3.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，$∠ AOE = 60°$，则$∠ COE$的度数是（）

A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$120°$

3. C

【分析】
解题时先从已知条件AB是直径入手，直径对应的平角为180°，结合已知∠AOE的度数先求出∠BOE的度数；再根据“同圆内等弧对应的圆心角相等”的性质，由C、D是弧BE的三等分点可知，弧BE对应的圆心角∠BOE被平均分成3份，先求出每份的度数，最后看∠COE包含2份，即可算出∠COE的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
已知$∠ AOE=60°$，
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$，
∵C、D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得：
$∠ EOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$，
∴$∠ COE=∠ EOD+∠ DOC=40°+40°=80°$，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平角的定义
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查同圆中等弧对等圆心角的性质应用，解题的关键是先求出弧BE对应的圆心角度数，再结合三等分的条件计算目标角，难度较低，熟练掌握圆心角和弧的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$\odot O$中,如果$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,那么()

A.$AB=AC$
B.$AB=2AC$
C.$AB＜2AC$
D.$AB＞2AC$

4. C

【分析】
要判断AB与2AC的大小关系，首先根据弧的倍数关系转化为弦的关系：先在$\overset{\frown}{AB}$上取中点D，将$\overset{\frown}{AB}$分成两段和$\overset{\frown}{AC}$相等的弧，利用同圆中等弧对等弦得到AD=DB=AC，再借助三角形三边关系即可比较AB和2AC的大小。
【解析】
解：取$\overset{\frown}{AB}$的中点D，连接AD、DB。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}$，
∵在同圆中，等弧对等弦，
∴$AD=DB=AC$。
在$△ ABD$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AD+DB＞AB$，
代入$AD=DB=AC$，得$AC+AC＞AB$，即$AB＜2AC$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
同圆弧弦对等、三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的典型题型，解题的关键是通过取弧中点作辅助线，将弧的倍数关系转化为弦的等量关系，再结合三角形三边关系求解，很好地考查了知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点，且$BD // OC$. 求证：$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$.

证明：
∵ $BD // OC$，
∴ $∠ AOC = ∠ OBD$，$∠ COD = ∠ ODB$。
∵ $OD = OB$，
∴ $∠ OBD = ∠ ODB$。
∴ $∠ AOC = ∠ COD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$。

【分析】
要证明同圆中两条弧相等，根据圆心角与弧的对应关系，可转化为证明两条弧所对的圆心角相等，即证$∠ AOC=∠ COD$。结合已知$BD// OC$，可通过平行线的性质得到角的等量关系；再利用同圆半径相等可得$△ OBD$为等腰三角形，由等边对等角得到底角相等，通过等量代换即可证明两个圆心角相等，最终推出对应弧相等。
【解析】
证明：
∵ $BD // OC$，
∴ $∠ AOC = ∠ OBD$，$∠ COD = ∠ ODB$。
∵ $OD = OB$，
∴ $∠ OBD = ∠ ODB$。
∴ $∠ AOC = ∠ COD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$。
【答案】
$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD}$，证明过程见解析。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心是掌握弧相等和圆心角相等的转化思想，结合平行线、等腰三角形的性质即可推导得出结论，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

6.如图,BC是$\odot O$的直径,A是$\odot O$上一点,$AD ⊥ BC$,垂足为D,BE交AD于点F,且$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AE}$.求证:$AF = BF$.

证明：
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAD = 90°$。
∵ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ ACB + ∠ CAD = 90°$，
∴ $∠ BAD = ∠ ACB$。
又∵ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$，
∴ $∠ BAD = ∠ ABE$，
∴ $AF = BF$。

【分析】
要证明AF=BF，观察两条线段均在△ABF中，可通过证明∠BAD=∠ABE，利用等角对等边推导结论。首先结合BC是⊙O直径的条件，可得直径所对的圆周角∠BAC=90°，结合AD⊥BC的垂直关系，利用同角的余角相等可推出∠BAD=∠ACB；再根据等弧所对的圆周角相等，由$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AE}$可得∠ACB=∠ABE；最后通过等量代换得到∠BAD=∠ABE，即可证得AF=BF。
【解析】
证明：
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAD = 90°$。
∵ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ ACB + ∠ CAD = 90°$，
∴ $∠ BAD = ∠ ACB$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$，
∴ $∠ BAD = ∠ ABE$，
∴ $AF = BF$。
【答案】
AF=BF
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，同角的余角相等
【点评】
本题是圆中线段相等证明的基础题型，解题核心是利用圆的性质和直角三角形的性质完成角度的等量代换，转化为等腰三角形的判定问题，逻辑链条清晰，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8

1. 圆心角与弧的关系:弧包括度数和长度两部分,圆心角的度数它所对的弧的度数.

1. 等于

【分析】
这道题考查圆心角和弧的度数的对应关系，属于基础概念类题目。我们可以从二者的定义出发推导关系：将周角平均分为360份，每份为1°的圆心角，此时它所对应的弧也被定义为1°的弧，由此可推得任意圆心角的度数和它所对弧的度数相等，据此即可填出答案。
【解析】
根据圆心角与弧的度数的相关定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，由此可得，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因此横线处应填“等于”。
【答案】
等于
【知识点】
圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础概念识记题，是对基础知识点掌握情况的直接考查，只要熟练掌握圆心角和弧的对应关系即可轻松答对。
【难度系数】
0.9