1 下列关于公理和定理的说法正确的是（）

A.公理是真命题,但定理不是
B.公理就是定理,定理也是公理
C.公理可作为证明其他定理的依据
D.公理和定理都应经过证明后才能使用

1. C

【分析】
解题时首先回忆公理和定理的相关概念，明确二者的共性与区别：二者都属于真命题，都可作为证明其他命题的依据；区别是公理是人们从长期实践中总结得到的基本事实，不需要证明即可直接使用，是推导其他命题的原始依据，而定理是需要经过严格推理证明为真后才能使用的命题。随后结合上述概念逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
首先明确公理与定理的核心性质：
1. 公理：是实践总结的不需要证明的真命题，可作为证明其他命题的原始依据；
2. 定理：是经过推理证明得到的真命题，证明后也可作为推导其他命题的依据。
逐一判断选项：
A选项：定理也是经过证明的真命题，故A错误；
B选项：公理和定理的定义、形成过程均不同，二者不能等同，故B错误；
C选项：公理是推导其他命题的原始依据，可作为证明其他定理的依据，故C正确；
D选项：公理不需要证明就可以直接使用，只有定理需要经过证明后使用，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
公理的概念，定理的概念，真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对公理、定理的定义及二者区别联系的掌握，熟悉基础概念即可快速得分，学习时要注意区分二者是否需要证明的特点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2 下列可以作为定理使用的是 （）

A.同位角相等
B.两点之间线段最短
C.同旁内角互补
D.对顶角相等

2. D

【分析】
要解决这道题，首先要明确三个核心判断依据：①假命题不能作为定理；②公理（基本事实）是人们长期实践总结得出、不需要证明的真命题，不属于定理；③定理是经过推理证实的真命题，可作为后续推理的依据。接下来逐个判断选项：先排查假命题，再区分剩余真命题是公理还是定理即可选出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：只有两直线平行时同位角才相等，该表述缺少前提条件，是假命题，不能作为定理；
2. 选项B：“两点之间线段最短”是公认的基本事实（公理），无需推理证明，不属于定理；
3. 选项C：只有两直线平行时同旁内角才互补，该表述缺少前提条件，是假命题，不能作为定理；
4. 选项D：“对顶角相等”可以通过“同角的补角相等”推理证明，是经过证实的真命题，属于定理。
综上，符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
定理的定义；真假命题判断；公理的特征
【点评】
本题核心考查定理、公理的概念区分，以及对常见几何结论成立条件的掌握，做题时要注意区分无需证明的基本事实和需要推理证实的定理，同时牢记几何结论的前提条件，避免误选假命题。
【难度系数】
0.7

3 有下列语句:① 对顶角相等;② 全等三角形的对应边相等,对应角相等;③ 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解;④ 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.其中,属于定理的是,属于公理的是,属于定义的是(填序号).

3. ①② ④ ③

【分析】
解题时首先要明确定义、公理、定理三者的核心区别：定义是对概念含义的明确规定，用来回答“是什么”的问题；公理是长期实践总结出的不需要证明的基本真命题，是证明其他命题的初始依据；定理是经过逻辑推理证明得到的真命题。接下来我们逐个分析四个语句，对应匹配所属类别即可。
【解析】
首先明确三类命题的判定标准：
1. 定义：对名称或术语的含义进行描述、作出明确规定的语句；
2. 公理：无需证明、被公认的基本真命题，可作为证明其他命题的依据；
3. 定理：经过推理证明成立的真命题。
逐个判断语句类别：
①对顶角相等：可通过“同角的补角相等”推理证明，属于定理；
②全等三角形的对应边相等，对应角相等：可通过全等的判定等推理证明得到，属于定理；
③该语句明确规定了什么是二元一次方程组的解，属于定义；
④同位角相等，两直线平行：是无需证明的基本事实，属于公理。
【答案】
①②；④；③
【知识点】
定义的判定、公理的判定、定理的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对定义、公理、定理三个概念本质区别的掌握，熟悉概念内涵即可快速得分。
【难度系数】
0.8

4 有下列各项:① 公理;② 已证定理;③ 定义;④ 已知条件;⑤ 度量的结果;⑥ 观察到的结果;⑦ 等式的性质;⑧ 猜测的结果.其中,可以作为推理依据的有 （）

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

4. A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确核心判断标准：能作为推理依据的内容必须是已经被证实为完全正确的结论或者题目给定的条件。接下来只需逐个判断给出的8项是否符合这个要求，最后统计符合要求的数量，对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析各项是否可作为推理依据：
①公理：是公认的不需要证明的真命题，可作为推理依据；
②已证定理：是已经经过严格证明的真命题，可作为推理依据；
③定义：是对数学概念的明确界定，属于确定正确的结论，可作为推理依据；
④已知条件：是题目明确给出的既定条件，可作为推理依据；
⑤度量的结果：度量操作存在不可避免的误差，结果不一定准确，不能作为推理依据；
⑥观察到的结果：观察容易受主观因素影响出现偏差，结果不一定正确，不能作为推理依据；
⑦等式的性质：是经过验证公认正确的运算性质，可作为推理依据；
⑧猜测的结果：没有经过严谨证明，不一定正确，不能作为推理依据。
综上，可作为推理依据的有①②③④⑦，共5个。
【答案】
A
【知识点】
证明的推理依据；公理与定理；定义的概念
【点评】
本题核心是考查对推理依据判定标准的理解，解题关键是牢记只有经过证实的正确内容才能作为推理依据，要注意排除存在误差、未经验证的内容，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.7

5 在每一步后面的括号内写出该步推理的依据.
如图,C为线段AB的中点,点D,E分别在AC,BC上,且AD=BE.求证:C为线段DE的中点.

证明:∵ C为线段AB的中点(),
∴ AC=BC().
∵ AD=BE(),
∴ AC−AD=BC−BE().
∴ DC=CE.
∴ C为线段DE的中点().

5. 已知 中点的定义 已知 等式的性质 中点的定义

【分析】
本题要求填写证明过程每一步的推理依据，解题时需判断每一步内容的来源：如果是题目直接给出的条件，依据为“已知”；如果是由所学定义、性质推导得到的，对应填写相关定义、性质即可。首先“C为线段AB的中点”“AD=BE”都是题目给出的条件，对应填“已知”；由中点得到两条线段相等、由两条线段相等判定点是中点，都对应线段中点的定义；等式两边同时减去相等的量等式仍成立，对应等式的性质。
【解析】
第一个空：“C为线段AB的中点”是题目直接给出的条件，填已知；
第二个空：根据线段中点的定义，线段中点将线段分为两条长度相等的线段，因此由C是AB中点可得AC=BC，依据是中点的定义；
第三个空：“AD=BE”是题目直接给出的条件，填已知；
第四个空：等式两边同时减去相等的量，等式仍然成立，因此AC-AD=BC-BE的依据是等式的性质；
第五个空：根据线段中点的定义，若一个点将线段分为两条长度相等的线段，则该点是这条线段的中点，因此由DC=CE可得C为DE中点，依据是中点的定义。
【答案】
已知 中点的定义 已知 等式的性质 中点的定义
【知识点】
线段中点的定义、等式的性质、推理依据填写
【点评】
本题属于基础题型，主要考查证明过程中推理依据的规范填写，只要能区分已知条件和所学的基础定义、性质，就能轻松完成解答。
【难度系数】
0.9

6 判断下面命题的真假，如果是假命题，请用举反例的方法说明；如果是真命题，请写出证明过程.
（1）如图，若$2AC=2BD$，则$2AB=2CD$；

（2）若$m＞n$，则$mp＞np$.

6. （1）真命题

∵ 2AC=2BD(已知),
∴ AC=BD(等式的性质).
∴ AC−BC=BD−BC(等式的性质),即 AB=CD.
∴ 2AB=2CD(等式的性质) （2）假命题

∵ 5＞3,而5×(-1)＜3×(-1),
∴“若m＞n,则mp＞np”是假命题(举例不唯一)

【分析】
解答本题需分别对两个命题判断真假：
1. 线段类命题：从已知条件2AC=2BD出发，首先利用等式性质两边除以2得到AC=BD；观察线段图可知，AC=AB+BC，BD=BC+CD，二者包含公共线段BC，将等式两边同时减去公共部分BC，即可得到AB=CD，再利用等式性质两边乘2就能得到要证的结论，推导全程符合数学性质，因此为真命题。
2. 不等式类命题：回忆不等式的性质，不等式两边同乘正数时不等号方向不变，同乘负数时不等号方向改变，同乘0时两边相等。本题命题未限定p的取值，当p≤0时结论不成立，只需举出符合题设、不符合结论的反例即可证明其为假命题。
【解析】
（1）该命题是真命题，证明如下：
∵ 2AC=2BD（已知），
∴ AC=BD（等式的性质），
∴ AC−BC=BD−BC（等式的性质），
即AB=CD，
∴ 2AB=2CD（等式的性质）。
（2）该命题是假命题，举反例如下：
取m=5，n=3，p=-1，满足m＞n，
此时mp=5×(-1)=-5，np=3×(-1)=-3，显然-5＜-3，即mp＜np，与命题结论mp＞np不符，因此该命题是假命题（反例不唯一）。
【答案】
（1）真命题，证明见解析；（2）假命题，反例：5＞3，但5×(-1)＜3×(-1)（反例不唯一）
【知识点】
等式的性质、不等式的性质、真假命题判断
【点评】
本题考查真假命题的判断方法：真命题需要结合已知条件、相关性质定理严谨推导证明；假命题只需举出一个满足命题条件、但不满足命题结论的反例即可。解题时注意不等式两边同乘负数时不等号方向要改变，避免忽略乘数的正负性出错。
【难度系数】
0.8

7 阅读并补全下面命题的证明过程：
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行.
如图,直线AB,CD,EF在同一平面内,AB⊥EF于点M,CD⊥EF于点N.
求证:.

证明:∵ AB⊥EF(已知),
∴ ∠AME=90°(垂直的定义).
∵ CD⊥EF(已知),
∴ ∠CNE=90°(垂直的定义).
∴ ∠=∠.
∴ //.

7. AB//CD AME CNE AB CD

【分析】
首先根据题干给出的命题，结合已知条件可确定求证的结论是AB与CD互相平行；再根据垂直的定义可得∠AME和∠CNE均为90°，二者是直线AB、CD被EF所截得到的同位角，根据同位角相等即可判定两直线平行，按这个思路补全证明过程即可。
【解析】
首先根据命题内容，结合已知的AB⊥EF、CD⊥EF，可知求证的是AB//CD；
由已知AB⊥EF，根据垂直的定义得∠AME=90°，同理CD⊥EF得∠CNE=90°，因此可得∠AME=∠CNE；
∠AME和∠CNE是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出AB//CD。
按顺序补全证明的空缺内容即可。
【答案】
AB//CD；AME；CNE；AB；CD
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定
【点评】
本题是基础的几何证明填空题型，重点考查对垂直定义和平行线判定定理的理解与应用，解题的关键是准确识别同位角，结合角的数量关系判断直线的位置关系，属于几何证明的入门类题目。
【难度系数】
0.9