同底数幂的除法运算，解题核心是牢记同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，同时要注意负数的幂的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。解题时只需逐个选项按照法则计算，对比结果判断对错即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$），逐一分析选项：
选项A：$a^2÷ a^4=a^{2-4}=a^{-2}≠ a^2$，计算错误；
选项B：$(-a)^6÷ (-a)^3=(-a)^{6-3}=(-a)^3=-a^3≠ a^3$，计算错误；
选项C：$a^4÷ a=a^{4-1}=a^3≠ a^4$，计算错误；
选项D：$a^5÷ a^2=a^{5-2}=a^3$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法法则，负数幂的符号规律
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对同底数幂除法法则的应用，解题时需注意底数是否统一，不要混淆指数的加减规则，遇到带负号的底数时要先判断幂的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
3.墨迹覆盖了等式$a^6 ÷ $
$ = a^2$的一部分，则被覆盖的部分是（
A.$a^2$
B.$a^4$
C.$a^8$
D.$a^{12}$
$ = a^2$的一部分，则被覆盖的部分是（B
）A.$a^2$
B.$a^4$
C.$a^8$
D.$a^{12}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先明确除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商，本题中被除数是$a^6$，商是$a^2$，因此只需计算$a^6÷ a^2$即可得到被覆盖的部分，计算时用到同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减。
【解析】
设被覆盖的部分为$x$，根据题意可得：
$a^6 ÷ x = a^2$
根据“除数=被除数÷商”，得：
$x = a^6 ÷ a^2$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x = a^{6-2} = a^4$
因此被覆盖的部分是$a^4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的除法法则
2.除法各部分关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查同底数幂除法法则的应用，熟练掌握幂的运算法则是解决这类题的关键，是幂运算板块的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商，本题中被除数是$a^6$，商是$a^2$，因此只需计算$a^6÷ a^2$即可得到被覆盖的部分，计算时用到同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减。
【解析】
设被覆盖的部分为$x$，根据题意可得：
$a^6 ÷ x = a^2$
根据“除数=被除数÷商”，得：
$x = a^6 ÷ a^2$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x = a^{6-2} = a^4$
因此被覆盖的部分是$a^4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的除法法则
2.除法各部分关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查同底数幂除法法则的应用，熟练掌握幂的运算法则是解决这类题的关键，是幂运算板块的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
4.计算：
(1)$x^{15} ÷ x^6$；
(2)$(-xy)^7 ÷ (-xy)^2$；
(3)$(a+b)^3 ÷ (a+b)^2$。
(1)$x^{15} ÷ x^6$；
(2)$(-xy)^7 ÷ (-xy)^2$；
(3)$(a+b)^3 ÷ (a+b)^2$。
答案
4.(1)$x^9$ (2)$-x^5y^5$ (3)$a+b$
解析
【分析】
这三道题均属于同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，$a≠0$，$m、n$为正整数且$m＞n$）。运算时先确认每道题的共同底数：第(1)题底数为单独字母$x$，可直接套用法则；第(2)题底数为单项式$(-xy)$，把它看作整体先套用法则，再用积的乘方法则展开化简；第(3)题底数为多项式$(a+b)$，把它看作整体套用法则即可。
【解析】
(1) 直接套用同底数幂的除法法则：
$x^{15}÷ x^6=x^{15-6}=x^9$
(2) 先将$(-xy)$看作整体运算，再展开化简：
$(-xy)^7÷ (-xy)^2=(-xy)^{7-2}=(-xy)^5=(-1)^5· x^5· y^5=-x^5y^5$
(3) 先将$(a+b)$看作整体运算：
$(a+b)^3÷ (a+b)^2=(a+b)^{3-2}=(a+b)^1=a+b$
【答案】
(1)$x^9$；(2)$-x^5y^5$；(3)$a+b$
【知识点】
同底数幂的除法、积的乘方运算、整体思想
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题型，解题核心是准确识别共同底数，可将单项式、多项式作为整体参与运算，运算过程中要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于同底数幂的除法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，$a≠0$，$m、n$为正整数且$m＞n$）。运算时先确认每道题的共同底数：第(1)题底数为单独字母$x$，可直接套用法则；第(2)题底数为单项式$(-xy)$，把它看作整体先套用法则，再用积的乘方法则展开化简；第(3)题底数为多项式$(a+b)$，把它看作整体套用法则即可。
【解析】
(1) 直接套用同底数幂的除法法则：
$x^{15}÷ x^6=x^{15-6}=x^9$
(2) 先将$(-xy)$看作整体运算，再展开化简：
$(-xy)^7÷ (-xy)^2=(-xy)^{7-2}=(-xy)^5=(-1)^5· x^5· y^5=-x^5y^5$
(3) 先将$(a+b)$看作整体运算：
$(a+b)^3÷ (a+b)^2=(a+b)^{3-2}=(a+b)^1=a+b$
【答案】
(1)$x^9$；(2)$-x^5y^5$；(3)$a+b$
【知识点】
同底数幂的除法、积的乘方运算、整体思想
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题型，解题核心是准确识别共同底数，可将单项式、多项式作为整体参与运算，运算过程中要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
5.(2025·抚顺期末)若$2^m=6,2^n=3$,则$2^{m-n}$的值是（
A.2
B.3
C.18
D.9
A
）A.2
B.3
C.18
D.9
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查同底数幂除法的逆用，解题思路如下：首先观察所求代数式$2^{m-n}$的指数为两数之差的形式，联想到同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，该法则可以逆用，即$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a≠0$，m、n为正整数且$m＞n$），再将题目给出的$2^m=6$、$2^n=3$代入逆运算公式计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法法则的逆运算可得：
$2^{m-n}=2^m÷2^n$
将$2^m=6$，$2^n=3$代入上式：
$2^{m-n}=6÷3=2$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算逆应用
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对同底数幂除法运算性质的灵活应用，熟练掌握幂的各类运算公式及其逆用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂除法的逆用，解题思路如下：首先观察所求代数式$2^{m-n}$的指数为两数之差的形式，联想到同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，该法则可以逆用，即$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a≠0$，m、n为正整数且$m＞n$），再将题目给出的$2^m=6$、$2^n=3$代入逆运算公式计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法法则的逆运算可得：
$2^{m-n}=2^m÷2^n$
将$2^m=6$，$2^n=3$代入上式：
$2^{m-n}=6÷3=2$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算逆应用
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对同底数幂除法运算性质的灵活应用，熟练掌握幂的各类运算公式及其逆用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
[变式] 已知$a^x=2$，$a^{x+y}=12$，则$a^{x-y}=$
$\frac{1}{3}$
答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘除法法则，已知$a^x$和$a^{x+y}$，可先利用同底数幂乘法法则的逆用，将$a^{x+y}$拆分为$a^x · a^y$，代入已知值求出$a^y$；再利用同底数幂除法法则的逆用，将待求的$a^{x-y}$转化为$a^x ÷ a^y$，代入已知和求出的$a^y$的值即可计算结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
将$a^x=2$，$a^{x+y}=12$代入上式，得：
$12=2 · a^y$
解得：$a^y=12 ÷ 2=6$
再根据同底数幂的除法法则可得：
$a^{x-y}=a^x ÷ a^y$
将$a^x=2$，$a^y=6$代入，得：
$a^{x-y}=2 ÷ 6=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题考查同底数幂乘除法法则的灵活应用，解题的关键是熟练掌握运算法则并能对公式进行逆用，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同底数幂的乘除法法则，已知$a^x$和$a^{x+y}$，可先利用同底数幂乘法法则的逆用，将$a^{x+y}$拆分为$a^x · a^y$，代入已知值求出$a^y$；再利用同底数幂除法法则的逆用，将待求的$a^{x-y}$转化为$a^x ÷ a^y$，代入已知和求出的$a^y$的值即可计算结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
将$a^x=2$，$a^{x+y}=12$代入上式，得：
$12=2 · a^y$
解得：$a^y=12 ÷ 2=6$
再根据同底数幂的除法法则可得：
$a^{x-y}=a^x ÷ a^y$
将$a^x=2$，$a^y=6$代入，得：
$a^{x-y}=2 ÷ 6=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题考查同底数幂乘除法法则的灵活应用，解题的关键是熟练掌握运算法则并能对公式进行逆用，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
6.(2025·大连九中月考)计算:$(-2024)^0 = ( )$
A.1
B.0
C.-1
D.-2024
A.1
B.0
C.-1
D.-2024
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查零指数幂的计算，解题思路为先回忆零指数幂的运算规则，再判断底数是否符合规则的适用条件，最后根据规则计算结果即可。首先明确零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，使用该规则的前提是底数不能为0，本题中底数是-2024，显然不为0，直接套用规则就能得到结果。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中底数为$-2024$，$-2024≠0$，满足零指数幂的适用条件，因此$(-2024)^0=1$。
所以选A选项。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对零指数幂运算规则的掌握，解题时要特别注意底数不为0这个前提条件，牢记规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查零指数幂的计算，解题思路为先回忆零指数幂的运算规则，再判断底数是否符合规则的适用条件，最后根据规则计算结果即可。首先明确零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，使用该规则的前提是底数不能为0，本题中底数是-2024，显然不为0，直接套用规则就能得到结果。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中底数为$-2024$，$-2024≠0$，满足零指数幂的适用条件，因此$(-2024)^0=1$。
所以选A选项。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对零指数幂运算规则的掌握，解题时要特别注意底数不为0这个前提条件，牢记规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
[变式] 若$ 3^m · 3^n = 1 $，则$ m + n = $
0
。答案
0
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法运算法则，先将等式左边的式子进行合并化简；再结合零指数幂的性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，对比化简后的等式，就能得到指数的关系，从而求出m+n的值。
【解析】
1. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$3^m · 3^n = 3^{m+n}$
2. 结合已知条件$3^m · 3^n = 1$，可推出：
$3^{m+n}=1$
3. 根据零指数幂的性质，非零数的0次幂等于1，即$3^0=1$（$3≠0$），因此：
$3^{m+n}=3^0$
4. 当底数不为0的两个同底数幂相等时，指数也相等，因此：
$m+n=0$
【答案】
0
【知识点】
同底数幂的乘法，零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查幂的相关运算法则的应用，熟练记忆相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆同底数幂的乘法运算法则，先将等式左边的式子进行合并化简；再结合零指数幂的性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，对比化简后的等式，就能得到指数的关系，从而求出m+n的值。
【解析】
1. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$3^m · 3^n = 3^{m+n}$
2. 结合已知条件$3^m · 3^n = 1$，可推出：
$3^{m+n}=1$
3. 根据零指数幂的性质，非零数的0次幂等于1，即$3^0=1$（$3≠0$），因此：
$3^{m+n}=3^0$
4. 当底数不为0的两个同底数幂相等时，指数也相等，因此：
$m+n=0$
【答案】
0
【知识点】
同底数幂的乘法，零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查幂的相关运算法则的应用，熟练记忆相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.已知$(x-1)^0=1$,则$x$的取值范围是
$x≠1$
.答案
$x≠1$
解析
【分析】
解题的核心是明确零指数幂有意义的条件：只有当底数不为0时，一个数的0次幂才等于1，0的0次幂无意义。因此我们只需让本题中零指数幂的底数不等于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中幂的底数为$x-1$，因此要使$(x-1)^0=1$成立，需满足底数不为0：
$x-1≠0$
解得：$x≠1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题是基础考点，易错点是容易忽略零指数幂成立的前提，错误认为x可取任意实数，解题时需牢记：零指数幂有意义的核心条件是底数不为0。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确零指数幂有意义的条件：只有当底数不为0时，一个数的0次幂才等于1，0的0次幂无意义。因此我们只需让本题中零指数幂的底数不等于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中幂的底数为$x-1$，因此要使$(x-1)^0=1$成立，需满足底数不为0：
$x-1≠0$
解得：$x≠1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题是基础考点，易错点是容易忽略零指数幂成立的前提，错误认为x可取任意实数，解题时需牢记：零指数幂有意义的核心条件是底数不为0。
【难度系数】
0.8
8.计算：$(-a)^{5} ÷ a^{3} · a^{2}=$
$-a^4$
.答案
$-a^4$
解析
【分析】
解题时先处理含负号的幂的符号，再按照同级运算从左到右的顺序，结合同底数幂的乘、除运算法则逐步计算即可。首先根据负数的奇次幂为负，化简$(-a)^5$，再依次运用同底数幂的除法法则、乘法法则计算，注意运算顺序不能颠倒，不能先计算后面的乘法。
【解析】
第一步：化简$(-a)^5$，因为指数5是奇数，所以$(-a)^5=-a^5$，原式可转化为：
$-a^5 ÷ a^3 · a^2$
第二步：先计算除法，根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得：
$-a^{5-3} · a^2 = -a^2 · a^2$
第三步：计算乘法，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得：
$-a^{2+2}=-a^4$
【答案】
$-a^4$
【知识点】
1.幂的符号规则
2.同底数幂的除法
3.同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算基础题，易错点有两个：一是符号判断错误，二是违反运算顺序先计算后段的乘法，解题时需注意先确定幂的符号，再按从左到右的顺序进行同级运算，牢记同底数幂乘除的指数运算规则。
【难度系数】
0.7
解题时先处理含负号的幂的符号，再按照同级运算从左到右的顺序，结合同底数幂的乘、除运算法则逐步计算即可。首先根据负数的奇次幂为负，化简$(-a)^5$，再依次运用同底数幂的除法法则、乘法法则计算，注意运算顺序不能颠倒，不能先计算后面的乘法。
【解析】
第一步：化简$(-a)^5$，因为指数5是奇数，所以$(-a)^5=-a^5$，原式可转化为：
$-a^5 ÷ a^3 · a^2$
第二步：先计算除法，根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得：
$-a^{5-3} · a^2 = -a^2 · a^2$
第三步：计算乘法，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得：
$-a^{2+2}=-a^4$
【答案】
$-a^4$
【知识点】
1.幂的符号规则
2.同底数幂的除法
3.同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算基础题，易错点有两个：一是符号判断错误，二是违反运算顺序先计算后段的乘法，解题时需注意先确定幂的符号，再按从左到右的顺序进行同级运算，牢记同底数幂乘除的指数运算规则。
【难度系数】
0.7
9.(2025·沈阳南昌中学月考)若$2^x=5,8^y=7$,则$2^{x-3y}$的值为（
A.$\frac{7}{5}$
B.$\frac{5}{7}$
C.35
D.$-2$
B
）A.$\frac{7}{5}$
B.$\frac{5}{7}$
C.35
D.$-2$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先从所求式子$2^{x-3y}$入手，结合已知条件的形式，利用幂的运算法则做转化：第一步，回忆同底数幂除法的逆运算规则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将$2^{x-3y}$拆分为$2^x÷ 2^{3y}$；第二步，处理已知的$8^y$，因为$8=2^3$，结合幂的乘方法则可将$8^y$转化为以2为底的幂，得到$2^{3y}$的值；第三步，把已知的$2^x=5$和求出的$2^{3y}$的值代入拆分后的式子，计算即可得到结果。
【解析】
解：先对$8^y$做变形：
∵ $8=2^3$
∴ $8^y=(2^3)^y=2^{3y}$
又
∵ $8^y=7$
∴ $2^{3y}=7$
根据同底数幂除法的逆运算$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$2^{x-3y}=2^x÷ 2^{3y}$
将$2^x=5$、$2^{3y}=7$代入上式，得：
$2^{x-3y}=5÷7=\frac{5}{7}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，核心考查幂的运算法则的灵活应用，解题关键是将已知条件和所求式统一为同底数幂的形式，整体代入计算即可，掌握法则的正用和逆用是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先从所求式子$2^{x-3y}$入手，结合已知条件的形式，利用幂的运算法则做转化：第一步，回忆同底数幂除法的逆运算规则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将$2^{x-3y}$拆分为$2^x÷ 2^{3y}$；第二步，处理已知的$8^y$，因为$8=2^3$，结合幂的乘方法则可将$8^y$转化为以2为底的幂，得到$2^{3y}$的值；第三步，把已知的$2^x=5$和求出的$2^{3y}$的值代入拆分后的式子，计算即可得到结果。
【解析】
解：先对$8^y$做变形：
∵ $8=2^3$
∴ $8^y=(2^3)^y=2^{3y}$
又
∵ $8^y=7$
∴ $2^{3y}=7$
根据同底数幂除法的逆运算$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$2^{x-3y}=2^x÷ 2^{3y}$
将$2^x=5$、$2^{3y}=7$代入上式，得：
$2^{x-3y}=5÷7=\frac{5}{7}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，核心考查幂的运算法则的灵活应用，解题关键是将已知条件和所求式统一为同底数幂的形式，整体代入计算即可，掌握法则的正用和逆用是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
[变式1] (2025·鞍山立山区期中)已知$3^m=4$，$3^{2m-n}=2$，则$9^n$的值为
64
。答案
64
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先利用同底数幂的除法法则的逆用，将已知的$3^{2m-n}$拆分为$3^{2m}÷3^n$；再利用幂的乘方法则的逆用，将$3^{2m}$转化为$(3^m)^2$，代入已知的$3^m=4$求出$3^{2m}$的值，进而求出$3^n$的值；最后将$9^n$转化为以3为底的幂的形式，代入$3^n$的值即可求出结果。
【解析】
第一步：逆用同底数幂的除法法则变形已知条件
根据同底数幂的除法法则$a^{x-y}=a^x÷ a^y$（$a≠0$），可得$3^{2m-n}=3^{2m}÷3^n=2$。
第二步：逆用幂的乘方法则求$3^{2m}$的值
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$3^{2m}=(3^m)^2$，将$3^m=4$代入得：$3^{2m}=4^2=16$。
第三步：计算$3^n$的值
把$3^{2m}=16$代入$3^{2m}÷3^n=2$，可得$16÷3^n=2$，解得$3^n=16÷2=8$。
第四步：变形$9^n$后代入计算
因为$9=3^2$，所以$9^n=(3^2)^n=3^{2n}=(3^n)^2$，把$3^n=8$代入得：$9^n=8^2=64$。
【答案】
64
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题核心考查幂的运算公式的逆用，熟练掌握同底数幂除法、幂的乘方的运算法则并能灵活变形是解题的关键，是幂运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先利用同底数幂的除法法则的逆用，将已知的$3^{2m-n}$拆分为$3^{2m}÷3^n$；再利用幂的乘方法则的逆用，将$3^{2m}$转化为$(3^m)^2$，代入已知的$3^m=4$求出$3^{2m}$的值，进而求出$3^n$的值；最后将$9^n$转化为以3为底的幂的形式，代入$3^n$的值即可求出结果。
【解析】
第一步：逆用同底数幂的除法法则变形已知条件
根据同底数幂的除法法则$a^{x-y}=a^x÷ a^y$（$a≠0$），可得$3^{2m-n}=3^{2m}÷3^n=2$。
第二步：逆用幂的乘方法则求$3^{2m}$的值
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$3^{2m}=(3^m)^2$，将$3^m=4$代入得：$3^{2m}=4^2=16$。
第三步：计算$3^n$的值
把$3^{2m}=16$代入$3^{2m}÷3^n=2$，可得$16÷3^n=2$，解得$3^n=16÷2=8$。
第四步：变形$9^n$后代入计算
因为$9=3^2$，所以$9^n=(3^2)^n=3^{2n}=(3^n)^2$，把$3^n=8$代入得：$9^n=8^2=64$。
【答案】
64
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题核心考查幂的运算公式的逆用，熟练掌握同底数幂除法、幂的乘方的运算法则并能灵活变形是解题的关键，是幂运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
[变式2] 已知 $ m = \frac{15^4}{3^{44}} $，$ n = \frac{5^4}{3^{40}} $，那么 $ 2025^{m-n} = \_\_\_\_\_\_ $
答案
1
解析
【分析】
要求解$2025^{m-n}$的值，首先需要求出指数$m-n$的取值。我们可以先利用积的乘方的性质化简$m$的分子$15^4$，再结合同底数幂的除法法则化简$m$，对比化简后的$m$和$n$的表达式，即可得到$m$和$n$的大小关系，进而求出$m-n$，最后根据零指数幂的性质计算最终结果。
【解析】
1. 化简$m$的值：
因为$15=3×5$，根据积的乘方运算法则可得$15^4=(3×5)^4=3^4×5^4$，代入$m$的表达式：
$m=\frac{3^4×5^4}{3^{44}}=\frac{5^4}{3^{44-4}}=\frac{5^4}{3^{40}}$（同底数幂相除，底数不变，指数相减）
2. 求$m-n$的值：
已知$n=\frac{5^4}{3^{40}}$，因此$m=n$，可得$m-n=0$。
3. 计算最终结果：
因为$2025≠0$，根据非零数的零次幂等于1，可得$2025^{m-n}=2025^0=1$。
【答案】
1
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；零指数幂的性质
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的综合应用，解题的突破口是先对$m$化简得到$m$与$n$相等的关系，再利用零指数幂的性质计算结果，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要求解$2025^{m-n}$的值，首先需要求出指数$m-n$的取值。我们可以先利用积的乘方的性质化简$m$的分子$15^4$，再结合同底数幂的除法法则化简$m$，对比化简后的$m$和$n$的表达式，即可得到$m$和$n$的大小关系，进而求出$m-n$，最后根据零指数幂的性质计算最终结果。
【解析】
1. 化简$m$的值：
因为$15=3×5$，根据积的乘方运算法则可得$15^4=(3×5)^4=3^4×5^4$，代入$m$的表达式：
$m=\frac{3^4×5^4}{3^{44}}=\frac{5^4}{3^{44-4}}=\frac{5^4}{3^{40}}$（同底数幂相除，底数不变，指数相减）
2. 求$m-n$的值：
已知$n=\frac{5^4}{3^{40}}$，因此$m=n$，可得$m-n=0$。
3. 计算最终结果：
因为$2025≠0$，根据非零数的零次幂等于1，可得$2025^{m-n}=2025^0=1$。
【答案】
1
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；零指数幂的性质
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的综合应用，解题的突破口是先对$m$化简得到$m$与$n$相等的关系，再利用零指数幂的性质计算结果，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.7
10.已知 $2^a ÷ 2^{2b} = 16$，则 $a - 2b + 1$ 的值是
5
。答案
5
解析
【分析】
首先观察已知等式的形式，左边是同底数幂的除法运算，我们可以先运用同底数幂的除法法则对左边进行化简，再将等式右边的16转化为以2为底的幂的形式，根据“底数相同的两个幂相等，则指数相等”的性质求出a-2b的值，最后整体代入所求代数式计算即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$2^a ÷ 2^{2b} = 2^{a - 2b}$
又因为$16 = 2^4$，所以已知等式可转化为：
$2^{a - 2b} = 2^4$
因为底数相同的幂相等时，指数也相等，所以：
$a - 2b = 4$
将$a - 2b = 4$代入$a - 2b + 1$得：
$4 + 1 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 幂的意义
3. 整体代入求值
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则，通过将等式两边转化为同底数幂的形式得到所求代数式中部分式子的值，再整体代入计算，避免了分别求a、b的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式的形式，左边是同底数幂的除法运算，我们可以先运用同底数幂的除法法则对左边进行化简，再将等式右边的16转化为以2为底的幂的形式，根据“底数相同的两个幂相等，则指数相等”的性质求出a-2b的值，最后整体代入所求代数式计算即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$2^a ÷ 2^{2b} = 2^{a - 2b}$
又因为$16 = 2^4$，所以已知等式可转化为：
$2^{a - 2b} = 2^4$
因为底数相同的幂相等时，指数也相等，所以：
$a - 2b = 4$
将$a - 2b = 4$代入$a - 2b + 1$得：
$4 + 1 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 幂的意义
3. 整体代入求值
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则，通过将等式两边转化为同底数幂的形式得到所求代数式中部分式子的值，再整体代入计算，避免了分别求a、b的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
[变式] 已知$5x - 3y - 1 = 0$，则$3^{5x} ÷ 3^{3y} ÷ 3 =$
1
。答案
1
解析
【分析】
首先回忆同底数幂的除法运算规则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。我们先对待求的幂运算式子运用该法则化简，将指数合并整理后，会发现所得的指数表达式正好是已知等式$5x - 3y - 1 = 0$的左边，最后结合零指数幂的运算性质就能算出结果。
【解析】
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），可得：
$3^{5x} ÷ 3^{3y} ÷ 3 = 3^{5x - 3y - 1}$
已知$5x - 3y - 1 = 0$，将其代入上式得：
原式$=3^0$
根据零指数幂的性质，任何不等于0的数的0次幂都等于1，因此$3^0=1$。
【答案】
1
【知识点】
同底数幂的除法法则；零指数幂的性质
【点评】
本题主要考查同底数幂的除法运算和整体代入思想的应用，解题的关键是将待求式的指数合并为已知条件中的代数式，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆同底数幂的除法运算规则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。我们先对待求的幂运算式子运用该法则化简，将指数合并整理后，会发现所得的指数表达式正好是已知等式$5x - 3y - 1 = 0$的左边，最后结合零指数幂的运算性质就能算出结果。
【解析】
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），可得：
$3^{5x} ÷ 3^{3y} ÷ 3 = 3^{5x - 3y - 1}$
已知$5x - 3y - 1 = 0$，将其代入上式得：
原式$=3^0$
根据零指数幂的性质，任何不等于0的数的0次幂都等于1，因此$3^0=1$。
【答案】
1
【知识点】
同底数幂的除法法则；零指数幂的性质
【点评】
本题主要考查同底数幂的除法运算和整体代入思想的应用，解题的关键是将待求式的指数合并为已知条件中的代数式，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
11.若$(3a - 2)^{3a + 1}=1$，则$a=$
$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{3}$或1
.答案
$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{3}$或1
解析
【分析】
要解决$(3a - 2)^{3a + 1}=1$求$a$的问题，需结合幂的运算性质，分三类情况讨论：①非零数的0次幂等于1（注意底数不能为0，否则0的0次幂无意义）；②1的任意次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1。分别对三类情况列式求解后，再验证是否符合对应情况的限制条件，最终汇总所有符合要求的$a$值即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当指数为0，底数不为0时：
令$3a+1=0$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
此时底数$3a-2=3×(-\frac{1}{3})-2=-3≠0$，符合零指数幂的要求，$(-3)^0=1$，成立。
2. 当底数为1时：
令$3a-2=1$，解得$a=1$。
此时指数$3a+1=3×1+1=4$，$1^4=1$，成立。
3. 当底数为-1，且指数为偶数时：
令$3a-2=-1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
此时指数$3a+1=3×\frac{1}{3}+1=2$，是偶数，$(-1)^2=1$，成立。
综上，满足条件的$a$的值为$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{3}$或1。
【答案】
$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{3}$或1
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易漏解，解题时要全面覆盖幂等于1的三类情况，同时要注意零指数幂中底数不为0的限制，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.6
要解决$(3a - 2)^{3a + 1}=1$求$a$的问题，需结合幂的运算性质，分三类情况讨论：①非零数的0次幂等于1（注意底数不能为0，否则0的0次幂无意义）；②1的任意次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1。分别对三类情况列式求解后，再验证是否符合对应情况的限制条件，最终汇总所有符合要求的$a$值即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当指数为0，底数不为0时：
令$3a+1=0$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
此时底数$3a-2=3×(-\frac{1}{3})-2=-3≠0$，符合零指数幂的要求，$(-3)^0=1$，成立。
2. 当底数为1时：
令$3a-2=1$，解得$a=1$。
此时指数$3a+1=3×1+1=4$，$1^4=1$，成立。
3. 当底数为-1，且指数为偶数时：
令$3a-2=-1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
此时指数$3a+1=3×\frac{1}{3}+1=2$，是偶数，$(-1)^2=1$，成立。
综上，满足条件的$a$的值为$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{3}$或1。
【答案】
$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{3}$或1
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易漏解，解题时要全面覆盖幂等于1的三类情况，同时要注意零指数幂中底数不为0的限制，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.6
12.计算：
(1)$a^2 · (-a^4)^3 ÷ (a^3)^2$；
(2)$(m-n)^6 ÷ (n-m)^3 · (m-n)^5$；
(3)$(-3)^2 + (π - 3.14)^0 + (-5)^3 ÷ (-5)^2$；
(4)$x^{16} ÷ (-x^2)^6 - x^2 · (-x^3)^2 ÷ (-x^2)^2$。
(1)$a^2 · (-a^4)^3 ÷ (a^3)^2$；
(2)$(m-n)^6 ÷ (n-m)^3 · (m-n)^5$；
(3)$(-3)^2 + (π - 3.14)^0 + (-5)^3 ÷ (-5)^2$；
(4)$x^{16} ÷ (-x^2)^6 - x^2 · (-x^3)^2 ÷ (-x^2)^2$。
答案
12.(1)$-a^8$ (2)$-(m-n)^8$ (3)5 (4)0
解析
【分析】
这4道计算题均围绕幂的运算相关规则展开，解题时遵循“先算乘方、再算乘除、最后算加减”的运算顺序：1. 先处理幂的乘方运算，注意判断符号（奇次幂保留负号，偶次幂负号抵消）；2. 若底数互为相反数，先统一底数；3. 再按照同底数幂乘除法则（底数不变，指数相加/减）计算乘除；4. 最后计算加减，零指数幂注意底数不为0时结果为1。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-a^4)^3 = -a^{4×3} = -a^{12}$，$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$
原式$=a^2 · (-a^{12}) ÷ a^6$
$=-a^{2+12} ÷a^6$
$=-a^{14} ÷a^6 = -a^{14-6} = -a^8$
(2) 先统一底数：$(n-m)^3 = [-(m-n)]^3 = -(m-n)^3$
原式$=(m-n)^6 ÷ [-(m-n)^3] · (m-n)^5$
$= - (m-n)^{6-3} · (m-n)^5$
$= - (m-n)^3 · (m-n)^5 = - (m-n)^{3+5} = -(m-n)^8$
(3) 分别计算每一项：
$(-3)^2 =9$，$π＞3.14$故$π-3.14≠0$，因此$(π-3.14)^0=1$
$(-5)^3 ÷ (-5)^2 = (-5)^{3-2} = (-5)^1=-5$
原式$=9 +1 + (-5) =5$
(4) 先计算乘方：
$(-x^2)^6 = x^{2×6}=x^{12}$，$(-x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，$(-x^2)^2=x^{2×2}=x^4$
原式$=x^{16} ÷x^{12} - x^2 ·x^6 ÷x^4$
$=x^{16-12} - x^{2+6} ÷x^4$
$=x^4 - x^8 ÷x^4 =x^4 -x^4=0$
【答案】
(1)$-a^8$；(2)$-(m-n)^8$；(3)$5$；(4)$0$
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方运算、零指数幂性质
【点评】
本题属于幂运算的基础综合题，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，解题时要格外注意符号的判断，尤其是底数互为相反数时的变形、奇偶次幂对符号的影响，同时严格遵循运算顺序计算，避免因跳步导致符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
这4道计算题均围绕幂的运算相关规则展开，解题时遵循“先算乘方、再算乘除、最后算加减”的运算顺序：1. 先处理幂的乘方运算，注意判断符号（奇次幂保留负号，偶次幂负号抵消）；2. 若底数互为相反数，先统一底数；3. 再按照同底数幂乘除法则（底数不变，指数相加/减）计算乘除；4. 最后计算加减，零指数幂注意底数不为0时结果为1。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-a^4)^3 = -a^{4×3} = -a^{12}$，$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$
原式$=a^2 · (-a^{12}) ÷ a^6$
$=-a^{2+12} ÷a^6$
$=-a^{14} ÷a^6 = -a^{14-6} = -a^8$
(2) 先统一底数：$(n-m)^3 = [-(m-n)]^3 = -(m-n)^3$
原式$=(m-n)^6 ÷ [-(m-n)^3] · (m-n)^5$
$= - (m-n)^{6-3} · (m-n)^5$
$= - (m-n)^3 · (m-n)^5 = - (m-n)^{3+5} = -(m-n)^8$
(3) 分别计算每一项：
$(-3)^2 =9$，$π＞3.14$故$π-3.14≠0$，因此$(π-3.14)^0=1$
$(-5)^3 ÷ (-5)^2 = (-5)^{3-2} = (-5)^1=-5$
原式$=9 +1 + (-5) =5$
(4) 先计算乘方：
$(-x^2)^6 = x^{2×6}=x^{12}$，$(-x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，$(-x^2)^2=x^{2×2}=x^4$
原式$=x^{16} ÷x^{12} - x^2 ·x^6 ÷x^4$
$=x^{16-12} - x^{2+6} ÷x^4$
$=x^4 - x^8 ÷x^4 =x^4 -x^4=0$
【答案】
(1)$-a^8$；(2)$-(m-n)^8$；(3)$5$；(4)$0$
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方运算、零指数幂性质
【点评】
本题属于幂运算的基础综合题，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，解题时要格外注意符号的判断，尤其是底数互为相反数时的变形、奇偶次幂对符号的影响，同时严格遵循运算顺序计算，避免因跳步导致符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
