8 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D ⊥ A B$, 垂足为 E, 连接 A C. 若 $∠ C A B=22.5°, C D=8 \mathrm{~cm}$, 则 $\odot O$的半径为cm.

8. $4\sqrt{2}$

9 [2025 重庆改编]如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,连接$AC$.以$AC$为边作菱形$ACDE$,$CD$交$\odot O$于点$F$,$AB ⊥ CD$,垂足为$G$.连接$AD$.若$AG=12$,$GF=5$,则$AD$的长为.

9. $4\sqrt{13}$

10 已知$\odot O$的直径为20,弦AB的长为12,P是弦AB上一动点,则满足线段OP的长为整数的点P有处不同的位置.

10. 5

11 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,以点$C$为圆心、$AC$长为半径的$\odot C$与$AB$相交于点$D$.若$AC=6$,$BC=8$,则$AD$的长为.

11. $\dfrac{36}{5}$ 【解析】如图, 连接 $CD$, 过点 $C$ 作 $CH⊥ AB$ 于点 $H$, 则
$AH=\dfrac{1}{2}AD$。在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, 由勾股定理, 得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=$
$\sqrt{6^2+8^2}=10$。由 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CH$, 即 $\dfrac{1}{2}×6×8=$
$\dfrac{1}{2}×10CH$, 得 $CH=\dfrac{24}{5}$。在 $\mathrm{Rt}△ AHC$ 中, 由勾股定理, 得 $AH=$
$\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$。$\therefore AD=2AH=\dfrac{36}{5}$。

12 新情境 生活实际 如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥拱所在圆的圆心为点O,桥下水面的宽度AB为7.2 m,过点O作$OC⊥ AB$于点D,交圆弧于点C,$CD=2.4\ \mathrm{m}$.现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面AB 2 m的货船要经过这座拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?

12. 如图, 连接 $ON$, $OB$。$\because OC⊥ AB$, $\therefore D$ 为 $AB$ 的中点。$\because AB=$
$7.2\ \mathrm{m}$, $\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$。设 $OB=OC=ON=r\ \mathrm{m}$, 则 $OD=$
$(r-2.4)\ \mathrm{m}$。在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中, 根据勾股定理, 得 $OB^2=OD^2+BD^2$,
即 $r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$, 解得 $r=3.9$。$\because CD=2.4\ \mathrm{m}$, 船舱顶部高
出水面 $AB\ 2\ \mathrm{m}$, $\therefore CE=2.4-2=0.4(\mathrm{m})$, $\therefore OE=3.9-0.4=$
$3.5(\mathrm{m})$。易知 $OC⊥ MN$, $\therefore MN=2EN$。在 $\mathrm{Rt}△ OEN$ 中, $EN=$
$\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}\,(\mathrm{m})$。$\therefore MN=2EN=2×$
$\sqrt{2.96}\approx3.44(\mathrm{m})$。$\because3.44＞3$, $\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥

13 [2025 西宁] 如图, A B, A C 是 $\odot O$ 的弦, $A B=A C$, 半径 O E, O F 分别与弦 A B, A C 垂直, 垂足分别为 G, H, $A M // O F$ 交 O E 于点 M, $A N // O E$ 交 O F 于点 N, 连接 O A.
(1) 求证: $∠ A O E=∠ A O F$;
(2) 求证: 四边形 A M O N 是菱形;
(3) 若 $A B=16, O A=10$, 则 O M 的长为.

13. (1) $\because AB=AC$, $\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。$\because$ 半径 $OE$, $OF$ 分别与弦 $AB$,
$AC$ 垂直, $\therefore\overset{\frown}{AE}=\dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{AF}=\dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$, $\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$, $\therefore∠ AOE=$
$∠ AOF$ (2) $\because AM// OF$, $AN// OE$, $\therefore$ 四边形 $AMON$ 为平行四边
形, $∠ MAO=∠ AOF$。$\because∠ AOE=∠ AOF$, $\therefore∠ MAO=∠ AOE$,
$\therefore AM=OM$, $\therefore□ AMON$ 为菱形
(3) $\dfrac{25}{3}$ 【解析】$\because$ 半径 $OE⊥ AB$, $AB=16$, $\therefore AG=\dfrac{1}{2}AB=8$。
$\because OA=10$, $\therefore\mathrm{Rt}△ AOG$ 中, $OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=6$。设 $OM=$
$AM=x$, 则 $MG=OM-OG=x-6$。在 $\mathrm{Rt}△ AGM$ 中, 由勾股定理, 得
$AG^2+MG^2=AM^2$, 即 $8^2+(x-6)^2=x^2$, 解得 $x=\dfrac{25}{3}$, $\therefore OM=\dfrac{25}{3}$。