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1.把一个多项式化成
几个整式
积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式
.答案
1. 几个整式 分解因式
解析
【分析】
本题考查因式分解的基础定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆教材中关于因式分解的定义内容即可：首先明确因式分解的变形结果是几个整式相乘的形式，其次要知道因式分解也可称为分解因式，直接对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因此第一个空填“几个整式”，第二个空填“分解因式”。
【答案】
几个整式；分解因式
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，核心是对教材基础定义的识记，熟练掌握数学基本概念是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的基础定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆教材中关于因式分解的定义内容即可：首先明确因式分解的变形结果是几个整式相乘的形式，其次要知道因式分解也可称为分解因式，直接对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因此第一个空填“几个整式”，第二个空填“分解因式”。
【答案】
几个整式；分解因式
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，核心是对教材基础定义的识记，熟练掌握数学基本概念是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.9
2.一个多项式中各项都含有的
公共
的因式，叫作这个多项式的公因式。答案
2. 公共
解析
【分析】
这道题考查公因式的基本定义，解题时只需回忆教材中公因式的概念内容，对应空缺部分的描述填写即可。公因式的核心属性是多项式各项都共同拥有的因式，由此可直接确定空缺处的内容。
【解析】
根据公因式的定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式的公因式，因此本题空缺处应填写“公共”。
【答案】
公共
【知识点】
公因式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对基础定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速正确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查公因式的基本定义，解题时只需回忆教材中公因式的概念内容，对应空缺部分的描述填写即可。公因式的核心属性是多项式各项都共同拥有的因式，由此可直接确定空缺处的内容。
【解析】
根据公因式的定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式的公因式，因此本题空缺处应填写“公共”。
【答案】
公共
【知识点】
公因式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对基础定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速正确作答。
【难度系数】
0.9
3.提公因式法:把多项式各项的
公因式
提取出来,写成公因式与另一个因式的乘积
的形式.答案
3. 公因式 乘积
解析
【分析】
这道题考查提公因式法的基本定义，解题时只需回忆提公因式法的概念内容即可。首先明确提公因式法的操作第一步是找多项式各项都共有的因式，提取该因式后，原多项式会转化为两个因式相乘的形式，其中一个是提取的公共因式，另一个是原多项式除以该公共因式得到的因式，据此就能填出对应的空缺内容。
【解析】
根据提公因式法的定义：将多项式各项都含有的公因式提取出来，把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。因此第一个空填“公因式”，第二个空填“乘积”。
【答案】
公因式 乘积
【知识点】
提公因式法的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查对提公因式法核心定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查提公因式法的基本定义，解题时只需回忆提公因式法的概念内容即可。首先明确提公因式法的操作第一步是找多项式各项都共有的因式，提取该因式后，原多项式会转化为两个因式相乘的形式，其中一个是提取的公共因式，另一个是原多项式除以该公共因式得到的因式，据此就能填出对应的空缺内容。
【解析】
根据提公因式法的定义：将多项式各项都含有的公因式提取出来，把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。因此第一个空填“公因式”，第二个空填“乘积”。
【答案】
公因式 乘积
【知识点】
提公因式法的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查对提公因式法核心定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 对于式子①$x^2 + 2xy = x(x + 2y)$；②$(x - 3)(x + 2) = x^2 - x - 6$从左到右的变形，下列说法正确的是（
A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
C
）A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
答案
1. C
解析
【分析】
解题前首先要明确因式分解和整式乘法的核心定义与区别：二者是互逆的变形过程，因式分解是将多项式（和差形式）转化为几个整式乘积的形式，可记为“和差化积”；整式乘法是将几个整式的乘积转化为多项式（和差形式），可记为“积化和差”。接下来分别判断两个式子的变形方向，对应概念即可得出正确选项。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形；
2. 整式乘法：把几个整式相乘，合并为一个多项式的变形。
对式子①分析：左边$x^2 + 2xy$是多项式（和差形式），右边$x(x + 2y)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解的特征，因此①是因式分解。
对式子②分析：左边$(x-3)(x+2)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2 - x - 6$是多项式（和差形式），符合整式乘法的特征，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查因式分解与整式乘法的区别，解题关键是抓住二者变形方向的差异，牢记“和差化积是因式分解，积化和差是整式乘法”的判断技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确因式分解和整式乘法的核心定义与区别：二者是互逆的变形过程，因式分解是将多项式（和差形式）转化为几个整式乘积的形式，可记为“和差化积”；整式乘法是将几个整式的乘积转化为多项式（和差形式），可记为“积化和差”。接下来分别判断两个式子的变形方向，对应概念即可得出正确选项。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形；
2. 整式乘法：把几个整式相乘，合并为一个多项式的变形。
对式子①分析：左边$x^2 + 2xy$是多项式（和差形式），右边$x(x + 2y)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解的特征，因此①是因式分解。
对式子②分析：左边$(x-3)(x+2)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2 - x - 6$是多项式（和差形式），符合整式乘法的特征，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查因式分解与整式乘法的区别，解题关键是抓住二者变形方向的差异，牢记“和差化积是因式分解，积化和差是整式乘法”的判断技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.【教材 P125 练习 T1 变式】下列式子从左到右的变形是因式分解的是（
A.$x(x+1)=x^2+x$
B.$x^2 -1=(x+1)(x-1)$
C.$a(x+y)=ax+ay$
D.$x^2 +1=x(x+\frac{1}{x})$
B
）A.$x(x+1)=x^2+x$
B.$x^2 -1=(x+1)(x-1)$
C.$a(x+y)=ax+ay$
D.$x^2 +1=x(x+\frac{1}{x})$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断式子的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定标准：1. 变形的对象是多项式；2. 变形的最终结果是几个整式的乘积的形式；3. 变形前后等式两边恒等。接下来我们就用这三个标准逐一核对每个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
B选项：左边是多项式$x^2-1$，右边是两个整式$(x+1)$与$(x-1)$的乘积，且等式左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故B正确；
C选项：和A选项同理，左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，故C错误；
D选项：右边的因式$\frac{1}{x}$属于分式，不是整式，不符合因式分解结果必须是整式乘积的要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的概念
3. 整式乘法的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解和应用，解题的关键是牢记因式分解的三个判定要点，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，同时要注意因式分解的结果必须是整式的乘积，不能出现分式等非整式的因式。
【难度系数】
0.85
要判断式子的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定标准：1. 变形的对象是多项式；2. 变形的最终结果是几个整式的乘积的形式；3. 变形前后等式两边恒等。接下来我们就用这三个标准逐一核对每个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
B选项：左边是多项式$x^2-1$，右边是两个整式$(x+1)$与$(x-1)$的乘积，且等式左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故B正确；
C选项：和A选项同理，左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，故C错误；
D选项：右边的因式$\frac{1}{x}$属于分式，不是整式，不符合因式分解结果必须是整式乘积的要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的概念
3. 整式乘法的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解和应用，解题的关键是牢记因式分解的三个判定要点，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，同时要注意因式分解的结果必须是整式的乘积，不能出现分式等非整式的因式。
【难度系数】
0.85
3. 用提公因式法分解因式$4abc+8a^2bc$时，应提取的公因式是（
A.$4ab^2$
B.$4abc$
C.$abc$
D.$4ab$
B
）A.$4ab^2$
B.$4abc$
C.$abc$
D.$4ab$
答案
3. B
解析
【分析】
要确定分解因式时应提取的公因式，可按照三步规则思考：第一步定系数，找出各项系数的最大公约数；第二步定字母，找出所有项中共同含有的字母；第三步定指数，找出相同字母的最低次幂，将三部分相乘即为所求公因式，按该步骤逐步推导即可得到结果。
【解析】
①确定系数的最大公约数：4和8的最大公约数是4；
②确定共同含有的字母：$4abc$和$8a^2bc$两项中都含有字母a、b、c；
③确定相同字母的最低次幂：字母a的最低次是1次，字母b的最低次是1次，字母c的最低次是1次；
将三部分组合可得公因式为$4abc$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步判断规则，即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.8
要确定分解因式时应提取的公因式，可按照三步规则思考：第一步定系数，找出各项系数的最大公约数；第二步定字母，找出所有项中共同含有的字母；第三步定指数，找出相同字母的最低次幂，将三部分相乘即为所求公因式，按该步骤逐步推导即可得到结果。
【解析】
①确定系数的最大公约数：4和8的最大公约数是4；
②确定共同含有的字母：$4abc$和$8a^2bc$两项中都含有字母a、b、c；
③确定相同字母的最低次幂：字母a的最低次是1次，字母b的最低次是1次，字母c的最低次是1次；
将三部分组合可得公因式为$4abc$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步判断规则，即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（
A.$x^2 - y$
B.$x^2 - 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
B
）A.$x^2 - y$
B.$x^2 - 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
答案
4. B
解析
【分析】
首先明确提公因式法因式分解的适用前提：多项式的每一项都含有相同的公因式，才能使用提公因式法分解。解题时只需逐个判断四个选项中的多项式各项是否存在公共因式，存在公因式的即为正确答案。
【解析】
提公因式法是指：若多项式的各项含有公因式，可将公因式提取出来，把多项式写成几个因式乘积的形式。我们逐个分析选项：
选项A：多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，无公共因式，不能用提公因式法分解；
选项B：多项式$x^2 - 2x$的两项为$x^2$和$-2x$，都含有公因式$x$，可分解为$x(x-2)$，符合要求；
选项C：多项式$x^2 + y^2$的两项为$x^2$和$y^2$，无公共因式，不能用提公因式法分解；
选项D：多项式$x^2 - xy + y^2$的三项为$x^2$、$-xy$、$y^2$，无公共因式，不能用提公因式法分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的识别
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础应用，解题核心是准确判断多项式各项是否存在公共因式，掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确提公因式法因式分解的适用前提：多项式的每一项都含有相同的公因式，才能使用提公因式法分解。解题时只需逐个判断四个选项中的多项式各项是否存在公共因式，存在公因式的即为正确答案。
【解析】
提公因式法是指：若多项式的各项含有公因式，可将公因式提取出来，把多项式写成几个因式乘积的形式。我们逐个分析选项：
选项A：多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，无公共因式，不能用提公因式法分解；
选项B：多项式$x^2 - 2x$的两项为$x^2$和$-2x$，都含有公因式$x$，可分解为$x(x-2)$，符合要求；
选项C：多项式$x^2 + y^2$的两项为$x^2$和$y^2$，无公共因式，不能用提公因式法分解；
选项D：多项式$x^2 - xy + y^2$的三项为$x^2$、$-xy$、$y^2$，无公共因式，不能用提公因式法分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的识别
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础应用，解题核心是准确判断多项式各项是否存在公共因式，掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.多项式$am - an + ap^2$提取公因式$a$后，另一个因式为（
A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^2$
D.$m - n + 1$
C
）A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^2$
D.$m - n + 1$
答案
5. C
解析
【分析】
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式的运算规则：提取公因式后，剩余的因式是原多项式每一项分别除以公因式得到的结果的和，运算时要注意不能漏项、不要弄错项的符号。本题中公因式已经给出为$a$，只需将原多项式的三项依次除以$a$，再把所得结果相加，就能得到另一个因式。
【解析】
解：已知多项式为$am - an + ap^2$，公因式为$a$，按照提公因式法的运算规则：
1. 第一项$am$除以公因式$a$，得$am÷ a=m$；
2. 第二项$-an$除以公因式$a$，得$-an÷ a=-n$；
3. 第三项$ap^2$除以公因式$a$，得$ap^2÷ a=p^2$。
因此提取公因式$a$后，原式可变形为$a(m - n + p^2)$，所以另一个因式为$m - n + p^2$。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础题型，重点考查提公因式法的基础操作，解题时要注意提取公因式后，原多项式的每一项都要除以公因式，避免出现漏项、符号错误或者指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.9
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式的运算规则：提取公因式后，剩余的因式是原多项式每一项分别除以公因式得到的结果的和，运算时要注意不能漏项、不要弄错项的符号。本题中公因式已经给出为$a$，只需将原多项式的三项依次除以$a$，再把所得结果相加，就能得到另一个因式。
【解析】
解：已知多项式为$am - an + ap^2$，公因式为$a$，按照提公因式法的运算规则：
1. 第一项$am$除以公因式$a$，得$am÷ a=m$；
2. 第二项$-an$除以公因式$a$，得$-an÷ a=-n$；
3. 第三项$ap^2$除以公因式$a$，得$ap^2÷ a=p^2$。
因此提取公因式$a$后，原式可变形为$a(m - n + p^2)$，所以另一个因式为$m - n + p^2$。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础题型，重点考查提公因式法的基础操作，解题时要注意提取公因式后，原多项式的每一项都要除以公因式，避免出现漏项、符号错误或者指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.9
6. 分解因式：
(1)(2025·南宁模拟)$2x^2 + xy =$
(2)(2025·长春模拟)$3a^2 - 9a =$
(3)$3a(m-n)+2b(m-n)=$
(1)(2025·南宁模拟)$2x^2 + xy =$
$x(2x+y)$
；(2)(2025·长春模拟)$3a^2 - 9a =$
$3a(a-3)$
；(3)$3a(m-n)+2b(m-n)=$
$(m-n)(3a+2b)$
。答案
6. (1) $x(2x+y)$ (2) $3a(a-3)$ (3) $(m-n)(3a+2b)$
解析
【分析】
这三道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：公因式的系数取各项系数的最大公约数，字母或因式取各项都含有的相同字母/多项式，且次数取最低次；第二步将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式，写成两个因式乘积的形式即可。
(1) 多项式$2x^2+xy$各项的公因式是$x$，提取后即可得到结果；
(2) 多项式$3a^2-9a$各项的公因式是$3a$，提取后即可得到结果；
(3) 多项式$3a(m-n)+2b(m-n)$各项都含有公因式$(m-n)$，把$(m-n)$看作整体提取后即可得到结果。
【解析】
(1) 提取公因式$x$：
$2x^2 + xy = x·2x + x· y = x(2x + y)$
(2) 提取公因式$3a$：
$3a^2 - 9a = 3a· a - 3a· 3 = 3a(a - 3)$
(3) 把$(m-n)$看作整体提取公因式：
$3a(m-n) + 2b(m-n) = (m-n)·3a + (m-n)·2b = (m-n)(3a + 2b)$
【答案】
(1) $x(2x+y)$ (2) $3a(a-3)$ (3) $(m-n)(3a+2b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别公因式，注意公因式既可以是单项式，也可以是多项式，熟练掌握提公因式的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
这三道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：公因式的系数取各项系数的最大公约数，字母或因式取各项都含有的相同字母/多项式，且次数取最低次；第二步将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式，写成两个因式乘积的形式即可。
(1) 多项式$2x^2+xy$各项的公因式是$x$，提取后即可得到结果；
(2) 多项式$3a^2-9a$各项的公因式是$3a$，提取后即可得到结果；
(3) 多项式$3a(m-n)+2b(m-n)$各项都含有公因式$(m-n)$，把$(m-n)$看作整体提取后即可得到结果。
【解析】
(1) 提取公因式$x$：
$2x^2 + xy = x·2x + x· y = x(2x + y)$
(2) 提取公因式$3a$：
$3a^2 - 9a = 3a· a - 3a· 3 = 3a(a - 3)$
(3) 把$(m-n)$看作整体提取公因式：
$3a(m-n) + 2b(m-n) = (m-n)·3a + (m-n)·2b = (m-n)(3a + 2b)$
【答案】
(1) $x(2x+y)$ (2) $3a(a-3)$ (3) $(m-n)(3a+2b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别公因式，注意公因式既可以是单项式，也可以是多项式，熟练掌握提公因式的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.(1)(答题模板)分解因式:$3a^{2}-9ab+3a.$
解:原式$=3a·$
$=3a($
(2)【针对练习】用提公因式法分解因式:
①$mx+nx;$
②$3x^{2}-6x^{3};$
③$2x(x+y)-3y(x+y).$
解:原式$=3a·$
$a$
$-3a·$ $3b$
$+3a·$ $1$
$=3a($
$a-3b+1$
$).$(2)【针对练习】用提公因式法分解因式:
①$mx+nx;$
②$3x^{2}-6x^{3};$
③$2x(x+y)-3y(x+y).$
答案
7. (1) $a$ $3b$ $1$ $a-3b+1$ (2) ①解:原式$=x(m+n)$； ②解:原式$=3x^2(1-2x)$； ③解:原式$=(x+y)(2x-3y)$
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先要准确找到多项式各项的公因式：公因式由两部分组成，一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母（或多项式）的最低次幂，两者相乘就是公因式；其次将每一项都写成公因式乘另一个因式的形式，最后把公因式提出来，括号里写剩下的因式相加的结果，要注意提取公因式后剩下的项数和原多项式项数相同，不要漏写系数为1的项。
(1)中多项式各项的公因式是3a，拆分每一项后提取3a即可；(2)的3个小题分别找对应的公因式：①公因式是x，②公因式是$3x^2$，③可把$(x+y)$看作整体作为公因式，分别提取即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为3a，拆分各项：
$3a^2=3a·a$，$-9ab=-3a·3b$，$3a=3a·1$
因此原式$=3a·a -3a·3b +3a·1=3a(a-3b+1)$。
(2) ① 确定公因式为x，提取公因式：
原式$=x·m +x·n=x(m+n)$；
② 确定公因式为$3x^2$，提取公因式：
原式$=3x^2·1 -3x^2·2x=3x^2(1-2x)$；
③ 确定公因式为整体$(x+y)$，提取公因式：
原式$=(x+y)·2x -(x+y)·3y=(x+y)(2x-3y)$。
【答案】
(1) $a$；$3b$；$1$；$a-3b+1$
(2) ①$x(m+n)$；②$3x^2(1-2x)$；③$(x+y)(2x-3y)$
【知识点】
提公因式法，公因式确定，整体提取公因式
【点评】
本题是因式分解的基础入门题，重点考查提公因式法的应用，易错点是提取公因式后漏写常数项“1”，以及不会识别多项式类的公因式，掌握好本题可为后续因式分解的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先要准确找到多项式各项的公因式：公因式由两部分组成，一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母（或多项式）的最低次幂，两者相乘就是公因式；其次将每一项都写成公因式乘另一个因式的形式，最后把公因式提出来，括号里写剩下的因式相加的结果，要注意提取公因式后剩下的项数和原多项式项数相同，不要漏写系数为1的项。
(1)中多项式各项的公因式是3a，拆分每一项后提取3a即可；(2)的3个小题分别找对应的公因式：①公因式是x，②公因式是$3x^2$，③可把$(x+y)$看作整体作为公因式，分别提取即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为3a，拆分各项：
$3a^2=3a·a$，$-9ab=-3a·3b$，$3a=3a·1$
因此原式$=3a·a -3a·3b +3a·1=3a(a-3b+1)$。
(2) ① 确定公因式为x，提取公因式：
原式$=x·m +x·n=x(m+n)$；
② 确定公因式为$3x^2$，提取公因式：
原式$=3x^2·1 -3x^2·2x=3x^2(1-2x)$；
③ 确定公因式为整体$(x+y)$，提取公因式：
原式$=(x+y)·2x -(x+y)·3y=(x+y)(2x-3y)$。
【答案】
(1) $a$；$3b$；$1$；$a-3b+1$
(2) ①$x(m+n)$；②$3x^2(1-2x)$；③$(x+y)(2x-3y)$
【知识点】
提公因式法，公因式确定，整体提取公因式
【点评】
本题是因式分解的基础入门题，重点考查提公因式法的应用，易错点是提取公因式后漏写常数项“1”，以及不会识别多项式类的公因式，掌握好本题可为后续因式分解的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
8. $2m(m-x)$与$mn(x-m)$的公因式是 （
A.$m$
B.$m(m-x)$
C.$n$
D.$n(m-x)$
B
）A.$m$
B.$m(m-x)$
C.$n$
D.$n(m-x)$
答案
8. B
解析
【分析】
要确定两个整式的公因式，可按照公因式的确定思路思考：首先处理互为相反数的因式，本题中$x-m$和$m-x$是互为相反数的关系，可通过提负号将二者转化为相同形式，再分别拆分两个整式的因式，从系数、公共字母、公共多项式因式三个维度对比，找出两项都含有的公共因式即可。
【解析】
第一步：统一相同形式的多项式因式
对第二个整式变形：$mn(x-m)=mn×[-(m-x)]=-mn(m-x)$
第二步：拆分两个整式的因式
第一个整式$2m(m-x)$的因式为：$2$、$m$、$(m-x)$
第二个整式$-mn(m-x)$的因式为：$-1$、$m$、$n$、$(m-x)$
第三步：找公共因式
两个整式共有的因式是$m$和$(m-x)$，因此公因式为$m(m-x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定、相反数因式转化
【点评】
本题考查公因式的找法，易错点是容易忽略$x-m$与$m-x$可通过提负号转化为相同因式，掌握公因式的确定步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要确定两个整式的公因式，可按照公因式的确定思路思考：首先处理互为相反数的因式，本题中$x-m$和$m-x$是互为相反数的关系，可通过提负号将二者转化为相同形式，再分别拆分两个整式的因式，从系数、公共字母、公共多项式因式三个维度对比，找出两项都含有的公共因式即可。
【解析】
第一步：统一相同形式的多项式因式
对第二个整式变形：$mn(x-m)=mn×[-(m-x)]=-mn(m-x)$
第二步：拆分两个整式的因式
第一个整式$2m(m-x)$的因式为：$2$、$m$、$(m-x)$
第二个整式$-mn(m-x)$的因式为：$-1$、$m$、$n$、$(m-x)$
第三步：找公共因式
两个整式共有的因式是$m$和$(m-x)$，因此公因式为$m(m-x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定、相反数因式转化
【点评】
本题考查公因式的找法，易错点是容易忽略$x-m$与$m-x$可通过提负号转化为相同因式，掌握公因式的确定步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.7
9. 用提公因式法分解因式：
(1)$x(y-1)+4(1-y)$；
(2)$(a-2)^2 -6(2-a)$。
(1)$x(y-1)+4(1-y)$；
(2)$(a-2)^2 -6(2-a)$。
答案
(1)解:原式$=(y-1)(x-4)$ (2)解:原式$=(a-2)^2+6(a-2)=(a-2)(a-2+6)=(a-2)(a+4)$
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题核心是将互为相反数的因式通过符号调整转化为相同的公因式，再提取公因式完成分解。
第(1)题：观察到式子中$(y-1)$和$(1-y)$互为相反数，可将$4(1-y)$改写为$-4(y-1)$，此时两项的公因式为$(y-1)$，提取公因式后即可得到结果。
第(2)题：式子中$(a-2)$和$(2-a)$互为相反数，可将$-6(2-a)$改写为$+6(a-2)$，变形后两项的公因式为$(a-2)$，提取公因式后合并剩余同类项即可完成分解。
【解析】
(1) 先调整符号统一公因式，再提取公因式：
原式$=x(y-1)-4(y-1)=(y-1)(x-4)$
(2) 先调整符号统一公因式，提取公因式后合并剩余项：
原式$=(a-2)^2+6(a-2)=(a-2)(a-2+6)=(a-2)(a+4)$
【答案】
(1) $(y-1)(x-4)$；(2) $(a-2)(a+4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点为处理互为相反数的因式时符号变换出错，提取公因式后要注意检查剩余项的运算是否正确，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.85
本题考查用提公因式法分解因式，解题核心是将互为相反数的因式通过符号调整转化为相同的公因式，再提取公因式完成分解。
第(1)题：观察到式子中$(y-1)$和$(1-y)$互为相反数，可将$4(1-y)$改写为$-4(y-1)$，此时两项的公因式为$(y-1)$，提取公因式后即可得到结果。
第(2)题：式子中$(a-2)$和$(2-a)$互为相反数，可将$-6(2-a)$改写为$+6(a-2)$，变形后两项的公因式为$(a-2)$，提取公因式后合并剩余同类项即可完成分解。
【解析】
(1) 先调整符号统一公因式，再提取公因式：
原式$=x(y-1)-4(y-1)=(y-1)(x-4)$
(2) 先调整符号统一公因式，提取公因式后合并剩余项：
原式$=(a-2)^2+6(a-2)=(a-2)(a-2+6)=(a-2)(a+4)$
【答案】
(1) $(y-1)(x-4)$；(2) $(a-2)(a+4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点为处理互为相反数的因式时符号变换出错，提取公因式后要注意检查剩余项的运算是否正确，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.85
