5. 如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为16 m,拱高CD为4 m.
(1) 求圆弧形拱桥所在圆的半径.
(2) 有一艘宽为10 m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面2 m,此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥?请说明理由.

解：(1) 设圆弧形拱桥所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接$OA$。
由题意知$CD⊥ AB$，根据垂径定理，得：
$AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$
点$O$在$CD$的延长线上，故$OD=(r-4)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
即$r^2=8^2+(r-4)^2$，
展开化简得$8r=80$，解得$r=10$。
答：圆弧形拱桥所在圆的半径为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 此货船能顺利通过此圆弧形拱桥，理由如下：
在高出水面$2\ \mathrm{m}$处作平行于$AB$的弦$EF$，$EF$交$CD$于点$G$，则$DG=2\ \mathrm{m}$，$EF// AB$。
由(1)知$OD=r-CD=10-4=6\ \mathrm{m}$，$OE=r=10\ \mathrm{m}$，因此：
$OG=OD+DG=6+2=8\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{OE^2-OG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{m}$
由垂径定理得$EF=2EG=12\ \mathrm{m}$。
因为$12\ \mathrm{m}＞10\ \mathrm{m}$，所以此货船能顺利通过此圆弧形拱桥。

【分析】
（1）求圆弧所在圆的半径时，可结合垂径定理与勾股定理求解：首先确定圆心，连接半径构造直角三角形，已知水面宽度AB，由垂径定理可得到半弦长AD的长度，已知拱高CD，圆心到弦AB的距离OD可表示为半径r减去CD的长度，最后在Rt△AOD中用勾股定理列方程即可解出半径。
（2）判断货船能否通行，本质是计算高出水面2m位置处拱桥的宽度，将其与货船宽度10m比较即可：在高出水面2m处作平行于AB的弦EF，计算EF的长度，若EF大于10m则货船可顺利通过，计算时同样连接半径构造直角三角形，用勾股定理求出半弦长，再得到总弦长比较大小即可。
【解析】
(1) 设圆弧形拱桥所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接$OA$。
由题意知$CD⊥ AB$，根据垂径定理，得：
$AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$
点$O$在$CD$的延长线上，故$OD=(r-4)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
即$r^2=8^2+(r-4)^2$，
展开化简得$8r=80$，解得$r=10$。
(2) 此货船能顺利通过此圆弧形拱桥，理由如下：
在高出水面$2\ \mathrm{m}$处作平行于$AB$的弦$EF$，$EF$交$CD$于点$G$，则$DG=2\ \mathrm{m}$，$EF// AB$。
由(1)知$OD=r-CD=10-4=6\ \mathrm{m}$，$OE=r=10\ \mathrm{m}$，因此：
$OG=OD+DG=6+2=8\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{OE^2-OG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{m}$
由垂径定理得$EF=2EG=12\ \mathrm{m}$。
因为$12\ \mathrm{m}＞10\ \mathrm{m}$，所以此货船能顺利通过此圆弧形拱桥。
【答案】
(1) 圆弧形拱桥所在圆的半径为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) 此货船$\boldsymbol{能}$顺利通过此圆弧形拱桥。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长计算
【点评】
本题是圆的实际应用类问题，解题核心是将实际问题转化为几何计算模型，通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解半径、计算对应位置的弦长，有效考查了数学建模能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.7

1. 圆的对称性:圆既是图形,又是图形;它的对称中心是,它的对称轴是.

1. 轴对称 中心对称 圆心 过圆心的任意一条直线

【分析】
解题时先回忆两类对称图形的定义：①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形；②中心对称图形：绕某一个点旋转180°后能与自身重合的图形。再结合圆的特征推导：将圆沿任意一条过圆心的直线对折，两侧的半圆都能完全重合，符合轴对称图形的特征；把圆绕圆心旋转180°，旋转后的圆能和原圆完全重合，符合中心对称图形的特征。对应填写对称中心和对称轴即可，注意对称轴是直线，不要误写为直径（直径是线段）。
【解析】
首先根据轴对称图形的定义，圆沿过圆心的任意一条直线对折后，直线两旁的部分都能完全重合，因此圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的任意一条直线；
再根据中心对称图形的定义，圆绕圆心旋转180°后能与原图形完全重合，因此圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
依次填入对应内容即可。
【答案】
轴对称 中心对称 圆心 过圆心的任意一条直线
【知识点】
圆的对称性；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点需要注意对称轴的属性是直线，避免错填为“直径”，熟练掌握两类对称图形的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 圆心角的概念:顶点在的角叫作圆心角.

2. 圆心

【分析】
本题是对圆心角基础定义的考查，属于概念识记类题型，解题时直接回忆圆心角的定义要素即可，不需要复杂推导，根据定义中对顶点位置的规定就能直接填出答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边均与圆相交的角叫做圆心角，因此题干空缺处应填写“圆心”。
【答案】
圆心
【知识点】
圆心角的概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要检验学生对基础几何定义的识记掌握情况，牢记相关概念即可快速完成作答。
【难度系数】
0.95

3. 弧、弦、圆心角的关系.
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的相等.
推广:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也.

3. 弧 弦 分别相等

【分析】
本题考查弧、弦、圆心角的关系定理的识记，解题时直接回忆对应定理和推广结论即可作答。首先明确定理的适用前提是“同圆或等圆”，该条件下相等的圆心角对应的弧、弦都相等；其推广结论是两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中只要有一组量相等，其余各组对应量都相等，按照记忆直接填写空缺内容即可。
【解析】
根据弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
其推广结论为：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等。
因此空缺处依次填入弧、弦、分别相等。
【答案】
弧 弦 分别相等
【知识点】
1.弧弦圆心角的关系定理
2.圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重对核心定理内容的记忆考查，难度较低，熟练掌握定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9

1. 将一个圆绕圆心旋转任意一个角度后，是否能够与原来的圆重合？，所以，圆具有旋转不变的特性。

1. 是

【分析】
拿到这道题可以按以下思路思考：第一步，回忆圆的定义，圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形；第二步，回忆旋转的性质，图形绕某点旋转时，图形上每个点到旋转中心的距离始终保持不变；第三步，推导判断：绕圆心旋转任意角度后，原来圆上的每个点到圆心的距离仍然等于半径，说明这些点都还在原圆上，因此旋转后的图形和原圆能完全重合。
【解析】
根据圆的定义可知，圆上所有点到圆心的距离都等于半径。将圆绕圆心旋转任意角度时，圆上任意一点旋转后到圆心的距离仍然等于半径，即旋转后的所有点都落在原圆上；同时原圆上的任意一点都可以由旋转前圆上的某一对应点旋转得到，因此旋转后的图形能够与原来的圆完全重合。
【答案】
是
【知识点】
1. 圆的旋转特性
2. 旋转的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对圆的基本特性的掌握程度，理解圆的定义和旋转的相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. 下列各图中的角是圆心角的是,不是圆心角的是,请说明理由.

2. 顶点在圆心的角 顶点不在圆心的角 理由：圆心角的定义要求角的顶点在圆心，顶点不在圆心的角不符合圆心角的定义。

【分析】
判断角是否为圆心角的核心依据是圆心角的定义，我们首先回忆圆心角的判定要点：角的顶点必须在圆的圆心位置，且两边为圆的半径。接下来只需逐一观察四个图中角的顶点位置，和定义做对比即可得出结论。
【解析】
首先明确圆心角的定义：顶点在圆心，且两条边均为圆的半径的角叫做圆心角。
对四个图形逐一分析：
1. 图①：角的顶点在圆内但不在圆心，不符合圆心角定义，不是圆心角；
2. 图②：角的顶点在圆外，不符合圆心角定义，不是圆心角；
3. 图③：角的顶点在圆周上，不符合圆心角定义，不是圆心角；
4. 图④：角的顶点在圆心，两条边都是圆的半径，符合圆心角定义，是圆心角。
综上，是圆心角的为④，不是圆心角的为①②③，理由为：圆心角的定义要求角的顶点在圆心，顶点不在圆心的角不符合圆心角的定义。
【答案】
④；①②③；理由：圆心角的定义要求角的顶点在圆心，顶点不在圆心的角不符合圆心角的定义。
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，重点考查对圆心角定义的理解与应用，解题时只需抓住“顶点在圆心”这一核心特征即可快速判断，掌握相关概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

3. 用硬纸片做成如下图所示的两个等圆$\odot O$和$\odot O'$,在两个圆中分别作相等的圆心角$∠ AOB$和$∠ A'O'B'$,将两个圆重叠,使O
与$O'$重合.

动手操作:固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得$OA$与$O'A'$重合.
发现现象:(1)$OB$与重合;(2)$\overset{\frown}{AB}$与重合;(3)弦$AB$与重合.
结论:$∠ AOB =$,$AB =$,$\overset{\frown}{AB} =$.
【归纳总结】在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
思考:在上面的操作中,如果$\odot O$和$\odot O'$不是等圆,那么结论成立吗?
推广:在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
简记为
等圆心角$\Longleftrightarrow$等弧$\Longleftrightarrow$等弦$\Longleftrightarrow$等弦心距.

3. (1) $O'B'$ (2) $\overset{\frown}{A'B'}$ (3) 弦$A'B'$ 结论：$∠A'O'B'$ $A'B'$ $\overset{\frown}{A'B'}$

【分析】
这道题围绕等圆中圆心角、弧、弦的关系展开思考：首先明确两个圆是等圆，因此半径完全相等，且题目给出两个圆心角$∠ AOB$和$∠ A'O'B'$相等。当旋转使$OA$与$O'A'$重合时，首先根据角度相等可推导$OB$的对应边，再根据点的重合关系推导对应弧、弦的重合情况，最后根据重合即相等得到对应结论。思考非等圆的情况时，只需抓住“同圆或等圆”是圆心角、弧、弦相等关系的前提条件即可判断。
【解析】
已知$\odot O$和$\odot O'$是等圆，因此两圆半径相等，即$OA=OB=O'A'=O'B'$，且题目给出$∠ AOB=∠ A'O'B'$。
1. 当固定圆心旋转，使$OA$与$O'A'$重合时，因为$∠ AOB=∠ A'O'B'$，所以$OB$必然与$O'B'$重合；
2. 此时点$A$与点$A'$重合，点$B$与点$B'$重合，因此$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{A'B'}$重合；
3. 两点都重合，因此连接两点的弦$AB$与弦$A'B'$重合。
根据重合的两个量相等，可得结论：$∠ AOB=∠ A'O'B'$，$AB=A'B'$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{A'B'}$。
（思考部分补充：如果$\odot O$和$\odot O'$不是等圆，两圆半径不相等，即使圆心角相等，对应的弧长、弦长都不相等，因此上述结论不成立。）
【答案】
(1) $O'B'$；(2) $\overset{\frown}{A'B'}$；(3) 弦$A'B'$
结论：$∠ A'O'B'$，$A'B'$，$\overset{\frown}{A'B'}$
【知识点】
圆心角弧弦关系，等圆的性质，旋转的性质
【点评】
本题通过操作探究的形式考查圆的基本性质，侧重对基础概念的理解，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9