登录
1. 下列各式中,是分式的是(
A.$\frac{1}{2}x^2 +5x -3$
B.$\frac{x^2 -5}{π^2 -5}$
C.$\frac{2a + b}{\frac{1}{5} -4}$
D.$\frac{1}{a -1}$
D
)A.$\frac{1}{2}x^2 +5x -3$
B.$\frac{x^2 -5}{π^2 -5}$
C.$\frac{2a + b}{\frac{1}{5} -4}$
D.$\frac{1}{a -1}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断式子是否为分式，首先明确分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子，A、B均为整式，且B中含有字母、B不为0时，就是分式。判断的核心是查看分母中是否含有字母，注意π属于固定常数，不是字母。我们只需逐个排查各选项的分母是否含字母，就能选出正确答案。
【解析】
根据分式的判定规则逐一分析选项：
1. 选项A：$\frac{1}{2}x^2 +5x -3$是多项式，属于整式，没有含字母的分母，不是分式，排除；
2. 选项B：分母为$π^2 -5$，π是固定常数，因此分母为常数，该式属于整式，不是分式，排除；
3. 选项C：分母为$\frac{1}{5}-4=-\frac{19}{5}$，是常数，该式属于整式，不是分式，排除；
4. 选项D：分母为$a-1$，含有字母a，符合分式的定义，是分式。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握分式的判定标准，尤其要注意π是常数，不要误将其认作字母导致选错。
【难度系数】
0.9
要判断式子是否为分式，首先明确分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子，A、B均为整式，且B中含有字母、B不为0时，就是分式。判断的核心是查看分母中是否含有字母，注意π属于固定常数，不是字母。我们只需逐个排查各选项的分母是否含字母，就能选出正确答案。
【解析】
根据分式的判定规则逐一分析选项：
1. 选项A：$\frac{1}{2}x^2 +5x -3$是多项式，属于整式，没有含字母的分母，不是分式，排除；
2. 选项B：分母为$π^2 -5$，π是固定常数，因此分母为常数，该式属于整式，不是分式，排除；
3. 选项C：分母为$\frac{1}{5}-4=-\frac{19}{5}$，是常数，该式属于整式，不是分式，排除；
4. 选项D：分母为$a-1$，含有字母a，符合分式的定义，是分式。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握分式的判定标准，尤其要注意π是常数，不要误将其认作字母导致选错。
【难度系数】
0.9
2. 分式$\frac{2ab}{a^2 - b^2}$有意义的条件是（
A.$a≠±b$
B.$b≠0$
C.$ab≠0$
D.$a≠0$且$b≠0$
A
）A.$a≠±b$
B.$b≠0$
C.$ab≠0$
D.$a≠0$且$b≠0$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式有意义的核心规则：分式的分母不能为0。解题步骤思路如下：第一步先找到给定分式的分母，第二步令分母不等于0，第三步对分母的表达式因式分解后求解不等关系，就能得到对应的取值条件。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不为0。
本题中分式$\frac{2ab}{a^2 - b^2}$的分母为$a^2 - b^2$，因此可得：
$a^2 - b^2 ≠ 0$
利用平方差公式因式分解得：
$(a+b)(a-b) ≠ 0$
若两个数的乘积不为0，则两个数都不能为0，因此：
$a+b ≠ 0$ 且 $a-b ≠ 0$
整理得$a ≠ -b$且$a ≠ b$，即$a ≠ \pm b$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，解题时只需抓住“分母不为0”这一核心要点，结合因式分解即可快速得出结果，注意不要误将“分子不为0”当作判定条件。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆分式有意义的核心规则：分式的分母不能为0。解题步骤思路如下：第一步先找到给定分式的分母，第二步令分母不等于0，第三步对分母的表达式因式分解后求解不等关系，就能得到对应的取值条件。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不为0。
本题中分式$\frac{2ab}{a^2 - b^2}$的分母为$a^2 - b^2$，因此可得：
$a^2 - b^2 ≠ 0$
利用平方差公式因式分解得：
$(a+b)(a-b) ≠ 0$
若两个数的乘积不为0，则两个数都不能为0，因此：
$a+b ≠ 0$ 且 $a-b ≠ 0$
整理得$a ≠ -b$且$a ≠ b$，即$a ≠ \pm b$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，解题时只需抓住“分母不为0”这一核心要点，结合因式分解即可快速得出结果，注意不要误将“分子不为0”当作判定条件。
【难度系数】
0.85
3. 当$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，代数式$\frac{x^2 - 3x}{x - 2} ÷ (x + \frac{3}{2 - x})$的值是（
A.$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3} + 1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$
A
）A.$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3} + 1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$
答案
3.A
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路为先化简代数式再代入数值计算，避免直接代入的复杂运算。第一步先处理括号内的分式加法，通过通分化为同分母分式计算，第二步将除法运算转化为乘法运算，第三步对分子分母因式分解后约分得到最简代数式，最后代入x的值，通过分母有理化算出结果即可。
【解析】
首先化简代数式：
1. 处理括号内的式子：
$x + \frac{3}{2 - x} = x - \frac{3}{x - 2} = \frac{x(x - 2) - 3}{x - 2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$= \frac{x^2 - 3x}{x - 2} ÷ \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2} = \frac{x^2 - 3x}{x - 2} × \frac{x - 2}{x^2 - 2x - 3}$
3. 因式分解后约分：
对分子分母因式分解：$x^2 - 3x = x(x - 3)$，$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$
代入后约去公因式$x-2$和$x-3$（$x ≠ 2$且$x ≠ 3$，符合取值要求），得：
原式$= \frac{x}{x + 1}$
4. 代入$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$计算：
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 3}$（分子分母同乘3）
分母有理化，分子分母同乘$3 - \sqrt{3}$：
$\frac{\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3} - 3}{9 - 3} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{6} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；二次根式化简
【点评】
本题是典型的代数式求值题，核心解题技巧是先化简再代值，能有效降低计算量，解题过程中需要注意分式通分、因式分解的准确性，以及分母有理化的规范操作，避免因符号或运算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路为先化简代数式再代入数值计算，避免直接代入的复杂运算。第一步先处理括号内的分式加法，通过通分化为同分母分式计算，第二步将除法运算转化为乘法运算，第三步对分子分母因式分解后约分得到最简代数式，最后代入x的值，通过分母有理化算出结果即可。
【解析】
首先化简代数式：
1. 处理括号内的式子：
$x + \frac{3}{2 - x} = x - \frac{3}{x - 2} = \frac{x(x - 2) - 3}{x - 2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$= \frac{x^2 - 3x}{x - 2} ÷ \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2} = \frac{x^2 - 3x}{x - 2} × \frac{x - 2}{x^2 - 2x - 3}$
3. 因式分解后约分：
对分子分母因式分解：$x^2 - 3x = x(x - 3)$，$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$
代入后约去公因式$x-2$和$x-3$（$x ≠ 2$且$x ≠ 3$，符合取值要求），得：
原式$= \frac{x}{x + 1}$
4. 代入$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$计算：
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 3}$（分子分母同乘3）
分母有理化，分子分母同乘$3 - \sqrt{3}$：
$\frac{\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3} - 3}{9 - 3} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{6} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；二次根式化简
【点评】
本题是典型的代数式求值题，核心解题技巧是先化简再代值，能有效降低计算量，解题过程中需要注意分式通分、因式分解的准确性，以及分母有理化的规范操作，避免因符号或运算失误丢分。
【难度系数】
0.7
4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（
A.$x^2 + 4y^2$
B.$x^2 - 2y + 1$
C.$-x^2 + 4y^2$
D.$-x^2 - 4y^2$
C
）A.$x^2 + 4y^2$
B.$x^2 - 2y + 1$
C.$-x^2 + 4y^2$
D.$-x^2 - 4y^2$
答案
4.C
解析
【分析】
解题首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：待分解的多项式是二项式，两项都能表示为平方的形式，且两项符号相反。解题时对照这三个条件逐一排查选项即可选出正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，能用其分解因式的多项式需满足3个特征：①是二项式；②两项均可写成平方的形式；③两项符号相反。
选项A：$x^2 + 4y^2$是二项式，两项均为平方形式，但两项符号均为正，不符合特征③，排除；
选项B：$x^2 - 2y + 1$是三项式，不符合特征①，排除；
选项C：$-x^2 + 4y^2$可变形为$(2y)^2 - x^2$，满足二项式、两项均为平方形式、符号相反的所有特征，可以用平方差公式分解为$(2y+x)(2y-x)$，符合要求；
选项D：$-x^2 - 4y^2$变形后为$-(x^2 + 4y^2)$，括号内两项符号均为正，不符合特征③，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，解题关键是牢记平方差公式分解因式对多项式的结构要求，属于基础概念考查题，熟练掌握公式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：待分解的多项式是二项式，两项都能表示为平方的形式，且两项符号相反。解题时对照这三个条件逐一排查选项即可选出正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，能用其分解因式的多项式需满足3个特征：①是二项式；②两项均可写成平方的形式；③两项符号相反。
选项A：$x^2 + 4y^2$是二项式，两项均为平方形式，但两项符号均为正，不符合特征③，排除；
选项B：$x^2 - 2y + 1$是三项式，不符合特征①，排除；
选项C：$-x^2 + 4y^2$可变形为$(2y)^2 - x^2$，满足二项式、两项均为平方形式、符号相反的所有特征，可以用平方差公式分解为$(2y+x)(2y-x)$，符合要求；
选项D：$-x^2 - 4y^2$变形后为$-(x^2 + 4y^2)$，括号内两项符号均为正，不符合特征③，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，解题关键是牢记平方差公式分解因式对多项式的结构要求，属于基础概念考查题，熟练掌握公式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.8
二、填空题
5.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是-4，$\frac{2x+2}{3x-5}$，且点A，B到原点的距离相等，则x=
5.如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是-4，$\frac{2x+2}{3x-5}$，且点A，B到原点的距离相等，则x=
$\frac{11}{5}$
。答案
5.$\frac{11}{5}$
解析
【分析】
首先根据数轴可知点A表示的数是-4，它到原点的距离为4；题目明确点A、B到原点的距离相等，且点B在原点右侧，因此点B表示的数是正数4。据此可以列出关于x的分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算，最后检验分母不为0即可得到x的值。
【解析】
解：
∵点A对应的数是-4，到原点的距离为$\vert -4\vert=4$，
又
∵点A、B到原点的距离相等，且点B在原点右侧，
∴点B对应的数为4，即：
$\frac{2x+2}{3x-5}=4$
去分母，两边同乘$3x-5$（$3x-5≠0$）得：
$2x+2=4(3x-5)$
展开右侧：
$2x+2=12x-20$
移项得：
$2x-12x=-20-2$
合并同类项：
$-10x=-22$
系数化为1：
$x=\frac{11}{5}$
检验：当$x=\frac{11}{5}$时，$3x-5=3×\frac{11}{5}-5=\frac{33}{5}-\frac{25}{5}=\frac{8}{5}≠0$，
∴$x=\frac{11}{5}$是原方程的解。
【答案】
$\frac{11}{5}$
【知识点】
数轴的应用、解分式方程、绝对值的意义
【点评】
本题将数轴和分式方程结合考查，解题的核心是根据两点到原点的距离相等建立方程，需要注意解分式方程后必须验根，排除增根的情况。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴可知点A表示的数是-4，它到原点的距离为4；题目明确点A、B到原点的距离相等，且点B在原点右侧，因此点B表示的数是正数4。据此可以列出关于x的分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算，最后检验分母不为0即可得到x的值。
【解析】
解：
∵点A对应的数是-4，到原点的距离为$\vert -4\vert=4$，
又
∵点A、B到原点的距离相等，且点B在原点右侧，
∴点B对应的数为4，即：
$\frac{2x+2}{3x-5}=4$
去分母，两边同乘$3x-5$（$3x-5≠0$）得：
$2x+2=4(3x-5)$
展开右侧：
$2x+2=12x-20$
移项得：
$2x-12x=-20-2$
合并同类项：
$-10x=-22$
系数化为1：
$x=\frac{11}{5}$
检验：当$x=\frac{11}{5}$时，$3x-5=3×\frac{11}{5}-5=\frac{33}{5}-\frac{25}{5}=\frac{8}{5}≠0$，
∴$x=\frac{11}{5}$是原方程的解。
【答案】
$\frac{11}{5}$
【知识点】
数轴的应用、解分式方程、绝对值的意义
【点评】
本题将数轴和分式方程结合考查，解题的核心是根据两点到原点的距离相等建立方程，需要注意解分式方程后必须验根，排除增根的情况。
【难度系数】
0.7
6.若$\frac{|x|-3}{x^2 - 2x - 3}$的值为0，则x的值是
-3
。答案
6.-3
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值等于0，二是分母的值不等于0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到正确结果。
【解析】
解：分式值为0需同时满足分子为0，且分母不为0，步骤如下：
1. 求解分子为0时的x值：
令$|x|-3=0$，可得$|x|=3$，解得$x=3$或$x=-3$；
2. 验证分母不为0的条件：
先解方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$，即当$x=3$或$x=-1$时分母为0，分式无意义，需排除这两个值；
结合上述结果，排除$x=3$，最终得$x=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 绝对值方程求解
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础易错题，解题核心是牢记分式值为0的两个限制条件，切勿忽略分母不为0的要求，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值等于0，二是分母的值不等于0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到正确结果。
【解析】
解：分式值为0需同时满足分子为0，且分母不为0，步骤如下：
1. 求解分子为0时的x值：
令$|x|-3=0$，可得$|x|=3$，解得$x=3$或$x=-3$；
2. 验证分母不为0的条件：
先解方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$，即当$x=3$或$x=-1$时分母为0，分式无意义，需排除这两个值；
结合上述结果，排除$x=3$，最终得$x=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 绝对值方程求解
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础易错题，解题核心是牢记分式值为0的两个限制条件，切勿忽略分母不为0的要求，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
三、计算题
7. 已知$a+b=2$，$ab=2$，求$\frac{1}{2}a^3b + a^2b^2 + \frac{1}{2}ab^3$的值。
7. 已知$a+b=2$，$ab=2$，求$\frac{1}{2}a^3b + a^2b^2 + \frac{1}{2}ab^3$的值。
答案
7. 解:$\frac{1}{2}a^3b+a^2b^2+\frac{1}{2}ab^3=\frac{1}{2}ab(a^2+2ab+b^2)=\frac{1}{2}ab(a+b)^2$。 当$a+b=2,ab=2$时,原式$=\frac{1}{2}×2×2^2=4$。
解析
【分析】
观察所求代数式的结构，各项均含有公因式$\frac{1}{2}ab$，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，刚好符合完全平方公式的形式，可进一步因式分解为$(a+b)^2$。此时分解后的式子仅含有$ab$和$a+b$两个整体，题目已给出这两个整体的取值，直接整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，能大幅简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\frac{1}{2}a^3b + a^2b^2 + \frac{1}{2}ab^3$
$=\frac{1}{2}ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=\frac{1}{2}ab(a+b)^2$
将$a+b=2$，$ab=2$代入上式：
原式$=\frac{1}{2} × 2 × 2^2 = 4$
【答案】
$4$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，核心考查因式分解的应用，通过先因式分解再整体代入的方法，可避免求解单个未知数的繁琐运算，是整式运算中的常用技巧，需熟练掌握提公因式法和公式法因式分解。
【难度系数】
0.8
观察所求代数式的结构，各项均含有公因式$\frac{1}{2}ab$，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，刚好符合完全平方公式的形式，可进一步因式分解为$(a+b)^2$。此时分解后的式子仅含有$ab$和$a+b$两个整体，题目已给出这两个整体的取值，直接整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，能大幅简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\frac{1}{2}a^3b + a^2b^2 + \frac{1}{2}ab^3$
$=\frac{1}{2}ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=\frac{1}{2}ab(a+b)^2$
将$a+b=2$，$ab=2$代入上式：
原式$=\frac{1}{2} × 2 × 2^2 = 4$
【答案】
$4$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，核心考查因式分解的应用，通过先因式分解再整体代入的方法，可避免求解单个未知数的繁琐运算，是整式运算中的常用技巧，需熟练掌握提公因式法和公式法因式分解。
【难度系数】
0.8
