登录
21. 〔河南中考〕(10分)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$C$在$x$轴上，球网$AB$与$y$轴的水平距离$OA = 3$ m，$CA = 2$ m，击球点$P$在$y$轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度$y$(m)与水平距离$x$(m)近似满足一次函数关系$y = -0.4x + 2.8$；若选择吊球，羽毛球的飞行高度$y$(m)与水平距离$x$(m)近似满足二次函数关系$y = a(x - 1)^2 + 3.2$.
(1)求点$P$的坐标和$a$的值.
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到$C$点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$C$在$x$轴上，球网$AB$与$y$轴的水平距离$OA = 3$ m，$CA = 2$ m，击球点$P$在$y$轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度$y$(m)与水平距离$x$(m)近似满足一次函数关系$y = -0.4x + 2.8$；若选择吊球，羽毛球的飞行高度$y$(m)与水平距离$x$(m)近似满足二次函数关系$y = a(x - 1)^2 + 3.2$.
(1)求点$P$的坐标和$a$的值.
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到$C$点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
答案
21.解：(1)由题意知，点$P$为直线$y = -0.4x + 2.8$与$y$轴的交点。
当$x = 0$时，$y = -0.4×0 + 2.8 = 2.8$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(0,2.8)$。(2分)
$\because$抛物线$y = a(x - 1)^{2}+3.2$经过点$P$，
$\therefore2.8 = a(0 - 1)^{2}+3.2$。
解得$a = -0.4$。(5分)
(2)$\because OA = 3m$，$CA = 2m$，
$\therefore OC = 5m$。
若选择扣球，当$y = 0$时，得$-0.4x + 2.8 = 0$。
解得$x = 7$。
此时，球的落地点到$C$点的距离为$7 - 5 = 2(m)$。(7分)
若选择吊球，由(1)知，$y = -0.4(x - 1)^{2}+3.2$。
当$y = 0$时，得$-0.4(x - 1)^{2}+3.2 = 0$。
解得$x_{1}=2\sqrt{2}+1$，$x_{2}=-2\sqrt{2}+1$（舍去）。
此时，球的落地点到$C$点的距离为$5-(2\sqrt{2}+1)=(4 - 2\sqrt{2})m$。(9分)
$\because4 - 2\sqrt{2}\lt2$，
$\therefore$应选择吊球。(10分)
当$x = 0$时，$y = -0.4×0 + 2.8 = 2.8$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(0,2.8)$。(2分)
$\because$抛物线$y = a(x - 1)^{2}+3.2$经过点$P$，
$\therefore2.8 = a(0 - 1)^{2}+3.2$。
解得$a = -0.4$。(5分)
(2)$\because OA = 3m$，$CA = 2m$，
$\therefore OC = 5m$。
若选择扣球，当$y = 0$时，得$-0.4x + 2.8 = 0$。
解得$x = 7$。
此时，球的落地点到$C$点的距离为$7 - 5 = 2(m)$。(7分)
若选择吊球，由(1)知，$y = -0.4(x - 1)^{2}+3.2$。
当$y = 0$时，得$-0.4(x - 1)^{2}+3.2 = 0$。
解得$x_{1}=2\sqrt{2}+1$，$x_{2}=-2\sqrt{2}+1$（舍去）。
此时，球的落地点到$C$点的距离为$5-(2\sqrt{2}+1)=(4 - 2\sqrt{2})m$。(9分)
$\because4 - 2\sqrt{2}\lt2$，
$\therefore$应选择吊球。(10分)
22. 〔河南师范大学附属中学〕(10分)“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为$40$元/条，当销售价格为$80$元/条时，每月可销售$100$条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：每条休闲裤的销售价格每降价$1$元，则每月可多销售$5$条.设休闲裤的销售价格为$x$元/条($x$为正整数)，每月的销售量为$y$条.
(1)直接写出$y$与$x$的函数关系式.
(2)设该网店每月获得的利润为$w$元.当销售单价为多少时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出$200$元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于$3800$元，且让顾客得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
(1)直接写出$y$与$x$的函数关系式.
(2)设该网店每月获得的利润为$w$元.当销售单价为多少时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出$200$元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于$3800$元，且让顾客得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
答案
22.解：(1)$y = 500 - 5x$。(2分)
(2)根据题意，得$w = y(x - 40)=(500 - 5x)(x - 40)=-5(x - 70)^{2}+4500$。(4分)
$\because-5\lt0$，
$\therefore$当$x = 70$时，$w$有最大值，最大值为$4500$。
$\therefore$当销售单价为$70$元/条时，每月获得的利润最大，最大利润为$4500$元。(6分)
(3)根据题意，得$-5(x - 70)^{2}+4500 = 3800 + 200$。
解得$x_{1}=60$，$x_{2}=80$。(8分)
$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 70$，
$\therefore$当$60\leqslant x\leqslant80$时，符合该网店店主的要求。
$\because$为了让顾客得到最大的实惠，
$\therefore x = 60$。
$\therefore$当销售单价定为$60$元/条时，既符合网店店主的要求，又能让顾客得到最大的实惠。(10分)
(2)根据题意，得$w = y(x - 40)=(500 - 5x)(x - 40)=-5(x - 70)^{2}+4500$。(4分)
$\because-5\lt0$，
$\therefore$当$x = 70$时，$w$有最大值，最大值为$4500$。
$\therefore$当销售单价为$70$元/条时，每月获得的利润最大，最大利润为$4500$元。(6分)
(3)根据题意，得$-5(x - 70)^{2}+4500 = 3800 + 200$。
解得$x_{1}=60$，$x_{2}=80$。(8分)
$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 70$，
$\therefore$当$60\leqslant x\leqslant80$时，符合该网店店主的要求。
$\because$为了让顾客得到最大的实惠，
$\therefore x = 60$。
$\therefore$当销售单价定为$60$元/条时，既符合网店店主的要求，又能让顾客得到最大的实惠。(10分)
