8.如图，在$△ ABC$中，$D,E$分别是$AC,AB$边上的点，$BD$与$CE$交于点$O$，给出下列四个条件：
①$∠ EBO=∠ DCO$；②$∠ BEO=∠ CDO$；③$BE=CD$；④$OB=OC$。
(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定$△ ABC$是等腰三角形(用序号写出所有情况)；
(2)选(1)小题中的一种情形，说明$△ ABC$是等腰三角形。

8. 解:(1)有①③,①④,②③,②④四种情况可判定△ABC是等腰三角形;
(2)下面以①③两个条件证明△ABC是等腰三角形。
$\because ∠EBO=∠DCO,BE=CD,∠EOB=∠DOC,\therefore △EOB≌△DOC(AAS)。\therefore OB=OC,$
$\therefore ∠OBC=∠OCB。\because ∠EBO=∠DCO,\therefore ∠EBC=∠DCB。\therefore △ABC$是等腰三角形。

【分析】
要解决这道题，首先明确核心目标：判定△ABC是等腰三角形，本质是证明∠ABC=∠ACB（或AB=AC）。已知条件包含角相等、边相等，且△EOB和△DOC存在天然的对顶角相等的隐含条件，我们可以通过两种路径推导：
1. 若选的两个条件能证明△EOB≌△DOC，可得OB=OC，进而推出∠OBC=∠OCB，结合已知的角相等条件，即可推出∠ABC=∠ACB；
2. 若已有OB=OC（即条件④），可直接得∠OBC=∠OCB，再结合一组角相等的条件，即可推出∠ABC=∠ACB。
按照这个思路逐个组合验证四个条件，就能找出所有符合要求的组合；第二问选任意一组组合，按照“证全等/得等边→推底角相等→合并角得∠ABC=∠ACB→判定等腰”的步骤证明即可。
【解析】
(1) 逐一验证条件组合：
①③组合：∠EBO=∠DCO，BE=CD，结合对顶角∠EOB=∠DOC，可证△EOB≌△DOC，得OB=OC，推出∠OBC=∠OCB，进而得∠ABC=∠ACB，符合要求；
①④组合：OB=OC可得∠OBC=∠OCB，结合∠EBO=∠DCO，可直接推出∠ABC=∠ACB，符合要求；
②③组合：∠BEO=∠CDO，BE=CD，结合对顶角∠EOB=∠DOC，可证△EOB≌△DOC，得∠EBO=∠DCO、OB=OC，推出∠OBC=∠OCB，进而得∠ABC=∠ACB，符合要求；
②④组合：OB=OC可得∠OBC=∠OCB，结合∠BEO=∠CDO、对顶角∠EOB=∠DOC，可证△EOB≌△DOC，得∠EBO=∠DCO，进而得∠ABC=∠ACB，符合要求。
(2) 选①③的情形证明：
∵ ∠EBO=∠DCO，BE=CD，∠EOB=∠DOC（对顶角相等），
∴ △EOB≌△DOC（AAS），
∴ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB（等边对等角），
又
∵ ∠EBO=∠DCO，
∴ ∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
(1) ①③,①④,②③,②④；
(2) 以①③为例，证明见解析，可判定△ABC是等腰三角形（选其余组合证明结论成立即可）。
【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形和等腰三角形的判定相结合，解题时需要先明确最终推导目标，结合隐含的对顶角相等的条件分析可行的条件组合，考查学生的逻辑推理能力和条件整合能力，第一问要注意逐一验证，避免漏解。
【难度系数】
0.6

五、作图题
9.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示。
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A₁B₁C₁。
(2)将△A₁B₁C₁向右平移3个单位长度，作出平移后的△A₂B₂C₂。

解：
由图可得△ABC各顶点坐标为：$A(-2,3)$，$B(-1,1)$，$C(0,2)$。
(1) 根据中心对称的性质，点$(x,y)$关于点$C(0,2)$的对称点坐标为$(-x,4-y)$，计算得：
$A_1(2,1)$，$B_1(1,3)$，$C_1$与点$C$重合，即$C_1(0,2)$。
依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到关于点$C$成中心对称的$△ A_1B_1C_1$。
(2) 将$△ A_1B_1C_1$各顶点向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，计算得：
$A_2(5,1)$，$B_2(4,3)$，$C_2(3,2)$。
依次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即可得到平移后的$△ A_2B_2C_2$。
按上述坐标在网格中描点连线，完成作图。

【分析】
解决这类坐标系内的图形变换作图题，可按以下思路思考：首先先结合网格确定原△ABC三个顶点的坐标，这是后续计算的基础；第一问作中心对称图形，根据中心对称的性质，对称中心C是每组对应点连线的中点，利用中点的坐标关系就能求出A、B关于点C的对称点A₁、B₁，C的对称点是它本身，得到三个对称点的坐标后描点连线即可得到△A₁B₁C₁；第二问作平移后的图形，向右平移3个单位的坐标变化规律是横坐标加3、纵坐标不变，将△A₁B₁C₁的三个顶点按该规律计算出平移后的坐标，再描点连线就能得到△A₂B₂C₂。
【解析】
首先根据网格坐标规则，确定△ABC各顶点的坐标为：$A(-2,3)$，$B(-1,1)$，$C(0,2)$。
(1) 依据中心对称的性质，若两点关于点$C(0,2)$对称，则点C是这两点连线的中点。设点$(x,y)$关于C的对称点为$(x',y')$，可得$\frac{x+x'}{2}=0$，$\frac{y+y'}{2}=2$，推导得$x'=-x$，$y'=4-y$。代入各顶点坐标计算：
$A_1$坐标为$(2,1)$，$B_1$坐标为$(1,3)$，$C_1$与C重合，坐标为$(0,2)$。
在网格中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，按顺序顺次连接，即可得到与△ABC关于点C成中心对称的$△ A_1B_1C_1$。
(2) 将图形向右平移3个单位长度时，图形上所有点的横坐标增加3，纵坐标保持不变。对$△ A_1B_1C_1$的各顶点进行坐标变换：
$A_2$坐标为$(2+3,1)=(5,1)$，$B_2$坐标为$(1+3,3)=(4,3)$，$C_2$坐标为$(0+3,2)=(3,2)$。
在网格中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三个点，按顺序顺次连接，即可得到平移后的$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
按坐标描点连线得到两个三角形，对应顶点坐标分别为：$A_1(2,1)$、$B_1(1,3)$、$C_1(0,2)$；$A_2(5,1)$、$B_2(4,3)$、$C_2(3,2)$，作图略。
【知识点】
中心对称的性质；平移的坐标规律；坐标系作图
【点评】
本题属于图形变换类基础题，主要考查中心对称和平移两类变换的作图方法，解题核心是准确掌握变换前后对应点的坐标变化规则，只要正确计算对应点坐标、规范描点连线即可顺利完成。
【难度系数】
0.8