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21.(8分)感知:如图①,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点B在线段AD上,点C在线段AE上,我们很容易得到BD=CE,不需证明.
探究:如图②,将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°),连接BD,CE,此时BD=CE是否依然成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.
应用:如图③,当△ADE绕点A逆时针旋转,使得点D落在BC的延长线上时,连接CE.
①求∠ACE的度数.
②若AB=AC=2√2,CD=2,则线段DE的长是多少?
探究:如图②,将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°),连接BD,CE,此时BD=CE是否依然成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.
应用:如图③,当△ADE绕点A逆时针旋转,使得点D落在BC的延长线上时,连接CE.
①求∠ACE的度数.
②若AB=AC=2√2,CD=2,则线段DE的长是多少?
答案
21. 解:探究:成立. 证明如下:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴$AB=AC,AD=AE$.
∵将△ADE绕点A逆时针旋转α,
∴$∠BAD=∠CAE$,
∴$△ABD≌△ACE$(SAS),
∴$BD=CE$. 应用:①
∵$AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE$,
∴$△ABD≌△ACE$(SAS),
∴$∠ACE=∠ABD=45°$. ②
∵$AB=AC=2\sqrt{2}$,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=4$.
∴$BD=BC+CD=6$.
∵$△ACE≌△ABD$,
∴$BD=CE=6$.
∵$∠ACE=∠ABD=45°$,
∴$∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°$,
∴$DE=\sqrt{CE^2+CD^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$.
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴$AB=AC,AD=AE$.
∵将△ADE绕点A逆时针旋转α,
∴$∠BAD=∠CAE$,
∴$△ABD≌△ACE$(SAS),
∴$BD=CE$. 应用:①
∵$AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE$,
∴$△ABD≌△ACE$(SAS),
∴$∠ACE=∠ABD=45°$. ②
∵$AB=AC=2\sqrt{2}$,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=4$.
∴$BD=BC+CD=6$.
∵$△ACE≌△ABD$,
∴$BD=CE=6$.
∵$∠ACE=∠ABD=45°$,
∴$∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°$,
∴$DE=\sqrt{CE^2+CD^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$.
22. (9分)综合与实践
【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计.
某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证试验.测试开始时,测试车辆A以初速度$v_0$进入一段足够长的水平直道(忽略车身长度),并立即启动制动系统,做匀减速直线运动(即单位时间内速度等量减小);与此同时,其正前方距离为$d$ m处,目标障碍物车辆B以恒定速度$v_B$($v_B＜v_0$)同向匀速行驶.为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触(即全程保持非负车间距),需建立函数模型,求解满足安全约束的最小初始车距.试验测得车辆A驶入水平测试直道后的运动数据如下表.
【问题探究】
(1)已知速度$v$是时间$t$的一次函数,路程$s$是时间$t$的二次函数,请分别求出一次函数与二次函数的解析式,并求车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程.
(2)测试车辆A驶入水平直道的同时,目标障碍物车辆B从其正前方$d$ m处开始,以$v_B=8$ m/s的速度匀速向前行驶.为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物车辆B,求安全初始距离$d$的最小值.
(3)在(2)的条件下,在实际降雨环境中开展测试,当$d=12$ m时两车却发生了追尾事故,请结合所学知识分析事故原因.
【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计.
某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证试验.测试开始时,测试车辆A以初速度$v_0$进入一段足够长的水平直道(忽略车身长度),并立即启动制动系统,做匀减速直线运动(即单位时间内速度等量减小);与此同时,其正前方距离为$d$ m处,目标障碍物车辆B以恒定速度$v_B$($v_B＜v_0$)同向匀速行驶.为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触(即全程保持非负车间距),需建立函数模型,求解满足安全约束的最小初始车距.试验测得车辆A驶入水平测试直道后的运动数据如下表.
【问题探究】
(1)已知速度$v$是时间$t$的一次函数,路程$s$是时间$t$的二次函数,请分别求出一次函数与二次函数的解析式,并求车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程.
(2)测试车辆A驶入水平直道的同时,目标障碍物车辆B从其正前方$d$ m处开始,以$v_B=8$ m/s的速度匀速向前行驶.为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物车辆B,求安全初始距离$d$的最小值.
(3)在(2)的条件下,在实际降雨环境中开展测试,当$d=12$ m时两车却发生了追尾事故,请结合所学知识分析事故原因.
答案
22. 解:(1)设$v=mt+n(m≠0)$,将$t=0,v=20;t=1,v=12$代入,得$\begin{cases}n=20 \\m+n=12\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=-8 \\n=20\end{cases}$,
∴$v=-8t+20$. 设$s=at^2+bt+c(a≠0)$,将$t=0,s=0$;$t=1,s=16;t=2,s=24$代入,得$\begin{cases}c=0 \\a+b+c=16 \\4a+2b+c=24\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-4 \\b=20 \\c=0\end{cases}$,
∴$s=-4t^2+20t$. 当$v=0$时,$0=-8t+20$,即$t=2.5$,此时$s=-4×2.5^2+20×2.5=25(\mathrm{m})$,
∴车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为25 m. (2)目标障碍物车辆B行驶的路程为$8t$ m,要使得两辆车不会发生碰撞,则需要满足$s≤8t+d$.
∵$s=-4t^2+20t$,
∴$d≥-4t^2+12t$.
∵$-4t^2+12t=-4(t^2-3t)=-4(t-\frac{3}{2})^2+9$,且$-4＜0$,
∴当$t=\frac{3}{2}$时,$-4t^2+12t$有最大值9,
∴安全初始距离$d$的最小值是9 m. (3)可能是由于雨天,使得地面摩擦力减小,测试车A从开始到最终停下的刹车距离大幅增加,导致测试车A与目标障碍物车辆B在安全距离即使大于9 m的情况下依然发生了追尾.(合理即可)
∴$v=-8t+20$. 设$s=at^2+bt+c(a≠0)$,将$t=0,s=0$;$t=1,s=16;t=2,s=24$代入,得$\begin{cases}c=0 \\a+b+c=16 \\4a+2b+c=24\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-4 \\b=20 \\c=0\end{cases}$,
∴$s=-4t^2+20t$. 当$v=0$时,$0=-8t+20$,即$t=2.5$,此时$s=-4×2.5^2+20×2.5=25(\mathrm{m})$,
∴车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为25 m. (2)目标障碍物车辆B行驶的路程为$8t$ m,要使得两辆车不会发生碰撞,则需要满足$s≤8t+d$.
∵$s=-4t^2+20t$,
∴$d≥-4t^2+12t$.
∵$-4t^2+12t=-4(t^2-3t)=-4(t-\frac{3}{2})^2+9$,且$-4＜0$,
∴当$t=\frac{3}{2}$时,$-4t^2+12t$有最大值9,
∴安全初始距离$d$的最小值是9 m. (3)可能是由于雨天,使得地面摩擦力减小,测试车A从开始到最终停下的刹车距离大幅增加,导致测试车A与目标障碍物车辆B在安全距离即使大于9 m的情况下依然发生了追尾.(合理即可)
