8 下列说法错误的是 （）

A.所有的定义都是命题
B.所有的定理都是命题
C.所有的公理都是命题
D.所有的命题都是公理

8. D

【分析】
解题时首先要明确命题、定义、定理、公理的核心概念，再逐一判断各选项的正误。首先，命题是能够判断真假的语句，定义、定理、公理都带有明确的判断属性，都属于命题；但命题包含真命题和假命题，即使是真命题也分为公理、定理等不同类别，公理只是其中被公认为真、无需证明的一类，并非所有命题都是公理，据此即可选出错误选项。
【解析】
先明确相关概念：判断一件事情的语句叫做命题，具备明确判断属性的陈述句都属于命题。
对各选项逐一分析：
A. 定义是对事物本质属性的明确判断描述，符合命题的特征，因此所有的定义都是命题，说法正确。
B. 定理是经过严格推理证实的真命题，本身属于命题的范畴，说法正确。
C. 公理是人们在长期实践中总结出来的公认的、无需证明的真命题，属于命题，说法正确。
D. 命题包含真命题和假命题，且真命题除了公理之外还有定理等其他类型，因此所有的命题都是公理的说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
命题的定义；公理的概念；定理的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查命题、定义、公理、定理之间的从属关系，只要准确掌握各个概念的内涵，就能轻松判断正误。
【难度系数】
0.8

9 下列推理正确的是 （）

A.$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 90°, ∠ 2 + ∠ 3 = 90°,$
$\therefore ∠ 1 + ∠ 3 = 90°$
B.$\because ∠ 1 + ∠ 3 = 90°, ∠ 3 + ∠ 2 = 90°,$
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$
C.$\because ∠ 1$与$∠ 2$是对顶角，$∠ 2 = ∠ 3, \therefore ∠ 1$与$∠ 3$是对顶角
D.$\because ∠ 1$与$∠ 2$是同位角，$∠ 2$与$∠ 3$是同位角，$\therefore ∠ 1$与$∠ 3$是同位角

9. B

【分析】
这是一道几何基础概念辨析题，解题时需逐个分析选项，结合对应几何性质或定义判断推理是否正确：①涉及两个角和为90°的选项，用同角的余角相等的性质判断；②涉及对顶角的选项，结合对顶角“两边互为反向延长线”的位置定义判断；③涉及同位角的选项，结合同位角的位置特征判断，最终筛选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知$∠1+∠2=90°$，$∠2+∠3=90°$，根据“同角的余角相等”，可得$∠1=∠3$，而非$∠1+∠3=90°$，故A推理错误。
选项B：已知$∠1+∠3=90°$，$∠3+∠2=90°$，说明$∠1$和$∠2$都是$∠3$的余角，根据“同角的余角相等”，可推出$∠1=∠2$，故B推理正确。
选项C：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。由$∠1$是$∠2$的对顶角得$∠1=∠2$，结合$∠2=∠3$只能推出$∠1=∠3$，无法保证$∠1$和$∠3$满足对顶角的位置要求，故C推理错误。
选项D：同位角是由三条直线的位置关系决定的位置类概念，不具备传递性，$∠1$与$∠2$、$∠2$与$∠3$分别是同位角，无法推出$∠1$与$∠3$是同位角，故D推理错误。
综上，推理正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角的性质；对顶角的定义；同位角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要准确区分几何概念的数量关系和位置关系，不要将性质的必要条件当成充分条件使用。
【难度系数】
0.7

10若$∠ 1$与$∠ 2$互补，$∠ 3$与$∠ 2$互补，则$\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$.用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是________.

10. ∠1 ∠3 同角的补角相等

【分析】
首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。题目中∠1和∠3都是∠2的补角，我们可以先根据补角定义分别用∠2表示出∠1和∠3，再推导两者的数量关系，最后对应到补角的相关性质定理即可。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互补，根据补角的定义可得：
$∠1 + ∠2 = 180°$，即$∠1 = 180° - ∠2$；
又
∵∠3与∠2互补，同理可得：
$∠3 + ∠2 = 180°$，即$∠3 = 180° - ∠2$；
∴$∠1 = ∠3$。
该结论对应的定理为：同角的补角相等。
【答案】
$∠1$；$∠3$；同角的补角相等
【知识点】
补角的定义；同角的补角相等
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对补角定义和补角性质的理解运用，熟练掌握基础几何概念就能快速解题。
【难度系数】
0.9

11 新考向 条件开放题 如图,点C,E,F,B在同一条直线上,且$CE=BF$,给出下列信息:① $AB=CD$;② $∠ A=∠ D$;③ $AB// CD$.请在上述三条信息中选择其中两条作为条件,剩余的一条信息作为结论组成一个真命题,并证明.

11. 若选择①③作为条件,②作为结论. 证明:
∵ AB//CD,
∴ ∠B=∠C.
∵ CE=BF,
∴ CE+EF=BF+EF.
∴ CF=BE.在△AEB 和△DFC 中, $\begin{cases} AB=DC, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ △AEB≌△DFC.
∴ ∠A=∠D 若选择②③作为条件,①作为结论. 证明:
∵ AB//CD,
∴ ∠B=∠C.
∵ CE=BF,
∴ CE+EF=BF+EF.
∴ CF = BE. 在△AEB 和△DFC 中, $\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ △AEB≌△DFC.
∴ AB=CD

【分析】
这是一道条件开放题，解题思路如下：首先先处理题目给出的公共条件$CE=BF$，通过等式性质可推出$CE+EF=BF+EF$，即$BE=CF$。接下来分析三个可选信息：信息③$AB// CD$可推出$∠ B=∠ C$。此时若搭配信息①$AB=CD$，就满足SAS全等判定条件，可证$△ AEB$和$△ DFC$全等，进而推出结论②$∠ A=∠ D$；若搭配信息②$∠ A=∠ D$，就满足AAS全等判定条件，可证$△ AEB$和$△ DFC$全等，进而推出结论①$AB=CD$。若选择①②作为条件，属于SSA的组合，无法判定三角形全等，不能得到真命题，因此仅两种可行的命题组合。
【解析】
情况1：选择①③作为条件，②作为结论。
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because CE=BF$，
$\therefore CE+EF=BF+EF$，即$CF=BE$。
在$△ AEB$和$△ DFC$中，
$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ DFC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ A=∠ D$。
情况2：选择②③作为条件，①作为结论。
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because CE=BF$，
$\therefore CE+EF=BF+EF$，即$CF=BE$。
在$△ AEB$和$△ DFC$中，
$\begin{cases} ∠ A=∠ D, \\ ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ DFC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CD$。
【答案】
可选择①③为条件，②为结论（或选择②③为条件，①为结论），证明见解析。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为条件开放类题型，需要结合已知条件筛选出能构成真命题的组合，核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免构造出假命题。
【难度系数】
0.7

12 如图,点 C 在射线 OA 上,射线 CE 平分∠ACD,射线 OF 平分∠COB,并与射线 CD 交于点 F.
(1) 依题意补全图形;
(2) 若 ∠COB + ∠OCD = 180°, 求证: ∠ACE=∠COF.

12. （1）补全图形如图所示 （2）
∵ CE 平分∠ACD,OF 平分∠COB,
∴ ∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD,∠COF=$\frac{1}{2}$∠COB.
∵ 点 C 在射线 OA 上,
∴ ∠ACD+∠OCD=180°.
∵ ∠COB+∠OCD=180°,
∴ ∠ACD=∠COB.
∴ ∠ACE=∠COF

【分析】
(1) 补全图形思路：根据题意，只需用尺规作图法作出∠COB的角平分线OF，使OF与射线CD交于点F即可完成图形补全。
(2) 证明题思路：要证∠ACE=∠COF，先结合已知的两个角平分线条件，根据角平分线定义可知∠ACE是∠ACD的一半、∠COF是∠COB的一半，因此只需证明∠ACD=∠COB。再结合平角的定义可得∠ACD与∠OCD互补，题目已知∠COB也与∠OCD互补，根据同角的补角相等即可推出∠ACD=∠COB，进而得到两个半角相等，完成证明。
【解析】
(1) 补全图形：按照角平分线的尺规作图步骤作出∠COB的平分线OF，交CD于点F，补全后图形与参考图一致。
(2) 证明：
∵ CE平分∠ACD，OF平分∠COB，
∴ 根据角平分线的定义，得∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠COF=$\frac{1}{2}$∠COB。
∵ 点C在射线OA上，∠ACD与∠OCD为邻补角，
∴ ∠ACD+∠OCD=180°。
又
∵ 已知∠COB+∠OCD=180°，
∴ 根据同角的补角相等，得∠ACD=∠COB。
对等式两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$∠COB，即∠ACE=∠COF。
【答案】
(1) 补全图形如图所示
(2)
∵ CE 平分∠ACD,OF 平分∠COB,
∴ ∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD,∠COF=$\frac{1}{2}$∠COB.
∵ 点 C 在射线 OA 上,
∴ ∠ACD+∠OCD=180°.
∵ ∠COB+∠OCD=180°,
∴ ∠ACD=∠COB.
∴ ∠ACE=∠COF
【知识点】
角平分线的定义，补角的性质，邻补角定义
【点评】
本题分为作图和证明两部分，既考查了角平分线的尺规作图技能，又考查了基础几何逻辑推导能力，解题核心是通过角平分线的性质将待证角的等量关系转化为其对应二倍角的等量关系，是几何入门的典型基础题。
【难度系数】
0.8

13 新考向 探究题 将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1) 如图①,若CE恰好是∠ACD的平分线,则CD是∠ECB的 ,并证明;
(2) 如图②,若∠ECD=α,CD在∠BCE的内部,请猜想∠ACE与∠DCB是否相等,并证明;
(3) 在(2)的条件下,请探究∠ECD与∠ACB的度数和,并证明.

13. （1）平分线

∵ ∠ACD=∠ACE+∠ECD=90°,∠ECB=∠ECD+∠DCB=90°,
∴ ∠ACE=∠DCB.
∵ CE 是∠ACD 的平分线,
∴ ∠ACE=∠ECD.
∴ ∠ECD=∠DCB.
∴ CD 是∠ECB 的平分线 （2）∠ACE=∠DCB

∵ ∠ACD=90°,∠ECB=90°,∠ECD=α,
∴ ∠ACE=90°−α,∠DCB=90°−α.
∴ ∠ACE = ∠DCB （3）∠ECD + ∠ACB = 180°

∵ ∠ACD=∠ECB = 90°, ∠ECD + ∠ACB = ∠ECD + ∠ACE + ∠ECB = ∠ACD + ∠ECB,
∴ ∠ECD + ∠ACB = 90°+90°=180°

【分析】
(1) 首先明确一副三角尺的直角∠ACD=∠ECB=90°，已知CE是∠ACD的平分线，可先得到∠ACE=∠ECD，再结合同角的余角相等推导∠ACE=∠DCB，进而得到∠ECD=∠DCB，即可判断CD的性质。
(2) 要判断∠ACE与∠DCB是否相等，可分别用∠ACD、∠ECB和∠ECD表示两个角：∠ACE=∠ACD-∠ECD，∠DCB=∠ECB-∠ECD，结合∠ACD=∠ECB=90°，即可证明二者相等。
(3) 探究∠ECD与∠ACB的和时，可将∠ACB拆分为∠ACE+∠ECB，再代入角度关系合并，即可求出二者的和。
【解析】
(1) 平分线，证明如下：
∵ ∠ACD=∠ACE+∠ECD=90°，∠ECB=∠ECD+∠DCB=90°，
∴ ∠ACE=∠DCB。
∵ CE是∠ACD的平分线，
∴ ∠ACE=∠ECD，
∴ ∠ECD=∠DCB，
∴ CD是∠ECB的平分线。
(2) ∠ACE=∠DCB，证明如下：
∵ ∠ACD=90°，∠ECB=90°，∠ECD=α，
∴ ∠ACE=90°−α，∠DCB=90°−α，
∴ ∠ACE = ∠DCB。
(3) ∠ECD + ∠ACB = 180°，证明如下：
∵ ∠ACD=∠ECB = 90°，
∠ECD + ∠ACB = ∠ECD + ∠ACE + ∠ECB = ∠ACD + ∠ECB，
∴ ∠ECD + ∠ACB = 90°+90°=180°。
【答案】
(1) 平分线；(2) ∠ACE=∠DCB；(3) ∠ECD+∠ACB=180°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题以三角尺叠放为情境考查角的相关证明与计算，解题关键是抓住三角尺的直角为90°，灵活对角度进行拆分、转化，能有效训练角度转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7