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14. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容.为了引导学生积极参与体育运动,某校举办了一分钟跳绳比赛,随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计,并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图:
请结合上述信息完成下列问题:
(1)a=
(2)请补全频数分布直方图;
(3)在扇形统计图中,“良好”等级对应的圆心角的度数是
(4)若该校有2000名学生,根据抽样调查结果,请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数.
请结合上述信息完成下列问题:
(1)a=
0.1
,b=0.35
;(2)请补全频数分布直方图;
(3)在扇形统计图中,“良好”等级对应的圆心角的度数是
108°
;(4)若该校有2000名学生,根据抽样调查结果,请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数.
答案
14.(1)0.1 0.35 [解析]根据频数分布直方图可知$a=4÷40=0.1$，
因为$40×25\%=10$，
所以$b=(40-4-12-10)÷40=14÷40=0.35$.
(2)如图，即为补全的频数分布直方图，
(3)$108°$
(4)因为$2000×\frac{40-4}{40}=1800$(人)，
所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800.
解析
【分析】
这是一道统计综合应用题，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，牢记“频率=频数÷总人数”的关系，先找到对应组的频数，结合总人数40即可算出a；再根据已知的百分比算出对应组的频数，用总人数减去其余各组频数得到b对应组的频数，进而算出b。2. 第(2)问补全频数分布直方图，只需根据计算得到的缺失组的频数，画出对应高度的长方形即可。3. 第(3)问求扇形圆心角，用360°乘“良好”等级对应的频率即可。4. 第(4)问用样本估计总体，先算出样本中合格及以上人数的频率，再乘全校总人数2000即可得到估计值。
【解析】
(1) 由频数分布直方图可知，次数在100~120的频数为4，总人数为40，因此$a=4÷40=0.1$；
已知某等级占比25%，对应频数为$40×25\%=10$，结合直方图其余组频数分别为4、12、10，可得b对应组的频数为$40-4-12-10=14$，因此$b=14÷40=0.35$。
(2) 补全的频数分布直方图如下：
(3) “良好”等级的频数为12，对应频率为$12÷40=0.3$，因此对应的圆心角为$360°×0.3=108°$。
(4) 样本中一分钟跳绳次数合格及以上的人数为$40-4=36$，对应频率为$\frac{36}{40}$，因此全校2000名学生中合格及以上的人数估计为$2000×\frac{40-4}{40}=1800$（人）。
【答案】
(1) $0.1$；$0.35$
(2)
(3) $108°$
(4) 估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800人。
【知识点】
频数与频率；扇形统计图；样本估计总体
【点评】
本题考查数据的收集、整理与描述的相关知识，需要熟练掌握频数、频率、总数三者的关系，扇形统计图圆心角的计算方法，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，是统计模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
这是一道统计综合应用题，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，牢记“频率=频数÷总人数”的关系，先找到对应组的频数，结合总人数40即可算出a；再根据已知的百分比算出对应组的频数，用总人数减去其余各组频数得到b对应组的频数，进而算出b。2. 第(2)问补全频数分布直方图，只需根据计算得到的缺失组的频数，画出对应高度的长方形即可。3. 第(3)问求扇形圆心角，用360°乘“良好”等级对应的频率即可。4. 第(4)问用样本估计总体，先算出样本中合格及以上人数的频率，再乘全校总人数2000即可得到估计值。
【解析】
(1) 由频数分布直方图可知，次数在100~120的频数为4，总人数为40，因此$a=4÷40=0.1$；
已知某等级占比25%，对应频数为$40×25\%=10$，结合直方图其余组频数分别为4、12、10，可得b对应组的频数为$40-4-12-10=14$，因此$b=14÷40=0.35$。
(2) 补全的频数分布直方图如下：
(3) “良好”等级的频数为12，对应频率为$12÷40=0.3$，因此对应的圆心角为$360°×0.3=108°$。
(4) 样本中一分钟跳绳次数合格及以上的人数为$40-4=36$，对应频率为$\frac{36}{40}$，因此全校2000名学生中合格及以上的人数估计为$2000×\frac{40-4}{40}=1800$（人）。
【答案】
(1) $0.1$；$0.35$
(2)
(3) $108°$
(4) 估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800人。
【知识点】
频数与频率；扇形统计图；样本估计总体
【点评】
本题考查数据的收集、整理与描述的相关知识，需要熟练掌握频数、频率、总数三者的关系，扇形统计图圆心角的计算方法，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，是统计模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
15. 某中学七年级学生共 450 人，其中男生 250 人，女生 200 人.该校对七年级所有学生进行了一次体育测试，并随机抽取了 50 名男生和 40 名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
（1）请解释“随机抽取了 50 名男生和 40 名女生”的合理性；
（2）从上表的“频数”“频率”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；
（3）估计该校七年级体育测试成绩不及格的人数.
（1）请解释“随机抽取了 50 名男生和 40 名女生”的合理性；
（2）从上表的“频数”“频率”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；
（3）估计该校七年级体育测试成绩不及格的人数.
答案
15.(1)因为$250×\frac{90}{450}=50$(名)，
$200×\frac{90}{450}=40$(名)，
所以该校从七年级学生中随机抽取50名男生和40名女生是合理的.
(2)(答案不唯一)选择扇形统计图，表示各种情况的百分比，图形如下，
(3)$450×10\%=45$(人).
故估计该校七年级学生体育测试成绩不及格的人数为45.
解析
【分析】
（1）判断抽样是否合理的核心是样本是否具有代表性，需要验证抽取的男女生人数是否符合总体中男女生的占比。首先计算抽样总人数占七年级总人数的比例，再按该比例分别计算男女生应抽取的人数，和题干抽取人数对比即可判断合理性。
（2）若选择频率列，频率反映各成绩等级的人数占样本总人数的百分比，适合用扇形统计图，可清晰展示各部分占总体的比例；若选择频数列，频数是各等级的具体人数，适合用条形统计图，可直观对比各等级的人数差异。
（3）随机抽取的样本具有代表性，可用样本中不及格的频率估计七年级全体学生不及格的占比，用总人数乘该频率即可估算出总体不及格人数。
【解析】
（1）抽取的样本总人数为90，七年级总人数为450，抽样比为$\frac{90}{450}$。
男生应抽取人数：$250×\frac{90}{450}=50$（名）
女生应抽取人数：$200×\frac{90}{450}=40$（名）
和题干抽取人数一致，样本男女生比例与总体一致，具有代表性，因此抽样合理。
（2）（答案不唯一）选择频率列，用扇形统计图表示各成绩等级占比，图形如下：
（3）样本中不及格的频率为10%，用样本估计总体，该校七年级不及格人数为：
$450×10\%=45$（人）
【答案】
(1)因为$250×\frac{90}{450}=50$(名)，
$200×\frac{90}{450}=40$(名)，
所以该校从七年级学生中随机抽取50名男生和40名女生是合理的.
(2)(答案不唯一)选择扇形统计图，表示各种情况的百分比，图形如下，
(3)$450×10\%=45$(人).
故估计该校七年级学生体育测试成绩不及格的人数为45.
【知识点】
分层抽样；统计图的选择；用样本估计总体
【点评】
本题结合实际场景考察统计基础应用，涵盖抽样合理性判断、统计图适用场景、样本估计总体思想三大考点，注重对统计基础知识的理解和灵活运用，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
（1）判断抽样是否合理的核心是样本是否具有代表性，需要验证抽取的男女生人数是否符合总体中男女生的占比。首先计算抽样总人数占七年级总人数的比例，再按该比例分别计算男女生应抽取的人数，和题干抽取人数对比即可判断合理性。
（2）若选择频率列，频率反映各成绩等级的人数占样本总人数的百分比，适合用扇形统计图，可清晰展示各部分占总体的比例；若选择频数列，频数是各等级的具体人数，适合用条形统计图，可直观对比各等级的人数差异。
（3）随机抽取的样本具有代表性，可用样本中不及格的频率估计七年级全体学生不及格的占比，用总人数乘该频率即可估算出总体不及格人数。
【解析】
（1）抽取的样本总人数为90，七年级总人数为450，抽样比为$\frac{90}{450}$。
男生应抽取人数：$250×\frac{90}{450}=50$（名）
女生应抽取人数：$200×\frac{90}{450}=40$（名）
和题干抽取人数一致，样本男女生比例与总体一致，具有代表性，因此抽样合理。
（2）（答案不唯一）选择频率列，用扇形统计图表示各成绩等级占比，图形如下：
（3）样本中不及格的频率为10%，用样本估计总体，该校七年级不及格人数为：
$450×10\%=45$（人）
【答案】
(1)因为$250×\frac{90}{450}=50$(名)，
$200×\frac{90}{450}=40$(名)，
所以该校从七年级学生中随机抽取50名男生和40名女生是合理的.
(2)(答案不唯一)选择扇形统计图，表示各种情况的百分比，图形如下，
(3)$450×10\%=45$(人).
故估计该校七年级学生体育测试成绩不及格的人数为45.
【知识点】
分层抽样；统计图的选择；用样本估计总体
【点评】
本题结合实际场景考察统计基础应用，涵盖抽样合理性判断、统计图适用场景、样本估计总体思想三大考点，注重对统计基础知识的理解和灵活运用，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
