1 [2025 凉山改编]下列说法正确的是（）

A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦

1. D

2 [2025 宜宾]如图,$AB$是$\odot O$的弦,半径$OC⊥ AB$于点$D$.若$AB=8$,$OC=5$,则$OD$的长是 （）



A.3
B.2
C.6
D.2.5

2. A

3 如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为4,圆心到弦$AB$的距离为2,则$∠ AOC$的度数为.

3. $45°$

4 [2025 南京]一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸如图所示，这枚古钱币的半径为m.

4. 0.013

5 如图, AC 是$\odot O$的直径, 弦$BD ⊥ AO$于点 E, 连接 BC, 过点 O 作$OF ⊥ BC$于点 F. 若$BD = 8\ \mathrm{cm}$,$AE = 2\ \mathrm{cm}$, 求$\odot O$的半径及 OF 的长.

5. 连接 $OB$。$\because AC$ 是$\odot O$ 的直径, 弦 $BD ⊥ AO$ 于点 $E$, $BD=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$。设$\odot O$ 的半径为 $x\ \mathrm{cm}$, 则 $OB=OA=x\ \mathrm{cm}$,
$OE=(x-2)\ \mathrm{cm}$。在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中, 由勾股定理, 得 $OE^2+BE^2=OB^2$,
即 $(x-2)^2+4^2=x^2$, 解得 $x=5$。$\therefore\odot O$ 的半径为 $5\ \mathrm{cm}$, $\therefore EC=2×$
$5-2=8(\mathrm{cm})$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $BC=\sqrt{BE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=$
$4\sqrt{5}\,(\mathrm{cm})$。$\because OF⊥ BC$, $OF$ 过圆心, $\therefore CF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 在
$\mathrm{Rt}△ OFC$ 中, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\,(\mathrm{cm})$

6 如图,$\odot O$ 是锐角三角形 $ABC$ 的外接圆,$OD ⊥ AB$,$OE ⊥ BC$,$OF ⊥ AC$,垂足分别为 $D,E,F$,连接 $DE,EF,FD$. 若 $DE+DF=6.5$,$△ ABC$ 的周长为 21,则 $EF$ 的长为（）

A.8
B.4
C.3.5
D.3

6. B

7 分类讨论思想 已知$\odot O$的直径$CD = 10\ \mathrm{cm}$,$AB$是$\odot O$的弦,$AB = 8\ \mathrm{cm}$,且$AB ⊥ CD$,垂足为$M$,则$AC$的长为（）

A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

7. C