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1.某品牌服装原价173元，连续两次降价$x\%$后的售价为127元，下面所列方程中正确的是（
A.$173(1+x\%)^2=127$
B.$173(1-2x\%)=127$
C.$173(1-x\%)^2=127$
D.$127(1+x\%)^2=173$
C
）。A.$173(1+x\%)^2=127$
B.$173(1-2x\%)=127$
C.$173(1-x\%)^2=127$
D.$127(1+x\%)^2=173$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决连续降价列方程的问题，首先明确每次降价的基准量：第一次降价是在原价的基础上降x%，降价后价格为原价的(1-x%)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x%，因此第二次降价后价格是第一次降价后价格的(1-x%)，也就是原价乘(1-x%)的平方，结合最终售价即可列出方程，再对比选项判断即可。
【解析】
第一步：计算第一次降价x%后的售价
原价为173元，降价x%后，售价为$173×(1 - x\%)$。
第二步：计算第二次降价x%后的售价
第二次降价的基准是第一次降价后的价格，因此再次降价x%后，售价为$173×(1 - x\%)×(1 - x\%)=173(1 - x\%)^2$。
第三步：结合最终售价列方程
已知两次降价后售价为127元，因此列方程得：$173(1 - x\%)^2=127$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均降低率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是连续变化率的基础题型，解题核心是明确每次变化的基准量，要注意区分连续两次按比例降价和直接降价两倍比例的区别，同时注意降价对应的是(1-变化率)，不要和涨价的(1+变化率)混淆。
【难度系数】
0.8
要解决连续降价列方程的问题，首先明确每次降价的基准量：第一次降价是在原价的基础上降x%，降价后价格为原价的(1-x%)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x%，因此第二次降价后价格是第一次降价后价格的(1-x%)，也就是原价乘(1-x%)的平方，结合最终售价即可列出方程，再对比选项判断即可。
【解析】
第一步：计算第一次降价x%后的售价
原价为173元，降价x%后，售价为$173×(1 - x\%)$。
第二步：计算第二次降价x%后的售价
第二次降价的基准是第一次降价后的价格，因此再次降价x%后，售价为$173×(1 - x\%)×(1 - x\%)=173(1 - x\%)^2$。
第三步：结合最终售价列方程
已知两次降价后售价为127元，因此列方程得：$173(1 - x\%)^2=127$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均降低率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是连续变化率的基础题型，解题核心是明确每次变化的基准量，要注意区分连续两次按比例降价和直接降价两倍比例的区别，同时注意降价对应的是(1-变化率)，不要和涨价的(1+变化率)混淆。
【难度系数】
0.8
2.某件商品原价1 000元，连续两次都降价x%后售价为640元，则x的值为(
A.68
B.64
C.36
D.20
D
).A.68
B.64
C.36
D.20
答案
2.D
解析
【分析】
本题属于平均降价率的应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率的数量关系，原价经过两次相同比例的降价后，售价=原价×(1-降价率)²，我们可以根据这个等量关系列出关于x的一元二次方程，再求解方程，最后结合降价率的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到x的值。
【解析】
根据题意，连续两次降价x%后的售价为640元，可列方程：
$1000(1 - x\%)^2 = 640$
方程两边同时除以1000，得：
$(1 - x\%)^2 = 0.64$
两边直接开平方，得：
$1 - x\% = ±0.8$
因为降价率x%为正数，所以$1 - x\% ＞ 0$，故舍去$1 - x\% = -0.8$，取：
$1 - x\% = 0.8$
移项计算得：
$x\% = 1 - 0.8 = 0.2$
即$x = 20$
【答案】
D
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的应用
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题核心是准确掌握“变化后量=变化前量×(1±变化率)ⁿ（n为变化次数）”的等量关系，同时要注意结合实际情境对方程的根进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
本题属于平均降价率的应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率的数量关系，原价经过两次相同比例的降价后，售价=原价×(1-降价率)²，我们可以根据这个等量关系列出关于x的一元二次方程，再求解方程，最后结合降价率的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到x的值。
【解析】
根据题意，连续两次降价x%后的售价为640元，可列方程：
$1000(1 - x\%)^2 = 640$
方程两边同时除以1000，得：
$(1 - x\%)^2 = 0.64$
两边直接开平方，得：
$1 - x\% = ±0.8$
因为降价率x%为正数，所以$1 - x\% ＞ 0$，故舍去$1 - x\% = -0.8$，取：
$1 - x\% = 0.8$
移项计算得：
$x\% = 1 - 0.8 = 0.2$
即$x = 20$
【答案】
D
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的应用
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题核心是准确掌握“变化后量=变化前量×(1±变化率)ⁿ（n为变化次数）”的等量关系，同时要注意结合实际情境对方程的根进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,某小区在一块长为 16 m,宽为 9 m 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路,其中一条和矩形的一边平行,另外两条和矩形的另一边平行,空地剩下的部分种植花草,使得花草区域占地面积为 $120\ \mathrm{m}^2$.设小路的宽度为 $x\ \mathrm{m}$,则下列方程:
①$(16-2x)(9-x)=120$；
②$16×9-9×2x-(16-2x)x=120$；
③$16×9-9×2x-16x+x^2=120$.
其中正确的是(
A.①
B.②
C.①②
D.①②③
①$(16-2x)(9-x)=120$；
②$16×9-9×2x-(16-2x)x=120$；
③$16×9-9×2x-16x+x^2=120$.
其中正确的是(
C
).A.①
B.②
C.①②
D.①②③
答案
3.C
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决面积类实际问题的题目，可通过两种思路验证方程是否正确：
思路1：平移法，将所有花草区域拼接成一个完整的矩形，直接计算拼接后矩形的长、宽，再结合面积列方程；
思路2：用矩形总面积减去小路的面积得到花草区域面积，计算小路面积时需注意交叉重叠部分不要重复计算。
逐一验证三个方程：
①用平移法：把三条小路向矩形边缘平移，剩下的花草区域可拼成一个矩形，其长为原长减去2条竖小路的宽度，即$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为原宽减去1条横小路的宽度，即$(9-x)\mathrm{m}$，面积为$120\mathrm{m}^2$，因此可列方程$(16-2x)(9-x)=120$，①正确。
②用总面积减小路面积：矩形总面积为$16×9$，两条竖小路的总面积为$9×2x$，横小路与两条竖小路有2个边长为$x$的正方形重叠区域，因此横小路的实际面积为$(16-2x)x$，因此可列方程$16×9 - 9×2x - (16-2x)x=120$，②正确。
③展开②的左侧可得$16×9 - 18x -16x +2x²=120$，即$16×9 - 9×2x -16x +2x²=120$，而③中仅加了$x²$，说明交叉区域只补回了1个重叠部分的面积，计算错误，③错误。
综上①②正确。
【解析】
解：方法一：平移拼接法
将三条小路向矩形的边缘平移，剩余种植花草的区域可拼接为一个新矩形，
新矩形的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(9-x)\ \mathrm{m}$，
根据花草区域面积为$120\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(16-2x)(9-x)=120$，故①正确。
方法二：总面积减小路面积法
矩形空地总面积为$16×9\ \mathrm{m}^2$，
两条与宽平行的竖小路总面积为$2×9x\ \mathrm{m}^2$，
横小路与两条竖小路存在2个边长为$x$的正方形重叠区域（已计入竖小路面积），因此横小路的面积为$(16-2x)x\ \mathrm{m}^2$，
根据“总面积-小路面积=花草面积”列方程得：
$16×9 - 9×2x - (16-2x)x=120$，故②正确。
将②的左侧展开：
$16×9 - 18x -16x +2x^2=120$，即$16×9 - 9×2x -16x +2x^2=120$，
与③对比，③中仅加了$x^2$，交叉重叠部分的面积少补了1个$x^2$，因此③错误。
综上，①②正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题是道路面积类的典型应用题，解题时可优先使用平移拼接法简化计算，若使用总面积减道路面积的方法，一定要注意道路交叉部分的重叠面积，避免重复减导致列式错误。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决面积类实际问题的题目，可通过两种思路验证方程是否正确：
思路1：平移法，将所有花草区域拼接成一个完整的矩形，直接计算拼接后矩形的长、宽，再结合面积列方程；
思路2：用矩形总面积减去小路的面积得到花草区域面积，计算小路面积时需注意交叉重叠部分不要重复计算。
逐一验证三个方程：
①用平移法：把三条小路向矩形边缘平移，剩下的花草区域可拼成一个矩形，其长为原长减去2条竖小路的宽度，即$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为原宽减去1条横小路的宽度，即$(9-x)\mathrm{m}$，面积为$120\mathrm{m}^2$，因此可列方程$(16-2x)(9-x)=120$，①正确。
②用总面积减小路面积：矩形总面积为$16×9$，两条竖小路的总面积为$9×2x$，横小路与两条竖小路有2个边长为$x$的正方形重叠区域，因此横小路的实际面积为$(16-2x)x$，因此可列方程$16×9 - 9×2x - (16-2x)x=120$，②正确。
③展开②的左侧可得$16×9 - 18x -16x +2x²=120$，即$16×9 - 9×2x -16x +2x²=120$，而③中仅加了$x²$，说明交叉区域只补回了1个重叠部分的面积，计算错误，③错误。
综上①②正确。
【解析】
解：方法一：平移拼接法
将三条小路向矩形的边缘平移，剩余种植花草的区域可拼接为一个新矩形，
新矩形的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(9-x)\ \mathrm{m}$，
根据花草区域面积为$120\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(16-2x)(9-x)=120$，故①正确。
方法二：总面积减小路面积法
矩形空地总面积为$16×9\ \mathrm{m}^2$，
两条与宽平行的竖小路总面积为$2×9x\ \mathrm{m}^2$，
横小路与两条竖小路存在2个边长为$x$的正方形重叠区域（已计入竖小路面积），因此横小路的面积为$(16-2x)x\ \mathrm{m}^2$，
根据“总面积-小路面积=花草面积”列方程得：
$16×9 - 9×2x - (16-2x)x=120$，故②正确。
将②的左侧展开：
$16×9 - 18x -16x +2x^2=120$，即$16×9 - 9×2x -16x +2x^2=120$，
与③对比，③中仅加了$x^2$，交叉重叠部分的面积少补了1个$x^2$，因此③错误。
综上，①②正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题是道路面积类的典型应用题，解题时可优先使用平移拼接法简化计算，若使用总面积减道路面积的方法，一定要注意道路交叉部分的重叠面积，避免重复减导致列式错误。
【难度系数】
0.7
4. 从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m²，则原来这块木板的面积是(
A.100 m²
B.64 m²
C.121 m²
D.144 m²
B
).A.100 m²
B.64 m²
C.121 m²
D.144 m²
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的等量关系：锯掉木条后剩下的长方形面积为48 m²。我们可以先设原来正方形的边长为未知数，再表示出剩下长方形的长和宽，结合长方形面积公式列一元二次方程求解，最后注意根要符合实际意义（边长为正数），再计算原正方形的面积即可。
【解析】
设原来正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $。
锯掉2m宽的长方形木条后，剩下的图形为长方形，它的长等于原正方形的边长$ x \, \mathrm{m} $，宽为$ (x-2) \, \mathrm{m} $。
根据剩下的面积是$ 48 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(x-2) = 48$
整理得：
$x^2 - 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+6) = 0$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $。
因为木板边长为正数，所以舍去$ x_2 = -6 $，即原正方形的边长为$ 8 \, \mathrm{m} $。
原正方形木板的面积为$ 8 × 8 = 64 \, \mathrm{m}^2 $。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 正方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的典型基础题，解题核心是准确找到面积等量关系列方程，同时要注意对一元二次方程的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目中的等量关系：锯掉木条后剩下的长方形面积为48 m²。我们可以先设原来正方形的边长为未知数，再表示出剩下长方形的长和宽，结合长方形面积公式列一元二次方程求解，最后注意根要符合实际意义（边长为正数），再计算原正方形的面积即可。
【解析】
设原来正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $。
锯掉2m宽的长方形木条后，剩下的图形为长方形，它的长等于原正方形的边长$ x \, \mathrm{m} $，宽为$ (x-2) \, \mathrm{m} $。
根据剩下的面积是$ 48 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(x-2) = 48$
整理得：
$x^2 - 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+6) = 0$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $。
因为木板边长为正数，所以舍去$ x_2 = -6 $，即原正方形的边长为$ 8 \, \mathrm{m} $。
原正方形木板的面积为$ 8 × 8 = 64 \, \mathrm{m}^2 $。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 正方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的典型基础题，解题核心是准确找到面积等量关系列方程，同时要注意对一元二次方程的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.8
5. 一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组一共送贺年卡72张，则这个小组有（
A.12人
B.18人
C.9人
D.10人
C
）。A.12人
B.18人
C.9人
D.10人
答案
5.C
解析
【分析】
拿到题目首先明确“互送贺年卡”的含义：每个人都要给除自己之外的其他组员各送1张，A送B和B送A是两张不同的贺卡，不存在重复计数的情况。我们可以设小组人数为x，那么每个人需要送出(x-1)张贺卡，全组总贺卡数=人数×每人送出的贺卡数，据此列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设这个小组共有x人。
由题意可知，每个人要给除自己外的(x-1)人送贺卡，因此全组共送贺卡x(x-1)张，列方程得：
$x(x-1)=72$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
由于人数不能为负数，因此舍去$x_2=-8$，即小组人数为9人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，一元二次方程求解，实际根的取舍
【点评】
本题是典型的双循环计数类一元二次方程应用题，解题核心是区分双循环（如互送贺卡、比赛双回合）和单循环（如握手、比赛单回合）的计数规则，同时要注意结合实际场景对方程的根进行筛选，排除不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先明确“互送贺年卡”的含义：每个人都要给除自己之外的其他组员各送1张，A送B和B送A是两张不同的贺卡，不存在重复计数的情况。我们可以设小组人数为x，那么每个人需要送出(x-1)张贺卡，全组总贺卡数=人数×每人送出的贺卡数，据此列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设这个小组共有x人。
由题意可知，每个人要给除自己外的(x-1)人送贺卡，因此全组共送贺卡x(x-1)张，列方程得：
$x(x-1)=72$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
由于人数不能为负数，因此舍去$x_2=-8$，即小组人数为9人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，一元二次方程求解，实际根的取舍
【点评】
本题是典型的双循环计数类一元二次方程应用题，解题核心是区分双循环（如互送贺卡、比赛双回合）和单循环（如握手、比赛单回合）的计数规则，同时要注意结合实际场景对方程的根进行筛选，排除不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间中,能使△PBQ的面积为15 cm²的是(
A.2 s
B.3 s
C.4 s
D.5 s
B
).A.2 s
B.3 s
C.4 s
D.5 s
答案
6.B
解析
【分析】
要解这道题可按以下思路思考：第一步设运动时间为t秒，先确定t的取值范围：点Q移动到C就停止，速度为2cm/s，BC长6cm，因此t最大为$6÷2=3\mathrm{s}$，即$0≤ t≤3$；第二步用t表示△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度：点P速度1cm/s，因此$AP=t\mathrm{cm}$，$PB=AB-AP=(8-t)\mathrm{cm}$，$BQ=2t\mathrm{cm}$；第三步根据直角三角形面积公式列方程，解方程后舍去不符合取值范围的解，即可得到正确答案。
【解析】
解：设运动时间为$ t \, \mathrm{s} $时，$△ PBQ$的面积为$ 15 \, \mathrm{cm}^2 $。
1. 确定t的取值范围：
点Q从B到C的时间为$ 6 ÷ 2 = 3 \, \mathrm{s} $，因此$ 0 ≤ t ≤ 3 $。
2. 表示相关线段长度：
$ AP = 1 × t = t \, \mathrm{cm} $，故$ PB = AB - AP = (8 - t) \, \mathrm{cm} $，$ BQ = 2 × t = 2t \, \mathrm{cm} $。
3. 列方程求解：
因为$∠ ABC = 90°$，所以$△ PBQ$是直角三角形，由面积公式得：
$\frac{1}{2} × PB × BQ = 15$
代入线段长度化简：
$\frac{1}{2} × (8 - t) × 2t = 15 \implies t(8 - t) = 15$
整理得一元二次方程：
$t^2 - 8t + 15 = 0$
因式分解得$ (t - 3)(t - 5) = 0 $，解得$ t_1 = 3 $，$ t_2 = 5 $。
4. 检验解的合理性：
$ t_2 = 5 ＞ 3 $，不符合t的取值范围，舍去。
因此$ t = 3 \, \mathrm{s} $。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 动点问题计算
3. 直角三角形面积公式
【点评】
本题是典型的动点结合方程的应用题，解题核心是用含时间的代数式表示出对应线段的长度，列方程求解后要注意结合运动的实际限制条件，舍去不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题可按以下思路思考：第一步设运动时间为t秒，先确定t的取值范围：点Q移动到C就停止，速度为2cm/s，BC长6cm，因此t最大为$6÷2=3\mathrm{s}$，即$0≤ t≤3$；第二步用t表示△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度：点P速度1cm/s，因此$AP=t\mathrm{cm}$，$PB=AB-AP=(8-t)\mathrm{cm}$，$BQ=2t\mathrm{cm}$；第三步根据直角三角形面积公式列方程，解方程后舍去不符合取值范围的解，即可得到正确答案。
【解析】
解：设运动时间为$ t \, \mathrm{s} $时，$△ PBQ$的面积为$ 15 \, \mathrm{cm}^2 $。
1. 确定t的取值范围：
点Q从B到C的时间为$ 6 ÷ 2 = 3 \, \mathrm{s} $，因此$ 0 ≤ t ≤ 3 $。
2. 表示相关线段长度：
$ AP = 1 × t = t \, \mathrm{cm} $，故$ PB = AB - AP = (8 - t) \, \mathrm{cm} $，$ BQ = 2 × t = 2t \, \mathrm{cm} $。
3. 列方程求解：
因为$∠ ABC = 90°$，所以$△ PBQ$是直角三角形，由面积公式得：
$\frac{1}{2} × PB × BQ = 15$
代入线段长度化简：
$\frac{1}{2} × (8 - t) × 2t = 15 \implies t(8 - t) = 15$
整理得一元二次方程：
$t^2 - 8t + 15 = 0$
因式分解得$ (t - 3)(t - 5) = 0 $，解得$ t_1 = 3 $，$ t_2 = 5 $。
4. 检验解的合理性：
$ t_2 = 5 ＞ 3 $，不符合t的取值范围，舍去。
因此$ t = 3 \, \mathrm{s} $。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 动点问题计算
3. 直角三角形面积公式
【点评】
本题是典型的动点结合方程的应用题，解题核心是用含时间的代数式表示出对应线段的长度，列方程求解后要注意结合运动的实际限制条件，舍去不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：
$(x+1)^2=25$
。答案
7.$(x+1)^2=25$
解析
【分析】
本题是结合不规则图形面积列方程的问题，可采用补形法将不规则图形转化为规则的正方形求解：首先观察图形尺寸，发现原图形可看作边长为$(x+1)$的大正方形减去1个边长为1的小正方形得到，再根据“大正方形面积 - 小正方形面积 = 原图形面积”的等量关系列方程，整理后即可得到结果。
【解析】
我们用补形法将原图形补为边长为$(x+1)$的正方形：
1. 边长为$(x+1)$的大正方形面积为：$(x+1)^2$
2. 补上去的小正方形边长为1，面积为$1×1=1$
3. 已知原图形面积为24，根据等量关系“原图形面积 = 大正方形面积 - 补的小正方形面积”，可列方程：
$(x+1)^2 - 1 = 24$
移项整理得：$(x+1)^2 =25$
【答案】
$(x+1)^2=25$
【知识点】
割补法求面积；正方形面积计算；列一元二次方程
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，核心是通过割补法把不规则图形转化为熟悉的规则图形，找到面积等量关系即可顺利列方程，掌握割补法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是结合不规则图形面积列方程的问题，可采用补形法将不规则图形转化为规则的正方形求解：首先观察图形尺寸，发现原图形可看作边长为$(x+1)$的大正方形减去1个边长为1的小正方形得到，再根据“大正方形面积 - 小正方形面积 = 原图形面积”的等量关系列方程，整理后即可得到结果。
【解析】
我们用补形法将原图形补为边长为$(x+1)$的正方形：
1. 边长为$(x+1)$的大正方形面积为：$(x+1)^2$
2. 补上去的小正方形边长为1，面积为$1×1=1$
3. 已知原图形面积为24，根据等量关系“原图形面积 = 大正方形面积 - 补的小正方形面积”，可列方程：
$(x+1)^2 - 1 = 24$
移项整理得：$(x+1)^2 =25$
【答案】
$(x+1)^2=25$
【知识点】
割补法求面积；正方形面积计算；列一元二次方程
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，核心是通过割补法把不规则图形转化为熟悉的规则图形，找到面积等量关系即可顺利列方程，掌握割补法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 某小区2025年屋顶绿化面积为2000 m²，计划2027年屋顶绿化面积要达到2880 m²。如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是
20%
。答案
8. 20%
解析
【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本等量关系：最终量=初始量×(1+增长率)ⁿ，其中n为增长的年数。本题中初始量是2025年的绿化面积2000m²，最终量是2027年的绿化面积2880m²，从2025年到2027年间隔2年，即n=2，我们设增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后根据增长率为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个增长率为x。
根据题意，2026年的绿化面积为2000(1+x)m²，2027年的绿化面积为2000(1+x)²m²，可列方程：
$2000(1+x)^2 = 2880$
方程两边同时除以2000，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方，得：
$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是平均增长率问题的典型考法，解题核心是准确掌握增长率问题的等量关系，列方程求解后要注意结合实际情境检验根的合理性，属于方程应用的基础常考题。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本等量关系：最终量=初始量×(1+增长率)ⁿ，其中n为增长的年数。本题中初始量是2025年的绿化面积2000m²，最终量是2027年的绿化面积2880m²，从2025年到2027年间隔2年，即n=2，我们设增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后根据增长率为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个增长率为x。
根据题意，2026年的绿化面积为2000(1+x)m²，2027年的绿化面积为2000(1+x)²m²，可列方程：
$2000(1+x)^2 = 2880$
方程两边同时除以2000，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方，得：
$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是平均增长率问题的典型考法，解题核心是准确掌握增长率问题的等量关系，列方程求解后要注意结合实际情境检验根的合理性，属于方程应用的基础常考题。
【难度系数】
0.8
9. 若一个两位正整数，它的个位数字与十位数字的和是5，数字的平方和是17，则这个两位数是
41或14
。答案
9. 41或14
解析
【分析】
要解决这个数字类问题，我们可以先设其中一个数位的数字为未知数，结合“个位数字与十位数字的和是5”的条件，用含未知数的式子表示另一个数位的数字。再根据“数字的平方和是17”的等量关系列出一元二次方程，求解后验证所得数字符合两位数的要求（十位数字不为0），最后写出对应的两位数即可。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ 5-x $（$ x $为正整数，且$ 1≤ x≤9 $）。
根据题意列方程：
$ x^2 + (5-x)^2 = 17 $
展开整理得：
$ x^2 + 25 -10x + x^2 =17 $
$ 2x^2 -10x +8 =0 $
化简为：
$ x^2 -5x +4 =0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-4)=0 $
解得$ x_1=1 $，$ x_2=4 $。
当$ x=1 $时，个位数字为$ 5-1=4 $，两位数为14；
当$ x=4 $时，个位数字为$ 5-4=1 $，两位数为41。
【答案】
41或14
【知识点】
一元二次方程应用；数字类应用题；因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是合理设未知数，准确抓住题目给出的等量关系列方程求解，解题时要注意两位数的十位数字不能为0的隐含限制条件，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
要解决这个数字类问题，我们可以先设其中一个数位的数字为未知数，结合“个位数字与十位数字的和是5”的条件，用含未知数的式子表示另一个数位的数字。再根据“数字的平方和是17”的等量关系列出一元二次方程，求解后验证所得数字符合两位数的要求（十位数字不为0），最后写出对应的两位数即可。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ 5-x $（$ x $为正整数，且$ 1≤ x≤9 $）。
根据题意列方程：
$ x^2 + (5-x)^2 = 17 $
展开整理得：
$ x^2 + 25 -10x + x^2 =17 $
$ 2x^2 -10x +8 =0 $
化简为：
$ x^2 -5x +4 =0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-4)=0 $
解得$ x_1=1 $，$ x_2=4 $。
当$ x=1 $时，个位数字为$ 5-1=4 $，两位数为14；
当$ x=4 $时，个位数字为$ 5-4=1 $，两位数为41。
【答案】
41或14
【知识点】
一元二次方程应用；数字类应用题；因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是合理设未知数，准确抓住题目给出的等量关系列方程求解，解题时要注意两位数的十位数字不能为0的隐含限制条件，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
10.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E从点A出发，以1个单位每秒的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，以2个单位每秒的速度向点C移动，
1
秒后△EBF的面积为5个平方单位。答案
10. 1
解析
【分析】
本题是矩形中的动点结合面积的应用题，解题思路如下：首先明确△EBF是直角三角形（∠B为矩形的内角，是直角），它的面积等于两条直角边乘积的一半。我们设运动时间为t秒，先分别用含t的代数式表示出两条直角边EB、BF的长度，再结合面积为5的条件列一元二次方程求解，最后要注意检验解是否符合动点的实际运动范围（点E最多运动6秒到B，点F最多运动4秒到C，因此t的取值范围是0＜t≤4）。
【解析】
设t秒后△EBF的面积为5个平方单位。
由题意得：AE = t×1 = t，BF = t×2 = 2t
∴ EB = AB - AE = 6 - t
∵ ∠B=90°，△EBF的面积为5
∴ $\frac{1}{2} × EB × BF = 5$
代入得：$\frac{1}{2}(6 - t) × 2t = 5$
化简得：$t(6 - t) = 5$
整理为标准一元二次方程：$t^2 - 6t + 5 = 0$
因式分解得：$(t - 1)(t - 5) = 0$
解得：$t_1=1$，$t_2=5$
∵ 点F从B到C的最长运动时间为$8÷2=4$秒，$t=5＞4$，不符合实际，舍去
∴ t=1
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用、直角三角形面积计算、矩形的性质
【点评】
本题属于方程的实际应用类基础题，解题核心是用含时间的代数式准确表示出对应线段的长度，结合面积公式建立方程，求出解后务必根据动点的运动边界检验解是否符合实际，避免多余的错误解。
【难度系数】
0.7
本题是矩形中的动点结合面积的应用题，解题思路如下：首先明确△EBF是直角三角形（∠B为矩形的内角，是直角），它的面积等于两条直角边乘积的一半。我们设运动时间为t秒，先分别用含t的代数式表示出两条直角边EB、BF的长度，再结合面积为5的条件列一元二次方程求解，最后要注意检验解是否符合动点的实际运动范围（点E最多运动6秒到B，点F最多运动4秒到C，因此t的取值范围是0＜t≤4）。
【解析】
设t秒后△EBF的面积为5个平方单位。
由题意得：AE = t×1 = t，BF = t×2 = 2t
∴ EB = AB - AE = 6 - t
∵ ∠B=90°，△EBF的面积为5
∴ $\frac{1}{2} × EB × BF = 5$
代入得：$\frac{1}{2}(6 - t) × 2t = 5$
化简得：$t(6 - t) = 5$
整理为标准一元二次方程：$t^2 - 6t + 5 = 0$
因式分解得：$(t - 1)(t - 5) = 0$
解得：$t_1=1$，$t_2=5$
∵ 点F从B到C的最长运动时间为$8÷2=4$秒，$t=5＞4$，不符合实际，舍去
∴ t=1
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用、直角三角形面积计算、矩形的性质
【点评】
本题属于方程的实际应用类基础题，解题核心是用含时间的代数式准确表示出对应线段的长度，结合面积公式建立方程，求出解后务必根据动点的运动边界检验解是否符合实际，避免多余的错误解。
【难度系数】
0.7
