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三、解答题(本大题共8小题,共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(6分)解方程.
(1)$2x^2 -7x +3=0$
(2)$2(x+2)^2 =x+2$
15.(6分)解方程.
(1)$2x^2 -7x +3=0$
(2)$2(x+2)^2 =x+2$
答案
解：
(1) 方法一：因式分解法
对$2x^2 -7x +3=0$分解因式，可得：
$(2x-1)(x-3)=0$
令每个因式的值为0，得：
$2x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
(2) 移项，将方程右侧的项移到左侧，得：
$2(x+2)^2 -(x+2)=0$
提取公因式$(x+2)$，可得：
$(x+2)[2(x+2)-1]=0$
整理括号内的项：
$(x+2)(2x+3)=0$
令每个因式的值为0，得：
$x+2=0$ 或 $2x+3=0$
解得 $x_1=-2$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
(1) 方法一：因式分解法
对$2x^2 -7x +3=0$分解因式，可得：
$(2x-1)(x-3)=0$
令每个因式的值为0，得：
$2x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
(2) 移项，将方程右侧的项移到左侧，得：
$2(x+2)^2 -(x+2)=0$
提取公因式$(x+2)$，可得：
$(x+2)[2(x+2)-1]=0$
整理括号内的项：
$(x+2)(2x+3)=0$
令每个因式的值为0，得：
$x+2=0$ 或 $2x+3=0$
解得 $x_1=-2$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
16. (5分)已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点(0,−7)和(1,0).
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)若将该抛物线向右平移4个单位长度,得到新抛物线,求新抛物线的对称轴.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)若将该抛物线向右平移4个单位长度,得到新抛物线,求新抛物线的对称轴.
答案
16. 解:(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$经过点(0,−7)和(1,0),
∴$\begin{cases}-7=0^2 +b×0 +c \\0=1^2 +b×1 +c\end{cases}$,解得$\begin{cases}b=6 \\c=-7\end{cases}$,
∴$y=x^2+6x-7$. (2)由(1)得,抛物线的函数解析式为$y=x^2+6x-7$,
∴$y=(x+3)^2-16$,其函数向右平移4个单位长度得到的新抛物线的函数解析式为$y=(x+3-4)^2-16=(x-1)^2-16$,
∴新抛物线的对称轴是直线$x=1$.
∵抛物线$y=x^2+bx+c$经过点(0,−7)和(1,0),
∴$\begin{cases}-7=0^2 +b×0 +c \\0=1^2 +b×1 +c\end{cases}$,解得$\begin{cases}b=6 \\c=-7\end{cases}$,
∴$y=x^2+6x-7$. (2)由(1)得,抛物线的函数解析式为$y=x^2+6x-7$,
∴$y=(x+3)^2-16$,其函数向右平移4个单位长度得到的新抛物线的函数解析式为$y=(x+3-4)^2-16=(x-1)^2-16$,
∴新抛物线的对称轴是直线$x=1$.
17.(5分)如图,在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系后,$△ AOB$的顶点均在格点上,点A,B的坐标分别是$A(3,2),B(1,3)$.将$△ AOB$绕点O逆时针旋转$90°$后得到$△ A_1OB_1$.
(1)画出旋转后的$△ A_1OB_1$,点$A_1$的坐标为
(2)在线段AB上有点$P(m,n)$,写出旋转后的对应点$P_1$的坐标是
(3)在旋转过程中,求点B经过的路径的长.(结果保留$π$)
(1)画出旋转后的$△ A_1OB_1$,点$A_1$的坐标为
(-2,3)
.(2)在线段AB上有点$P(m,n)$,写出旋转后的对应点$P_1$的坐标是
(-n,m)
.(3)在旋转过程中,求点B经过的路径的长.(结果保留$π$)
答案
17. 解:(1)如图,$△A_1OB_1$即为所求.
(-2,3) (2) (-n,m) (3)由勾股定理,得$OB=\sqrt{10}$,∴点B经过的路径的长=$\frac{90π×\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}π}{2}$.
18.(6分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k+2)x + k = 0$.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)若$x_1,x_2$是方程的两个实数根,且$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 6$,求$k$的值.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)若$x_1,x_2$是方程的两个实数根,且$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 6$,求$k$的值.
答案
18. (1)证明:$\Delta=(k+2)^2-4k=k^2+4k+4-4k=k^2+4＞0$,
∴方程总有两个不相等的实数根. (2)由一元二次方程根与系数的关系得$x_1+x_2=-(k+2),x_1x_2=k$,
∴$-(k+2)-k=6$,解得$k=-4$.
∴方程总有两个不相等的实数根. (2)由一元二次方程根与系数的关系得$x_1+x_2=-(k+2),x_1x_2=k$,
∴$-(k+2)-k=6$,解得$k=-4$.
19.(6分)如图,小亮在草稿纸上画了反比例函数$y=\frac{m}{x}$在第一象限内的图象,并把矩形直尺放在上面,直尺与反比例函数图象交于点$A(4,2),B$,并且与$y$轴交于点$C(0,3)$.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求直线$BC:y=kx+b$的函数解析式.
(3)当$x＞0$时,观察图象,求不等式$\frac{m}{x}≥ kx+b$的解集.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求直线$BC:y=kx+b$的函数解析式.
(3)当$x＞0$时,观察图象,求不等式$\frac{m}{x}≥ kx+b$的解集.
答案
19. 解:(1)由题意,得$2=\frac{m}{4}$,解得$m=8$,
∴$y=\frac{8}{x}$. (2)设直线OA的函数解析式为$y=ax$,由条件可得$2=4a$,解得$a=\frac{1}{2}$,
∴直线OA的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x$. 由图象可知,直线OA向上平移3个单位长度得到直线BC,
∴直线BC的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$. (3)由题意,得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+3 \\y=\frac{8}{x}\end{cases}$,整理得$x^2+6x-16=0$,解得$x_1=2,x_2=-8$(舍). 把$x=2$代入$y=\frac{8}{x}$,得$y=4$,
∴点B的坐标是(2,4). 由图象得,不等式$\frac{m}{x}≥kx+b$的解集为$0＜x≤2$.
∴$y=\frac{8}{x}$. (2)设直线OA的函数解析式为$y=ax$,由条件可得$2=4a$,解得$a=\frac{1}{2}$,
∴直线OA的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x$. 由图象可知,直线OA向上平移3个单位长度得到直线BC,
∴直线BC的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$. (3)由题意,得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+3 \\y=\frac{8}{x}\end{cases}$,整理得$x^2+6x-16=0$,解得$x_1=2,x_2=-8$(舍). 把$x=2$代入$y=\frac{8}{x}$,得$y=4$,
∴点B的坐标是(2,4). 由图象得,不等式$\frac{m}{x}≥kx+b$的解集为$0＜x≤2$.
20.(7分)如图①,在$\odot O$中,半径$OA⊥ OB$,点C为OB延长线上一点,点D为$\odot O$上一点,连接AD交OB于点E,连接CD,且$CD=CE$.
(1)求证:CD与$\odot O$相切.
(2)如图②,连接BD,若$∠ BDA=∠ C,CD=2$,求OE的长.
(1)求证:CD与$\odot O$相切.
(2)如图②,连接BD,若$∠ BDA=∠ C,CD=2$,求OE的长.
答案
20. (1)证明:
∵半径$OA⊥ OB$,
∴$∠DAO+∠AEO=90°$.
∵$OA=OD$,
∴$∠DAO=∠ADO$.
∵$CD=CE$,
∴$∠CDE=∠CED$.
∵$∠CED=∠AEO$,
∴$∠CDE=∠AEO$,
∴$∠CDO=∠ADO+∠CDE=∠DAO+∠AEO=90°$,
∴$OD⊥CD$. 又
∵OD是$\odot O$的半径,
∴CD与$\odot O$相切. (2)解:
∵$∠BDA$和$∠BOA$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角和圆心角,$∠BOA=90°$,
∴$∠BDA=\frac{1}{2}∠BOA=45°$.
∵$∠BDA=∠C$,
∴$∠C=45°$.
∵$∠CDO=90°$,$CD=2$,
∴$△CDO$是等腰直角三角形,$OD=CD=OB=CE=2$,$OC=\sqrt{2}CD=2\sqrt{2}$,
∴$OE=OC-CE=2\sqrt{2}-2$.
∵半径$OA⊥ OB$,
∴$∠DAO+∠AEO=90°$.
∵$OA=OD$,
∴$∠DAO=∠ADO$.
∵$CD=CE$,
∴$∠CDE=∠CED$.
∵$∠CED=∠AEO$,
∴$∠CDE=∠AEO$,
∴$∠CDO=∠ADO+∠CDE=∠DAO+∠AEO=90°$,
∴$OD⊥CD$. 又
∵OD是$\odot O$的半径,
∴CD与$\odot O$相切. (2)解:
∵$∠BDA$和$∠BOA$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角和圆心角,$∠BOA=90°$,
∴$∠BDA=\frac{1}{2}∠BOA=45°$.
∵$∠BDA=∠C$,
∴$∠C=45°$.
∵$∠CDO=90°$,$CD=2$,
∴$△CDO$是等腰直角三角形,$OD=CD=OB=CE=2$,$OC=\sqrt{2}CD=2\sqrt{2}$,
∴$OE=OC-CE=2\sqrt{2}-2$.
