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1. 因式分解：$a^2 - b^2 - 2b -1 =$
$(a+b+1)(a-b-1)$
。答案
1. $(a+b+1)(a-b-1)$
解析
【分析】
首先观察式子结构，发现后三项都含有字母b，可将后三项作为一组进行变形。先对后三项提取负号，得到b²+2b+1，该式刚好符合完全平方公式的特征，可转化为(b+1)²，此时原式就变成a²与(b+1)²的差，符合平方差公式的形式，最后套用平方差公式即可完成因式分解，解题时要注意添括号时的符号变化。
【解析】
解：$a^2 - b^2 - 2b -1$
$=a^2-(b^2+2b+1)$
$=a^2-(b+1)^2$
$=[a+(b+1)][a-(b+1)]$
$=(a+b+1)(a-b-1)$
【答案】
$(a+b+1)(a-b-1)$
【知识点】
分组分解法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的典型题型，解题核心是根据式子的特征合理分组，分组后可将复杂式子转化为熟悉的公式形式，解题过程中要注意运算符号的正确性，分解后要确认结果是否为最简形式。
【难度系数】
0.7
首先观察式子结构，发现后三项都含有字母b，可将后三项作为一组进行变形。先对后三项提取负号，得到b²+2b+1，该式刚好符合完全平方公式的特征，可转化为(b+1)²，此时原式就变成a²与(b+1)²的差，符合平方差公式的形式，最后套用平方差公式即可完成因式分解，解题时要注意添括号时的符号变化。
【解析】
解：$a^2 - b^2 - 2b -1$
$=a^2-(b^2+2b+1)$
$=a^2-(b+1)^2$
$=[a+(b+1)][a-(b+1)]$
$=(a+b+1)(a-b-1)$
【答案】
$(a+b+1)(a-b-1)$
【知识点】
分组分解法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的典型题型，解题核心是根据式子的特征合理分组，分组后可将复杂式子转化为熟悉的公式形式，解题过程中要注意运算符号的正确性，分解后要确认结果是否为最简形式。
【难度系数】
0.7
2.要使分式$\frac{a+2}{2a-3}$有意义，则a
$≠\frac{3}{2}$
；要使该分式值为0，则a= $-2$
。答案
2. $≠\frac{3}{2}$；$-2$
解析
【分析】
要解决这道题，需分别对应两个知识点思考：①要让分式有意义，核心要求是分母不能为0，据此列不等式求解就能得到a的取值范围；②要让分式值为0，必须同时满足两个条件：分子等于0、分母不等于0，两个条件缺一不可，先根据分子为0求出a的可能值，再代入分母验证排除不符合要求的取值即可。
【解析】
1. 求分式有意义时a的取值：
分式有意义的前提是分母不为0，因此列不等式：
$2a - 3 ≠ 0$
移项得$2a ≠ 3$
解得$a ≠ \frac{3}{2}$。
2. 求分式值为0时a的取值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
首先令分子为0：$a + 2 = 0$，解得$a = -2$；
再验证分母：将$a=-2$代入分母，得$2×(-2)-3=-7≠0$，符合分母不为0的要求，因此$a=-2$成立。
【答案】
$≠\frac{3}{2}$；$-2$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，主要考查分式相关核心限制条件的应用，解题时要注意分式值为0的情况不能遗漏分母不为0的要求，避免因考虑不周全出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分别对应两个知识点思考：①要让分式有意义，核心要求是分母不能为0，据此列不等式求解就能得到a的取值范围；②要让分式值为0，必须同时满足两个条件：分子等于0、分母不等于0，两个条件缺一不可，先根据分子为0求出a的可能值，再代入分母验证排除不符合要求的取值即可。
【解析】
1. 求分式有意义时a的取值：
分式有意义的前提是分母不为0，因此列不等式：
$2a - 3 ≠ 0$
移项得$2a ≠ 3$
解得$a ≠ \frac{3}{2}$。
2. 求分式值为0时a的取值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
首先令分子为0：$a + 2 = 0$，解得$a = -2$；
再验证分母：将$a=-2$代入分母，得$2×(-2)-3=-7≠0$，符合分母不为0的要求，因此$a=-2$成立。
【答案】
$≠\frac{3}{2}$；$-2$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，主要考查分式相关核心限制条件的应用，解题时要注意分式值为0的情况不能遗漏分母不为0的要求，避免因考虑不周全出错。
【难度系数】
0.8
3.已知$a+\frac{1}{a}=3$，则$a^2+\frac{1}{a^2}=$
$7$
。答案
3. 7
解析
【分析】
我们已知a与1/a的和，要求二者的平方和，首先观察两个式子的结构特征，可联想到完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$。将已知等式两边同时平方，展开后就能出现所求的$a^2+\frac{1}{a^2}$项，再利用a与1/a互为倒数、乘积为1的特点，代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$a+\frac{1}{a}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=9$
由于$a·\frac{1}{a}=1$，化简得：
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=9$
移项计算得：
$a^2+\frac{1}{a^2}=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，分式运算
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，解题核心是准确识别已知条件和所求式子的结构关联，灵活运用完全平方公式的变形进行转化计算，注意互为倒数的两个数乘积为1的隐含条件的运用。
【难度系数】
0.8
我们已知a与1/a的和，要求二者的平方和，首先观察两个式子的结构特征，可联想到完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$。将已知等式两边同时平方，展开后就能出现所求的$a^2+\frac{1}{a^2}$项，再利用a与1/a互为倒数、乘积为1的特点，代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$a+\frac{1}{a}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=9$
由于$a·\frac{1}{a}=1$，化简得：
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=9$
移项计算得：
$a^2+\frac{1}{a^2}=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，分式运算
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，解题核心是准确识别已知条件和所求式子的结构关联，灵活运用完全平方公式的变形进行转化计算，注意互为倒数的两个数乘积为1的隐含条件的运用。
【难度系数】
0.8
4.分式方程$\frac{x+a}{x-1}=a$无解，则$a=$
$±1$
。答案
4. $±1$
解析
【分析】
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论即可求出a的值。
【解析】
给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（需满足$x ≠ 1$），去分母得：
$x + a = a(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$x + a = ax - a$
移项合并同类项得：
$x(1 - a) = -2a$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$1 - a = 0$，解得$a=1$。此时方程变为$0=-2$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，原分式分母为0，可得增根为$x=1$。将$x=1$代入$x(1 - a) = -2a$得：
$1×(1 - a) = -2a$
解得$a=-1$。此时整式方程的解为增根，原分式方程无意义，因此无解。
综上，$a$的取值为$\pm 1$。
【答案】
$\pm 1$
【知识点】
1. 分式方程的增根 2. 分式方程无解的判定 3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程无解的相关知识，解题核心是牢记分式方程无解的两种情况，需通过分类讨论求解，要注意避免遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论即可求出a的值。
【解析】
给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（需满足$x ≠ 1$），去分母得：
$x + a = a(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$x + a = ax - a$
移项合并同类项得：
$x(1 - a) = -2a$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$1 - a = 0$，解得$a=1$。此时方程变为$0=-2$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，原分式分母为0，可得增根为$x=1$。将$x=1$代入$x(1 - a) = -2a$得：
$1×(1 - a) = -2a$
解得$a=-1$。此时整式方程的解为增根，原分式方程无意义，因此无解。
综上，$a$的取值为$\pm 1$。
【答案】
$\pm 1$
【知识点】
1. 分式方程的增根 2. 分式方程无解的判定 3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程无解的相关知识，解题核心是牢记分式方程无解的两种情况，需通过分类讨论求解，要注意避免遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
5.如图，$△ ABC$中，点$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，则下列结论：①$BC=2DE$，②$△ ADE ∽ △ ABC$，③$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，其中正确的有（
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
A
）A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先观察到D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，先利用中位线定理判断结论①；再由中位线平行于第三边的性质，结合相似三角形的判定定理判断结论②；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，结合比例的基本变形判断结论③即可。
【解析】
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，即BC=2DE，故①正确；
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），故②正确；
∵△ADE∽△ABC，
∴对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
根据比例的基本性质交叉变形可得：$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，故③正确。
综上，3个结论都正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，比例的基本性质
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，核心考查中位线和相似三角形的相关知识，解题的关键是熟练掌握中位线性质、相似三角形的判定规则，以及比例式的基本变形方法。
【难度系数】
0.85
解题时先观察到D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，先利用中位线定理判断结论①；再由中位线平行于第三边的性质，结合相似三角形的判定定理判断结论②；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，结合比例的基本变形判断结论③即可。
【解析】
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，即BC=2DE，故①正确；
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），故②正确；
∵△ADE∽△ABC，
∴对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
根据比例的基本性质交叉变形可得：$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，故③正确。
综上，3个结论都正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，比例的基本性质
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，核心考查中位线和相似三角形的相关知识，解题的关键是熟练掌握中位线性质、相似三角形的判定规则，以及比例式的基本变形方法。
【难度系数】
0.85
6.如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$;④$AC^2=AD·AB$。其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6. C
解析
【分析】
要判定△ABC∽△ACD，首先观察可得两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，此时只需再找到一组对应角相等，或者夹公共角∠A的两组对应边成比例，即可判定相似。接下来我们逐个验证给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
△ABC和△ACD中，∠A是公共角：
1. 对于条件①∠B=∠ACD：结合∠A=∠A，满足“两角对应相等，两三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD；
2. 对于条件②∠ADC=∠ACB：结合∠A=∠A，满足“两角对应相等，两三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD；
3. 对于条件③$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$：该比例中的两组边不是夹公共角∠A的对应边，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ACD；
4. 对于条件④$AC^2=AD·AB$：将等式变形可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，夹公共角∠A的两组对应边成比例，满足“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD。
综上，①②④共3个条件可单独判定相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时先确定两个三角形的公共角可以简化判定过程，要注意边的对应关系，避免因对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
要判定△ABC∽△ACD，首先观察可得两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，此时只需再找到一组对应角相等，或者夹公共角∠A的两组对应边成比例，即可判定相似。接下来我们逐个验证给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
△ABC和△ACD中，∠A是公共角：
1. 对于条件①∠B=∠ACD：结合∠A=∠A，满足“两角对应相等，两三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD；
2. 对于条件②∠ADC=∠ACB：结合∠A=∠A，满足“两角对应相等，两三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD；
3. 对于条件③$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$：该比例中的两组边不是夹公共角∠A的对应边，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ACD；
4. 对于条件④$AC^2=AD·AB$：将等式变形可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，夹公共角∠A的两组对应边成比例，满足“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD。
综上，①②④共3个条件可单独判定相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时先确定两个三角形的公共角可以简化判定过程，要注意边的对应关系，避免因对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
三、计算题
7. $(3x^2 y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)$。
7. $(3x^2 y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)$。
答案
解：
原式$=3x^2y÷(-\dfrac{1}{2}xy) - xy^2÷(-\dfrac{1}{2}xy) + \dfrac{1}{2}xy÷(-\dfrac{1}{2}xy)$
$=-6x + 2y - 1$
原式$=3x^2y÷(-\dfrac{1}{2}xy) - xy^2÷(-\dfrac{1}{2}xy) + \dfrac{1}{2}xy÷(-\dfrac{1}{2}xy)$
$=-6x + 2y - 1$
解析
【分析】
本题是多项式除以单项式的运算，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有的商相加。思考时首先拆分原式为三个单项式分别除以$-\frac{1}{2}xy$的形式，再按照单项式除以单项式的规则分别计算：系数相除得到商的系数，同底数幂分别相除，计算过程中要注意每一项的符号，避免符号出错，最后合并所有商即可得到结果。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分为各项分别除以除式：
原式$=3x^2y÷(-\dfrac{1}{2}xy) - xy^2÷(-\dfrac{1}{2}xy) + \dfrac{1}{2}xy÷(-\dfrac{1}{2}xy)$
分别计算每一项的商：
第一项：$3x^2y÷(-\dfrac{1}{2}xy)=3÷(-\dfrac{1}{2}) · (x^2÷x) · (y÷y)=-6x$
第二项：$-xy^2÷(-\dfrac{1}{2}xy)=(-1)÷(-\dfrac{1}{2}) · (x÷x) · (y^2÷y)=2y$
第三项：$\dfrac{1}{2}xy÷(-\dfrac{1}{2}xy)=\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{1}{2}) · (xy÷xy)=-1$
将三个商相加得最终结果。
【答案】
$-6x + 2y - 1$
【知识点】
多项式除以单项式、单项式除法、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式除法的基本运算规则，解题的易错点是计算过程中符号处理失误、系数除法计算错误，熟练掌握相关运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是多项式除以单项式的运算，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有的商相加。思考时首先拆分原式为三个单项式分别除以$-\frac{1}{2}xy$的形式，再按照单项式除以单项式的规则分别计算：系数相除得到商的系数，同底数幂分别相除，计算过程中要注意每一项的符号，避免符号出错，最后合并所有商即可得到结果。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分为各项分别除以除式：
原式$=3x^2y÷(-\dfrac{1}{2}xy) - xy^2÷(-\dfrac{1}{2}xy) + \dfrac{1}{2}xy÷(-\dfrac{1}{2}xy)$
分别计算每一项的商：
第一项：$3x^2y÷(-\dfrac{1}{2}xy)=3÷(-\dfrac{1}{2}) · (x^2÷x) · (y÷y)=-6x$
第二项：$-xy^2÷(-\dfrac{1}{2}xy)=(-1)÷(-\dfrac{1}{2}) · (x÷x) · (y^2÷y)=2y$
第三项：$\dfrac{1}{2}xy÷(-\dfrac{1}{2}xy)=\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{1}{2}) · (xy÷xy)=-1$
将三个商相加得最终结果。
【答案】
$-6x + 2y - 1$
【知识点】
多项式除以单项式、单项式除法、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式除法的基本运算规则，解题的易错点是计算过程中符号处理失误、系数除法计算错误，熟练掌握相关运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
