知识储备
用平方差公式分解因式：$a^2 - b^2 =$ ，即两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积。

$(a+b)(a-b)$；和；差

【分析】
解题时先回忆平方差公式的相关知识，平方差公式分解因式是整式乘法中平方差公式的逆变形，首先明确公式的代数表达形式，再对应文字表述的描述，依次匹配内容填空即可。
【解析】
整式乘法中的平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，因式分解是整式乘法的逆运算，将该公式逆用即可得到平方差公式分解因式的形式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
对应文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
$(a+b)(a-b)$；和；差
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题属于基础识记类题型，考查平方差公式分解因式的基本概念，熟练掌握公式的结构特征和文字表述，是解决因式分解相关问题的基础。
【难度系数】
0.9

1.【教材P129练习T1变式】下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A.$-x^2+9$
B.$-x^2-9$
C.$x^2+9$
D.$x^2+2y^2$

1. A

【分析】
解这道题首先要明确平方差公式用于因式分解的适用条件：一是多项式为二项式；二是两项都可以表示为某个整式的平方；三是两项符号一正一负。解题时逐一验证四个选项是否满足上述三个条件，即可快速选出正确答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐一分析选项：
A选项：$-x^2 +9 = 3^2 - x^2$，符合平方差公式的结构特征，可分解为$(3+x)(3-x)$，满足要求；
B选项：$-x^2 -9 = -(x^2 +9)$，两项符号均为负，不符合一正一负的要求，不能用平方差公式分解；
C选项：$x^2 +9$，两项符号均为正，不符合一正一负的要求，不能用平方差公式分解；
D选项：$x^2 +2y^2$，两项符号均为正，且$2y^2$无法表示为整式的平方，不符合要求，不能用平方差公式分解。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式分解因式的适用条件，属于基础题，只要牢记平方差公式的结构特征，逐一排查选项即可准确作答。
【难度系数】
0.85

2. 下列单项式中，使多项式$16a^2 + M$能用平方差公式因式分解的$M$是（）

A.$a$
B.$b^2$
C.$-16a$
D.$-b^2$

2. D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确平方差公式因式分解的适用条件：能使用平方差公式因式分解的多项式必须是两个整式的平方作差的形式，即满足$A^2-B^2$的结构。已知题干中多项式的一项为$16a^2=(4a)^2$，是正的平方项，因此$M$需要为负的平方项才能让整个多项式符合平方差的结构，我们逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
平方差公式因式分解的结构为：$A^2 - B^2=(A+B)(A-B)$，要求多项式满足“有两项、两项异号、每一项都能写成某个整式的平方”的特征。
我们逐一分析选项：
选项A：当$M=a$时，多项式为$16a^2+a$，$a$不是平方项，不符合平方差结构，排除；
选项B：当$M=b^2$时，多项式为$16a^2+b^2$，两项均为正，是平方和不是平方差，不符合要求，排除；
选项C：当$M=-16a$时，多项式为$16a^2-16a$，$-16a$不是平方项，不符合平方差结构，排除；
选项D：当$M=-b^2$时，多项式为$16a^2 - b^2=(4a)^2 - b^2$，完全符合平方差公式的结构，可分解为$(4a+b)(4a-b)$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，解题关键是牢记平方差公式因式分解需满足的“两项、异号、均为平方项”的要求，属于基础概念的应用类题目，掌握公式结构即可快速判断。
【难度系数】
0.8

3.(1)(答题模板)分解因式:$25a^2 - 36b^2$.
解:原式$=(5a)^2 - (6b)^2$
$=(5a + \_\_\_\_\_\_)(5a - \_\_\_\_\_\_)$.
(2)【针对练习】分解因式:
①$4a^2b^2 - 9$;
②$81a^2 - 49b^2$;
③$a^2 - b^4$;
④$(m - 1)^2 - 25$;
⑤$(a + b)^2 - (a + c)^2$.
02 综合练 关键能力提升

(1) 6b 6b (2) ①解:原式=(2ab+3)(2ab−3)；②解:原式=(9a+7b)(9a−7b)；③解:原式=(a+b²)(a−b²)；④解:原式=(m−1+5)(m−1−5)=(m+4)(m−6)；⑤解:原式=(a+b+a+c)(a+b−a−c)=(2a+b+c)(b−c)

【分析】
这组题目均考查利用平方差公式进行因式分解，平方差公式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，解题思路如下：第一步，先判断多项式是否满足两项、符号相反、且两项都可写成某个整式的平方的形式；第二步，确定公式中对应的“$a$”和“$b$”；第三步，直接套用平方差公式展开；第四步，检查展开后的括号内是否有同类项，若有则合并同类项得到最简结果。第(1)题可直接将$25a^2$对应$(5a)^2$，$36b^2$对应$(6b)^2$，代入公式即可填空；第(2)的5道小题均按照上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式，两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，因此$(5a)^2 - (6b)^2 = (5a + 6b)(5a - 6b)$，两个空依次填6b、6b。
(2) ① 先将原式变形为平方差形式：$4a^2b^2=(2ab)^2$，$9=3^2$，代入公式得：
原式$=(2ab)^2 - 3^2=(2ab+3)(2ab-3)$
② $81a^2=(9a)^2$，$49b^2=(7b)^2$，代入公式得：
原式$=(9a)^2 - (7b)^2=(9a+7b)(9a-7b)$
③ $b^4=(b^2)^2$，代入公式得：
原式$=a^2 - (b^2)^2=(a+b^2)(a-b^2)$
④ 把$(m-1)$整体看作公式中的$a$，$25=5^2$，代入公式后合并同类项：
原式$=(m-1)^2 - 5^2=(m-1+5)(m-1-5)=(m+4)(m-6)$
⑤ 把$(a+b)$和$(a+c)$分别看作公式中的$a$和$b$，代入公式后合并同类项：
原式$=[(a+b)+(a+c)][(a+b)-(a+c)]=(2a+b+c)(b-c)$
【答案】
(1) 6b 6b
(2) ①$(2ab+3)(2ab−3)$；②$(9a+7b)(9a−7b)$；③$(a+b²)(a−b²)$；④$(m+4)(m−6)$；⑤$(2a+b+c)(b−c)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，解题时要注意整体思想的运用（如将多项式整体看作平方差公式中的项），分解完成后需检查结果是否为最简形式。
【难度系数】
0.85

4.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式$x^2 - □ y^2$中“$□$”的部分，若该二项式能分解因式，则“$□$”不可能是（）

A.$x$
B.$4$
C.$-4$
D.$9$

4. C

【分析】
本题考查二项式的因式分解判断，解题思路如下：首先明确八年级阶段因式分解的常用方法：提公因式法、平方差公式法；再将每个选项的内容代入“”处，逐一判断得到的二项式是否能分解因式，最终找出无法分解的选项即可。需注意不要漏考虑提公因式的分解情况。
【解析】
我们将各选项逐一代入验证：
若“”为A选项的$x$：原式为$x^2-xy^2$，提取公因式$x$可得$x(x-y^2)$，可以分解因式，不符合题意；
若“”为B选项的$4$：原式为$x^2-4y^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，可分解为$(x+2y)(x-2y)$，可以分解因式，不符合题意；
若“”为C选项的$-4$：原式为$x^2-(-4)y^2=x^2+4y^2$，两项符号相同，无公因式，也不符合平方差公式结构，无法分解因式，符合题意；
若“”为D选项的$9$：原式为$x^2-9y^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(x+3y)(x-3y)$，可以分解因式，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础应用型题目，核心是熟练掌握提公因式法和平方差公式的结构特征，通过代入验证即可快速得出结果，解题时要注意兼顾两种因式分解方法，不要仅局限于公式法判断。
【难度系数】
0.7

5.【数形结合思想】如图，从边长为$ a $的大正方形中剪掉一个边长为$ b $的小正方形，将阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）


A.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
B.$a(a - b) = a^2 - ab$
C.$(a - b)^2 = a^2 - b^2$
D.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

5. D

【分析】
本题利用数形结合和等面积法解题，核心是抓住阴影部分拼接前后面积不变的特点：①先计算左侧阴影部分的面积，即边长为a的大正方形与边长为b的小正方形的面积差；②再计算右侧拼接后长方形的面积，先确定长方形的长和宽，再根据长方形面积公式计算；③最后根据两个面积相等列出等式，对应选项判断即可。
【解析】
首先计算左图阴影部分的面积：
大正方形面积为$a^2$，剪掉的小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = a^2 - b^2$
再计算右图拼接后长方形的面积：
观察可得，拼接后的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，因此长方形面积为：
$S_{\mathrm{长方形}} = (a+b)(a-b)$
由于拼接前后阴影部分面积不变，因此可得等式：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，等面积法，图形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型考查，通过图形的拼接直观展现了平方差公式的几何意义，降低了代数公式的理解难度，解题的关键是准确找到拼接前后图形的面积关系。
【难度系数】
0.85

6.【新中考·结论开放】一个多项式，把它因式分解后有一个因式$(x+1)$，请写出一个符合条件的多项式：。

6. $x^2-1$(答案不唯一)

【分析】
我们可以利用因式分解和整式乘法是互逆变形的特点来解题：要让多项式因式分解后含有因式$(x+1)$，只需要用$(x+1)$乘任意一个整式，得到的乘积就是符合要求的多项式，我们可以选择最简单的整式参与运算，比如用$(x-1)$和$(x+1)$相乘，借助平方差公式就能快速得到结果。
【解析】
由于因式分解与整式乘法是互逆运算，若多项式因式分解后包含因式$(x+1)$，则可通过整式乘法构造符合条件的多项式。
例如选取另一个因式为$(x-1)$，计算得：
$(x+1)(x-1)=x^2-1$
将$x^2-1$因式分解可得$(x+1)(x-1)$，确实含有因式$(x+1)$，满足题目要求。
也可构造其他多项式，如$x^2+x$、$x^3+1$等，均符合条件。
【答案】
$x^2-1$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的互逆性；平方差公式
【点评】
本题属于结论开放类题目，解题核心是掌握因式分解和整式乘法的互逆关系，只要构造出的多项式因式分解后含有因式$(x+1)$均为正确答案，能够很好地考查发散思维能力。
【难度系数】
0.8

7.如图,学校劳动实践基地有两块边长分别为a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用的面积(阴影部分)为M.
(1)用含a,M的式子表示A中能使用的面积:.
(2)若$a+b=10,a-b=5$,求A比B多出的使用面积.

7. (1) $a^2-M$ (2) 解:
∵B中能使用的面积为$b^2-M$,
∴A比B多出的使用面积为$a^2-M-(b^2-M)=a^2-b^2$.
∵$a+b=10,a-b=5$,
∴$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=10×5=50$.答:A比B多出的使用面积为50.

【分析】
(1) 计算正方形A的可使用面积，首先根据正方形面积公式得到A的总面积，再减去不可使用的阴影面积M即可。
(2) 先分别表示出A、B两块秧田的可使用面积，再作差求差值，化简后发现阴影面积M会抵消，得到差值为$a^2-b^2$，再利用平方差公式因式分解，代入已知的$a+b$和$a-b$的值即可算出结果，无需单独求解a、b的数值。
【解析】
(1) 边长为a的正方形A的总面积为$a^2$，不可使用面积为M，因此A中能使用的面积为总面积减去不可使用面积，即$a^2-M$。
(2) 首先求正方形B的可使用面积：边长为b的正方形B总面积为$b^2$，因此B的可使用面积为$b^2-M$。
A比B多出的使用面积为：
$\begin{aligned}a^2-M-(b^2-M)&=a^2-M-b^2+M\\&=a^2-b^2\end{aligned}$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$a+b=10$，$a-b=5$代入得：
$a^2-b^2=10×5=50$
【答案】
(1) $a^2-M$
(2) 50
【知识点】
正方形面积计算，整式加减，平方差公式
【点评】
本题结合实际场景考查基础几何计算和整式运算，解题的核心是发现两个正方形共有的不可使用面积M在作差时会抵消，结合平方差公式可快速求解，降低了计算量。
【难度系数】
0.8