教科书第126页例2.
拓展
一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的.

拓展. $\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先将弦的两个端点与圆心相连，得到以半径为边长的三角形，由三边相等可判定为等边三角形，即可求出弦对应的圆心角度数；②明确一条非直径的弦对应两条弧：劣弧和优弧，需分类讨论两种情况；③同圆中弧长之比等于对应圆心角的比，半圆的圆心角为180°，分别用两条弧的圆心角除以180°即可得到所求比值。
【解析】
设圆的半径为$ r $，则该弦的长度也为$ r $。
1. 求弦对应的圆心角：连接圆心$ O $与弦的两个端点$ A、B $，可得$ OA=OB=AB=r $，因此$ △ OAB $是等边三角形，所以弦$ AB $对应的圆心角$ ∠ AOB=60° $。
2. 分类讨论弦所对的弧：
若取弦$ AB $所对的劣弧，其圆心角为$ 60° $；
若取弦$ AB $所对的优弧，其圆心角为$ 360° - 60° = 300° $。
3. 计算与半圆弧长的比值：半圆对应的圆心角为$ 180° $，同圆内弧长之比等于圆心角之比，因此：
劣弧是半圆弧长的$ \frac{60°}{180°} = \frac{1}{3} $；
优弧是半圆弧长的$ \frac{300°}{180°} = \frac{5}{3} $。
综上，此弦所对的弧是半圆的$ \frac{1}{3} $或$ \frac{5}{3} $。
【答案】
$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$
【知识点】
等边三角形的判定；圆心角与弧长的关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略一条非直径的弦对应两条弧，仅计算劣弧的比值导致漏解，解题时要注意考虑周全，分类讨论所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

1. 判断下列说法是否正确.
（1）等弧所对的圆心角相等. （）
（2）相等的圆心角所对的弧是等弧. （）
（3）长度相等的弧所对的圆心角相等. （）
（4）同圆中,等弧对等角. （）

1. （1）√ （2）× （3）× （4）√

【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：一是等弧的定义，等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，其本身已经隐含了“同圆或等圆”的前提；二是圆心角与弧的对应相等关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，缺少这个前提结论不成立。接下来我们逐个核对每个说法的条件是否充足：
1. 说法（1）中出现“等弧”，自带同圆或等圆的前提，直接推导结论即可；
2. 说法（2）仅提到圆心角相等，未说明是否在同圆或等圆中，需判断缺少前提是否成立；
3. 说法（3）仅提到弧长相等，未说明半径是否相同或是否在同圆等圆中，结合弧长公式推导圆心角的关系；
4. 说法（4）明确给出“同圆”的前提，结合等弧的性质判断即可。
【解析】
首先明确：①等弧的定义：同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②圆心角、弧的相等对应关系必须在同圆或等圆中才成立；③弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），变形可得圆心角$n=\frac{180l}{π r}$，圆心角度数由弧长和半径共同决定。
（1）等弧本身隐含同圆或等圆的条件，能够完全重合的弧所对的圆心角必然相等，故该说法正确。
（2）若两个圆心角相等但所在圆的半径不同，所对的弧长度不同，无法重合，不是等弧，该说法缺少“同圆或等圆”的前提，故错误。
（3）长度相等的弧，若所在圆的半径不同，根据圆心角公式$n=\frac{180l}{π r}$，弧长$l$相等、半径$r$不同时，圆心角$n$不相等，故该说法错误。
（4）同圆中半径相等，等弧意味着弧的长度、弯曲程度完全相同，所对的圆心角必然相等，故该说法正确。
【答案】
（1）√ （2）× （3）× （4）√
【知识点】
1. 等弧的定义
2. 圆心角与弧的关系
3. 弧长公式的应用
【点评】
本题是基础概念辨析题，易错点是容易忽略圆心角、弧对应相等关系成立的“同圆或等圆”前提，解题时要紧扣概念的限定条件，不要遗漏适用范围。
【难度系数】
0.7

2. 弦AB将$\odot O$分成度数之比为$1:5$的两段弧,则$∠ AOB=$°.

2. 60

【分析】
解题需结合圆周度数和圆心角的性质思考：首先，整个圆周的度数为360°，已知两段弧的度数比为1:5，可先按比例分配求出劣弧AB的度数；再根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，就能直接得出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆周的度数为360°，弦AB把⊙O分成度数比为1:5的两段弧
∴ 劣弧AB的度数为 $ 360° × \frac{1}{1+5} = 60° $
又
∵ 圆心角的度数等于它所对弧的度数，∠AOB是劣弧AB所对的圆心角
∴ $ ∠AOB = 60° $
【答案】
60
【知识点】
圆周的度数；圆心角与弧的度数关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是掌握圆心角和其所对弧的度数相等的性质，只需按比例计算对应弧的度数即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.9

1. 在$\odot O$中，$AB,CD$是两条相等的弦，
则下列说法中错误的是()

A.$AB,CD$所对的弧一定相等
B.$AB,CD$所对的圆心角一定相等
C.$△ AOB$和$△ COD$能完全重合
D.点$O$到$AB,CD$的距离一定相等

1. A

【分析】
本题考查同圆中弦、弧、圆心角、弦心距的相关性质，解题时可按以下思路分析：首先回忆同圆中相等弦的相关性质，注意易错点：一条弦对应两条弧，分别是优弧和劣弧，相等的弦仅能保证所对的同类弧（同为劣弧或同为优弧）相等。再结合全等三角形的判定，判断弦和两条半径组成的三角形是否全等，进而逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
已知在$\odot O$中，$AB=CD$，$OA、OB、OC、OD$均为$\odot O$的半径，故$OA=OB=OC=OD$。
对选项A：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），相等的弦若未明确对应弧的类型，无法判定弧一定相等，例如$AB$所对的劣弧和$CD$所对的优弧显然不相等，故A说法错误，符合题意。
对选项B：在$△ AOB$和$△ COD$中，$OA=OC$，$OB=OD$，$AB=CD$，根据SSS可判定$△ AOB ≌ △ COD$，因此对应角$∠ AOB=∠ COD$，即$AB、CD$所对的圆心角一定相等，故B说法正确，不符合题意。
对选项C：由上述证明可知$△ AOB$和$△ COD$全等，因此两个三角形能完全重合，故C说法正确，不符合题意。
对选项D：全等三角形对应边上的高相等，即点$O$到$AB、CD$的距离（弦心距）相等，也可直接由“同圆中相等的弦对应的弦心距相等”得结论，故D说法正确，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弦弧圆心角的关系；全等三角形的判定；弦心距的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，易错点是忽略一条弦对应优弧、劣弧两种类型，解题时要注意概念的完整性，避免遗漏特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7

2. 如图, 在 $\odot O$ 中, $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$, $∠ AOB = 40°$, 则 $∠ COD$ 的度数是()

A.$20°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

2. B

【分析】
解题时先回忆同圆中弧和圆心角的关系：同圆内相等的弧对应的圆心角相等。观察已知条件$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，可将两条弧分别拆分为公共弧$\overset{\frown}{BC}$与另外两段弧的和，减去公共弧后得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，即可推出二者对应的圆心角相等，代入已知角度就能求出$∠ COD$的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC} - \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD} - \overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴ $∠ COD = ∠ AOB$，
又
∵ $∠ AOB = 40°$，
∴ $∠ COD = 40°$。
【答案】
B
【知识点】
等弧对等圆心角
【点评】
本题属于基础题，核心考查同圆中弧与圆心角的对应关系，解题关键是通过拆分等弧消去公共部分，得到对应相等的弧，进而推出圆心角相等，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9