2. 数学兴趣小组对下面问题产生了浓厚兴趣:如图①,A,C两点被池塘隔开,怎样测出A,C两点间的距离?

(1)问题解决:如图②,根据三角形中位线定理,可分别取AB,BC的中点D,E,若量得DE=15 m,则可得线段AC的长是 m.
(2)观察猜想:如图③,若把△ABC变成四边形ABPC,当BP//AC,D,E分别为AB,PC的中点时,求证:DE=$\frac{1}{2}(BP+AC)$.
(3)综合应用:如图④,在四边形ABPC中,D,E分别为AB,PC的中点,连接BE,DE,若PB=10,AC=6$\sqrt{5}$,2(∠BAC−∠BDE)+(∠PBE−∠BED)=90°,求线段DE的长.

(1)30
(2)如图①,连接BE并延长交直线AC于点F.
∵ BP//AC,
∴ ∠PBE=∠F,∠P=∠FCE.
∵ E是PC的中点,
∴ PE=CE.
在△PBE和△CFE中,
$\begin{cases}∠PBE=∠F,\\∠P=∠FCE,\\PE=CE,\end{cases}$
∴ △PBE≌△CFE.(AAS)
∴ BE=FE,PB=CF.
∴ E为FB的中点,AF=AC+BP.
∵ D,E分别为AB,FB的中点,
∴ $DE=\frac{1}{2}AF$.
∴ $DE=\frac{1}{2}(BP+AC)$.
(3)如图②,延长BE至点K,使BE=EK,连接AK,CK,作KM⊥AK交AC的延长线于点M,作KH⊥AM,垂足为H.
在△ABK中,D,E分别是AB,BK的中点,
∴ $DE//AK,DE=\frac{1}{2}AK$.
∴ ∠BDE=∠BAK,∠BED=∠BKA.
∵ E是BK和PC的中点,
∴ BE=KE,PE=CE.
在△PBE和△CKE中,
$\begin{cases}BE=KE,\\∠PEB=∠CEK,\\PE=CE,\end{cases}$
∴ △PBE≌△CKE(SAS).
∴ ∠PBE=∠CKE,PB=CK=10.
∴ ∠BAC−∠BDE=∠BAC−BAK=∠CAK,∠PBE−∠BED=∠CKE−∠BKA=∠CKA.
∵ 2(∠BAC−∠BDE)+(∠PBE−∠BED)=90°,
∴ 2∠CAK+∠CKA=90°.
设∠CAK=α,则∠CKA=90°−2α,∠CKM=2α,∠M=90°−α,∠KCM=∠CAK+∠CKA=90°−α.
∴ ∠M=∠KCM.
∴ △KMC为等腰三角形,即KM=KC=10.
∵ KH⊥AM,
∴ HC=HM.
∵ △CKH,△AKH,△AKM都是直角三角形,
∴ 设CH=MH=x,则AH=AC+CH=$6\sqrt{5}+x$,AM=AC+CM=$6\sqrt{5}+2x$.
在Rt△CKH中,$KH^2=CK^2−CH^2$,即$KH^2=10^2−x^2$.
在Rt△AKH中,$AK^2=AH^2+KH^2$,即$AK^2=(6\sqrt{5}+x)^2+KH^2=(6\sqrt{5}+x)^2+(10^2−x^2)$.
在Rt△AKM中,$AK^2=AM^2−KM^2$,即$AK^2=(6\sqrt{5}+2x)^2−10^2$.
∴ $(6\sqrt{5}+x)^2+(10^2−x^2)=(6\sqrt{5}+2x)^2−10^2$.
整理,得$x^2+3\sqrt{5}x−50=0$.
解得$x=2\sqrt{5}$或$x=−5\sqrt{5}$(舍).
∴ $CH=2\sqrt{5}$,$AM=6\sqrt{5}+2×2\sqrt{5}=10\sqrt{5}$.
∴ $AK=\sqrt{AM^2−KM^2}=\sqrt{(10\sqrt{5})^2−10^2}=20$.
∴ $DE=\frac{1}{2}AK=10$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC＜60°$,线段$BD$,$AF$都是$△ ABC$的高,能否在$△ ABC$外部找到一个角等于$∠ BAC$的一半? 小智以点$C$为圆心,$BD$的长为半径作弧,以点$D$为圆心,$BC$的长为半径作弧,两弧交于点$E$,连接$CE$,$DE$,则$∠ E=\frac{1}{2}∠ BAC$,请你证明这种做法的正确性.

3. 由作图可知BD=CE,BC=DE,
∴ 四边形BCED为平行四边形.
∴ ∠E=∠CBD.
∵ 线段BD,AF都是△ABC的高,AB=AC,
∴ $∠CAF=\frac{1}{2}∠BAC$,∠AFC=∠BDC=90°.
∴ ∠CBD=∠CAF=90°−∠ACB.
∴ $∠CBD=\frac{1}{2}∠BAC$.
∴ $∠E=\frac{1}{2}∠BAC$.