23. 设题新角度 综合与实践 (10分)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答.
(1)观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点$M(4, 0)$的直线$l // y$轴，作$\triangle ABC$关于$y$轴对称的图形$\triangle A_1B_1C_1$，再分别作$\triangle A_1B_1C_1$关于$x$轴和直线$l$对称的图形$\triangle A_2B_2C_2$和$\triangle A_3B_3C_3$，则$\triangle A_2B_2C_2$可以看作是$\triangle ABC$绕点$O$顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；$\triangle A_3B_3C_3$可以看作是$\triangle ABC$向右平移得到的，平移距离为个单位长度.
(2)探究迁移
如图2，$□ ABCD$中，$\angle BAD = \alpha (0° ＜ \alpha ＜ 90°)$，$P$为直线$AB$下方一点，作点$P$关于直线$AB$的对称点$P_1$，再分别作点$P_1$关于直线$AD$和直线$CD$的对称点$P_2$和$P_3$，连接$AP$，$AP_2$，请就图2的情形解决以下问题：
①若$\angle PAP_2 = \beta$，请判断$\beta$与$\alpha$的数量关系，并说明理由；
②若$AD = m$，求$P$，$P_3$两点间的距离.
(3)拓展应用
在(2)的条件下，若$\alpha = 60°$，$AD = 2\sqrt{3}$，$\angle PAB = 15°$，连接$P_2P_3$.当$P_2P_3$与$□ ABCD$的边平行时，请直接写出$AP$的长.

23.解：(1)$180^{\circ}$ $8$
[解析]由题图1可知，$\triangle ABC$和$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$关于原点$O$成中心对称，即$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$可以看作是$\triangle ABC$绕点$O$顺时针旋转$180^{\circ}$得到的。
$\therefore$旋转角的度数为$180^{\circ}$。
由题图1可知，$\triangle ABC$向右平移$8$个单位长度可以得到$\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$。
$\therefore$平移距离为$8$个单位长度。(2分)
(2)①$\beta = 2\alpha$。
理由如下：如图①，连接$AP_{1}$，$PP_{1}$，$P_{1}P_{2}$。

$\because$点$P_{1}$与点$P$关于直线$AB$对称，
$\therefore AB$垂直平分$PP_{1}$，$\angle1 = \angle2$。
同理可得$\angle3 = \angle4$。
$\because\alpha = \angle2 + \angle3$，$\beta = \angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4$，
$\therefore\beta = 2\alpha$。(5分)
②如图①，过点$D$作$DG\perp AB$，垂足为$G$。
在$Rt\triangle AGD$中，$DG = m\sin\alpha$。
设$PP_{1}$交$AB$于点$M$，连接$P_{1}P_{3}$，交$CD$于点$F$。
$\because$点$P_{1}$与点$P_{3}$关于直线$CD$对称，
$\therefore CD$垂直平分$P_{1}P_{3}$。
由①知，$AB$垂直平分$PP_{1}$。
$\because$在$□ ABCD$中，$AB// CD$，
$\therefore$点$P$在直线$P_{1}P_{3}$上。
$\therefore MF\perp AB$，$PP_{3}=PP_{1}+P_{1}P_{3}=2MF$。
$\because MF = DG$，
$\therefore PP_{3}=2DG = 2m\sin\alpha$。(8分)
(3)$AP$的长为$3\sqrt{2}-\sqrt{6}$或$2\sqrt{6}$。(10分)
[解析]连接$AP$，$PP_{1}$，$P_{1}P_{2}$，$P_{1}P_{3}$，$PP_{2}$交直线$AB$于点$E$，$P_{1}P_{3}$交直线$CD$于点$F$，$P_{1}P_{2}$交直线$AD$于点$H$，连接$HF$。
由轴对称的性质可知，$AB$，$AD$，$CD$分别垂直平分$PP_{1}$，$P_{1}P_{2}$，$P_{1}P_{3}$。
$\therefore AP = AP_{1}=AP_{2}$，点$H$，$F$分别为$P_{1}P_{2}$，$P_{1}P_{3}$的中点。$\therefore HF// P_{1}P_{3}$。
与(2)①同理得$\angle P_{1}AB = \angle PAB = 15^{\circ}$。
$\because\alpha = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle PAD = \alpha - \angle P_{1}AB = 45^{\circ}$。
设$AP = AP_{1}=AP_{2}=x$。
根据题意，分两种情况：
①当$P_{1}P_{3}// AD$时，点$F$与点$D$重合，如图②。
在$Rt\triangle AP_{1}H$中，$AH = AP_{1}·\cos\angle P_{1}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$HP_{1}=AP_{1}·\sin\angle P_{1}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
与(2)②同理得点$P$，$P_{1}$，$P_{3}$在同一条直线上。
$\therefore$在$Rt\triangle ADE$中，$\angle ADE = 90^{\circ}-\alpha = 30^{\circ}$。
$\therefore$在$Rt\triangle DHP_{1}$中，$DH=\frac{HP_{1}}{\tan\angle ADE}=\frac{\sqrt{6}}{2}x$。
$\because AD = DH + AH = 2\sqrt{3}$，
$\therefore\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x=2\sqrt{3}$。
解得$x = 3\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
$\therefore AP$的长为$3\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
②当$P_{1}P_{3}// CD$时，点$H$与点$D$重合，如图③。
与(3)①同理，可得$AH=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
$\therefore\frac{\sqrt{2}}{2}x=2\sqrt{3}$。
解得$x = 2\sqrt{6}$。
$\therefore AP$的长为$2\sqrt{6}$。
综上所述，$AP$的长为$3\sqrt{2}-\sqrt{6}$或$2\sqrt{6}$。