4. 如图,在四边形AFEC中,AC⊥CE,AF⊥FE,AB平分∠FAC,ED平分∠FEC.求证:AB//DE.

4.
∵ AC⊥CE,AF⊥FE,
∴ ∠C=∠F=90°.
∴ ∠CAF+∠CEF=360°−∠C−∠F=180°.
∵ AB平分∠FAC,ED平分∠FEC,
∴ $∠CAB=∠BAF=\frac{1}{2}∠CAF$,$∠CED=∠FED=\frac{1}{2}∠CEF$.
∴ $∠BAF+∠CED=\frac{1}{2}∠CAF+\frac{1}{2}∠CEF=\frac{1}{2}(∠CAF+∠CEF)=90°$.
∵ ∠C=90°,
∴ ∠CAB+∠CBA=90°.
∵ ∠CAB=∠BAF,
∴ ∠CBA=∠CED.
∴ AB//DE.

5. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=12 cm,BC=18 cm,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿A→D→C运动,点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点B运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t s.
(1)从运动开始,当t取何值时,四边形PQCD是平行四边形?
(2)在运动过程中,是否存在以CD为腰的等腰三角形DQC?若存在,求出时间t的值;若不存在,请说明理由.

5. (1)当PQ//CD时,四边形PQCD是平行四边形,此时PD=QC,
∴ 12−2t=t,解得t=4.
∴ 当t=4时,四边形PQCD是平行四边形.
(2)存在.
过点D作DE⊥BC于点E.
由题意,得DE=AB=8 cm,EC=18−12=6(cm),
∴ 根据勾股定理,得DC=10 cm.
当CQ=CD时,t=10;当DQ=CD时,CQ=2CE=12 cm,t=12.
∵ 当点P到达点C时,点Q也停止运动,
∴ $t_{最大}=\frac{12+10}{2}=11$.
∴ t=10.