10.【教材P126练习T2变式】先分解因式，再求值：
$2a(x-2)+3(2-x)$，其中$a=1,x=4$。
02综合练 关键能力提升

解:原式$=(x-2)(2a-3)$,当$a=1,x=4$时,原式$=(4-2)×(2×1-3)=-2$

【分析】
本题要求先分解因式再求值，解题时首先观察多项式的结构：两项中分别含有因式$(x-2)$和$(2-x)$，二者互为相反数，可将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，此时两项有公因式$(x-2)$，提取公因式即可完成因式分解，再将$a$、$x$的取值代入分解后的式子计算，比直接展开原式计算更简便，不易出错。
【解析】
解：首先对原式变形，将$(2-x)$转化为$-(x-2)$，可得：
原式$=2a(x-2)-3(x-2)$
提取公因式$(x-2)$，得：
原式$=(x-2)(2a-3)$
将$a=1$，$x=4$代入上式：
原式$=(4-2)×(2×1-3)$
$=2×(2-3)$
$=2×(-1)$
$=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
提公因式法分解因式、代数式求值
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心是通过观察找到多项式中隐藏的公因式，利用因式分解简化求值过程，避免直接展开运算带来的计算量，是因式分解的典型基础应用。
【难度系数】
0.8

11.【整体思想】若$m-n=-1$，则$(m-n)^2 - 2m + 2n$的值是（）

A.3
B.2
C.1
D.$-1$

11. A

【分析】
本题可利用整体代入思想求解，观察已知条件给出了$m-n=-1$，无需分别求出$m$、$n$的值，先对待求式进行变形，将后两项提取公因式$-2$，即可把待求式转化为仅含$m-n$的式子，再将$m-n=-1$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对待求式变形：
$\begin{aligned}(m-n)^2 - 2m + 2n&=(m-n)^2 - 2(m - n)\\\end{aligned}$
将$m-n=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^2 -2×(-1)\\&=1 + 2\\&=3\end{aligned}$
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；整体代入法；提取公因式
【点评】
本题是整体思想在代数求值中的典型应用，解题关键是将待求式整理为含有已知代数式的形式，省去求解单个未知数的步骤，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8

12.若$3a - 4b = -2$，则代数式$9a^2 - 12ab + 8b$的值为.

12. 4

【分析】
已知条件仅给出一个二元一次等式$3a-4b=-2$，无法单独求出$a$、$b$的具体值，因此需采用整体代入法求解。首先观察所求代数式$9a^2 - 12ab + 8b$的结构，前两项存在公因式$3a$，提取公因式后可出现$3a-4b$这个整体，代入已知值化简后，会再次出现$3a-4b$的结构，再次整体代入即可算出结果。
【解析】
先对代数式前两项提取公因式：
$9a^2 - 12ab + 8b = 3a(3a - 4b) + 8b$
将$3a - 4b = -2$代入上式：
$= 3a×(-2) + 8b$
$= -6a + 8b$
对化简后的式子提取公因式$-2$：
$= -2(3a - 4b)$
再次将$3a - 4b = -2$代入：
$= -2×(-2) = 4$
【答案】
4
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题解题的核心是观察代数式的结构特征，通过因式分解构造出已知条件中的整体形式，两次代入已知数值即可得到结果，解题时要熟练掌握提公因式的技巧，灵活运用整体代入思想简化计算。
【难度系数】
0.7

13.长为a，宽为b的长方形的周长为10，面积为5，则$a^2b + ab^2$的值为

13. 25

【分析】
解题时首先从已知条件出发，根据长方形的周长和面积公式，先求出a+b和ab的值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现可以通过提取公因式法进行因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可得：
长方形周长2(a+b)=10，解得a+b=5；长方形面积ab=5；对所求代数式因式分解：$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$将a+b=5，ab=5代入上式得：原式=5×5=25
【答案】
25
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握提公因式法分解因式的方法，结合已知条件求出整体值代入计算，无需分别求出a、b的具体数值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

14. 将下列各式分解因式：
(1)$(a^2 - ab) + c(a - b)$；
(2)$3a(a - 2b) + 6b(2b - a)$。

(1)解:原式$=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)$； (2)解:原式$=3a(a-2b)-6b(a-2b)=3(a-2b)^2$

【分析】
(1) 分解因式优先找公因式，先观察式子第一项$a^2 - ab$，可提取公因式$a$得到$a(a-b)$，此时发现两项有相同的因式$(a-b)$，再提取公因式$(a-b)$即可完成分解。
(2) 先观察发现$(2b-a)$和$(a-2b)$互为相反数，可将$6b(2b-a)$变形为$-6b(a-2b)$，此时两项有公因式$3(a-2b)$，提取公因式后整理即可，注意分解要彻底。
【解析】
(1) 对第一项提取公因式$a$：
原式$=a(a-b)+c(a-b)$
再提取公因式$(a-b)$：
$=(a-b)(a+c)$
(2) 先将$(2b-a)$变形为$-(a-2b)$统一相同因式：
原式$=3a(a-2b)-6b(a-2b)$
提取公因式$3(a-2b)$：
$=3(a-2b)(a-2b)$
$=3(a-2b)^2$
【答案】
(1)$(a-b)(a+c)$；(2)$3(a-2b)^2$
【知识点】
提公因式法；因式分解；符号变形
【点评】
这两道题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时需先观察式子结构，遇到互为相反数的因式可通过调整符号统一后再提取公因式，注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

15.【教材 P125 练习 T3 变式】利用因式分解计算：
(1)$2023+2023^2-2023×2024$；
(2)$3^{20}-3^{18}×6$。

(1)解:原式$=2023×(1+2 023-2 024)=2 023×0=0$； (2)解:原式$=3^{18}×(3^2-6)=3^{18}×3=3^{19}$

【分析】
(1)观察式子可以发现三个项都含有公因数2023，因此优先考虑提取公因式2023，无需计算高次幂的大数，提取后合并括号内的数值即可快速得出结果，大幅简化计算过程。
(2)观察式子可知两项都含有公因式$3^{18}$，先将$3^{20}$变形为$3^{18} × 3^2$，再提取公因式$3^{18}$，计算括号内的数值后再化简幂的结果即可，避免直接计算高次幂的繁琐。
【解析】
(1)解：提取公因式2023得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2023×(1+2023-2024)\\&=2023×0\\&=0\end{aligned}$
(2)解：先将$3^{20}$变形为$3^{18}×3^2$，再提取公因式$3^{18}$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^{18}×3^2 - 3^{18}×6\\&=3^{18}×(9-6)\\&=3^{18}×3\\&=3^{19}\end{aligned}$
【答案】
(1)$0$；(2)$3^{19}$
【知识点】
提公因式法，同底数幂运算，因式分解应用
【点评】
本题属于利用因式分解简便运算的基础题型，解题核心是准确识别各项的公因式，提取公因式后可有效降低计算复杂度，避免直接计算高次幂、大数幂的易错问题，熟练掌握提公因式的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

16.【教材P127习题T8变式】△ABC的三边长分别为$a,b,c$，且$a + 2ab = c + 2bc$，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？请说明理由。
03 素养练 学科素养培育

16. 解:△ABC是等腰三角形.理由:$\because a+2ab=c+2bc,\therefore (a-c)+2b(a-c)=0.\therefore (a-c)(1+2b)=0$,故$a=c$或$1+2b=0$.显然$b≠-\frac{1}{2}$,故$a=c$,$\therefore$此三角形为等腰三角形.

【分析】
要判断△ABC的形状，需根据已知的边长等式推导三边的数量关系。第一步，先对已知等式做恒等变形，通过移项、提取公因式将等式转化为两个因式乘积为0的形式；第二步，结合三角形边长恒为正数的隐含条件，排除不可能成立的因式为0的情况，即可得到两条边相等的关系，进而判断三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵ $a + 2ab = c + 2bc$，
∴ 移项整理得：$(a - c) + 2b(a - c) = 0$，
提取公因式$(a - c)$可得：$(a - c)(1 + 2b) = 0$，
∴ 有两种情况：$a - c = 0$ 或 $1 + 2b = 0$，
∵ $b$是三角形的边长，因此$b ＞ 0$，显然$1 + 2b ≠ 0$，
∴ 仅能$a - c = 0$，即$a = c$，
∴ △ABC有两条边相等，为等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查结合代数式变形判断三角形形状，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，同时要注意结合三角形边长为正数的隐含条件排除错误解，避免漏考虑约束条件导致判断失误。
【难度系数】
0.75

17.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
分解因式：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$.
解：原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)]$
$=(1+x)[(1+x)(1+x)]$
$=(1+x)^3$.
(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次；
(2)分解因式：$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2 +x(1+x)^3$；
(3)猜想：$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+··· +x(1+x)^n$分解因式的结果是________.

(1)提公因式法 2 (2)原式$=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)=(1+x)^4$； (3)$(1+x)^{n+1}$

【分析】
第(1)问：观察给出的因式分解过程，每一步都在提取公因式$(1+x)$，可确定所用方法；数提取公因式的次数即可得到第二空答案。
第(2)问：仿照例题的解题思路，每次提取公因式$(1+x)$，逐步化简，也可直接套用例题的结论简化计算。
第(3)问：通过前面的计算找规律：最后一项是$x(1+x)^2$时结果为$(1+x)^3$，最后一项是$x(1+x)^3$时结果为$(1+x)^4$，可推出最后一项为$x(1+x)^n$时的结果。
【解析】
(1) 解题过程全程通过提取公因式$(1+x)$完成因式分解，因此方法为提公因式法；第一次提取公因式得到$(1+x)[1+x+x(1+x)]$，第二次对中括号内的式子再次提取公因式得到$(1+x)^3$，共应用了2次。
(2) 分解过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]\\&=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]\\&=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)\\&=(1+x)^4\end{aligned}$
(3) 结合前两问的结果归纳可得：式子每多一项$x(1+x)^k$，结果的指数就加1，当最后一项为$x(1+x)^n$时，分解结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1) 提公因式法；2
(2) $(1+x)^4$
(3) $(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法；因式分解；规律探究
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先读懂例题的解法再迁移应用，同时考查归纳推理能力，找准提公因式的规律即可快速解题，是因式分解的典型应用题型。
【难度系数】
0.7