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1. 如图，$∠ 1$和$∠ 2$互补，则$∠ 2$与$\dfrac{1}{2}(∠ 1-∠ 2)$之间的关系是（
A.互补
B.互余
C.和为$45°$
D.和为$22.5°$
B
）A.互补
B.互余
C.和为$45°$
D.和为$22.5°$
答案
1. B
解析
【分析】
首先我们先明确已知条件：∠1和∠2互补，根据互补的定义可以直接得到∠1+∠2=180°。题目要判断∠2和$\frac{1}{2}(∠1-∠2)$的关系，我们不需要分别求出两个角的具体度数，只需要将这两个式子相加，对代数式进行化简，再把∠1+∠2=180°整体代入，就能得到两者的和的度数，进而判断它们是互补、互余还是其他关系。
【解析】
解：已知∠1和∠2互补，根据互补的性质可得：
$∠1 + ∠2 = 180°$
将∠2与$\frac{1}{2}(∠1-∠2)$相加，化简计算：
$\begin{aligned}∠2 + \frac{1}{2}(∠1 - ∠2) &= ∠2 + \frac{1}{2}∠1 - \frac{1}{2}∠2 \\&= \frac{1}{2}∠1 + \frac{1}{2}∠2 \\&= \frac{1}{2}(∠1 + ∠2)\end{aligned}$
把$∠1+∠2=180°$代入上式：
$\frac{1}{2} × 180° = 90°$
两个角的和为$90°$，说明二者互余。
答案选B。
【答案】
B
【知识点】
互补的定义，互余的定义
【点评】
本题是角度关系推导的基础题型，核心是利用整体代换的思想，不需要计算∠1、∠2的具体数值，仅通过代数式化简结合互补的性质就能得到结果，能帮助学生加深对互余、互补概念的理解，锻炼代数化简的应用能力。
【难度系数】
0.8
首先我们先明确已知条件：∠1和∠2互补，根据互补的定义可以直接得到∠1+∠2=180°。题目要判断∠2和$\frac{1}{2}(∠1-∠2)$的关系，我们不需要分别求出两个角的具体度数，只需要将这两个式子相加，对代数式进行化简，再把∠1+∠2=180°整体代入，就能得到两者的和的度数，进而判断它们是互补、互余还是其他关系。
【解析】
解：已知∠1和∠2互补，根据互补的性质可得：
$∠1 + ∠2 = 180°$
将∠2与$\frac{1}{2}(∠1-∠2)$相加，化简计算：
$\begin{aligned}∠2 + \frac{1}{2}(∠1 - ∠2) &= ∠2 + \frac{1}{2}∠1 - \frac{1}{2}∠2 \\&= \frac{1}{2}∠1 + \frac{1}{2}∠2 \\&= \frac{1}{2}(∠1 + ∠2)\end{aligned}$
把$∠1+∠2=180°$代入上式：
$\frac{1}{2} × 180° = 90°$
两个角的和为$90°$，说明二者互余。
答案选B。
【答案】
B
【知识点】
互补的定义，互余的定义
【点评】
本题是角度关系推导的基础题型，核心是利用整体代换的思想，不需要计算∠1、∠2的具体数值，仅通过代数式化简结合互补的性质就能得到结果，能帮助学生加深对互余、互补概念的理解，锻炼代数化简的应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法中,正确的有 （
①由两条射线组成的图形叫作角；
②角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关；
③角的两边是两条射线；
④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数也扩大10倍.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①由两条射线组成的图形叫作角；
②角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关；
③角的两边是两条射线；
④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数也扩大10倍.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道角的相关概念辨析题，解题的核心思路是紧扣课本中角的定义与性质，逐个对4个说法进行正误判断：首先回忆角的完整定义，排查表述是否遗漏必要条件，再结合角的大小的相关性质判断剩余说法，最后统计正确说法的总数即可选出答案。
【解析】
我们逐个判断4个表述的正误：
1. 对于①：角的准确定义是“有公共端点的两条射线组成的图形”，该表述没有提及两条射线需要有公共端点，若两条射线没有公共端点，无法组成角，因此①错误。
2. 对于②：角的两条边本身是射线，可无限延伸，因此角的大小和边的实际长短没有关系，仅由两条边张开的程度决定，因此②正确。
3. 对于③：根据角的定义，角的两条边就是从公共端点出发的两条射线，因此③正确。
4. 对于④：放大镜只能放大图形的线条长度、视觉上的画面大小，不会改变两条边的张开程度，因此角的度数不会发生变化，④错误。
综上，正确的说法是②和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
角的定义，角的大小性质
【点评】
本题属于几何入门的基础概念考题，易错点集中在两个地方：一是容易忽略角的定义里“公共端点”这个必要前提，误判①为正确；二是凭直观感受误以为放大镜会放大角度，误判④正确。解题时要严格对照概念的完整表述，不要凭主观直觉下结论。
【难度系数】
0.7
这是一道角的相关概念辨析题，解题的核心思路是紧扣课本中角的定义与性质，逐个对4个说法进行正误判断：首先回忆角的完整定义，排查表述是否遗漏必要条件，再结合角的大小的相关性质判断剩余说法，最后统计正确说法的总数即可选出答案。
【解析】
我们逐个判断4个表述的正误：
1. 对于①：角的准确定义是“有公共端点的两条射线组成的图形”，该表述没有提及两条射线需要有公共端点，若两条射线没有公共端点，无法组成角，因此①错误。
2. 对于②：角的两条边本身是射线，可无限延伸，因此角的大小和边的实际长短没有关系，仅由两条边张开的程度决定，因此②正确。
3. 对于③：根据角的定义，角的两条边就是从公共端点出发的两条射线，因此③正确。
4. 对于④：放大镜只能放大图形的线条长度、视觉上的画面大小，不会改变两条边的张开程度，因此角的度数不会发生变化，④错误。
综上，正确的说法是②和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
角的定义，角的大小性质
【点评】
本题属于几何入门的基础概念考题，易错点集中在两个地方：一是容易忽略角的定义里“公共端点”这个必要前提，误判①为正确；二是凭直观感受误以为放大镜会放大角度，误判④正确。解题时要严格对照概念的完整表述，不要凭主观直觉下结论。
【难度系数】
0.7
3. 如图1中有1个角,图2中有3个角,图3中有6个角……以此类推,图$n$中角的个数是（
… 
A.$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$
B.$\dfrac{n(n-1)}{2}$
C.$\dfrac{n(n+1)}{2}$
D.$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
C
） … A.$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$
B.$\dfrac{n(n-1)}{2}$
C.$\dfrac{n(n+1)}{2}$
D.$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
答案
3. C
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路可以分两种：第一种是特殊值代入排除法，先把题干给出的前3个图对应的n值和角的个数对应好，再把n=1、2、3依次代入四个选项，不符合已知数值的直接排除，剩下的就是正确答案；第二种是直接找数列的规律，观察1、3、6这几个数的特征，发现它们是从1开始的连续正整数的累加和，再用等差数列求和公式就能直接推导出通项公式，两种方法都很容易验证结果的正确性。
【解析】
我们先整理题干给出的对应关系：
1. 图1对应n=1，角的个数为1；
2. 图2对应n=2，角的个数为3；
3. 图3对应n=3，角的个数为6。
方法一：代入验证法
将n=1分别代入四个选项：
选项A：$\frac{(1-1)(1-2)}{2}=0$，和已知的1不符，排除；
选项B：$\frac{1×(1-1)}{2}=0$，和已知的1不符，排除；
选项C：$\frac{1×(1+1)}{2}=1$，符合已知条件；
选项D：$\frac{(1+1)(1+2)}{2}=3$，和已知的1不符，排除。
再将n=2、n=3代入选项C验证：
n=2时，$\frac{2×(2+1)}{2}=3$，符合图2的角的数量；
n=3时，$\frac{3×(3+1)}{2}=6$，符合图3的角的数量，完全匹配题干规律。
方法二：规律推导
观察角的数量的数值特征：
第1个图：$1=1$
第2个图：$3=1+2$
第3个图：$6=1+2+3$
以此类推，第n个图的角的总数是从1到n的所有正整数的和，根据等差数列求和公式，总和为：
$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于基础的规律类题型，解题门槛较低，既可以通过特殊值代入快速排除错误选项得到答案，也可以结合共顶点射线数的角计数原理推导通项，能帮助学生巩固数列规律探究的基本思路，特殊值代入法是做这类选择题的高效技巧，能有效避免推导过程中出现的计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道图形规律探究题，解题思路可以分两种：第一种是特殊值代入排除法，先把题干给出的前3个图对应的n值和角的个数对应好，再把n=1、2、3依次代入四个选项，不符合已知数值的直接排除，剩下的就是正确答案；第二种是直接找数列的规律，观察1、3、6这几个数的特征，发现它们是从1开始的连续正整数的累加和，再用等差数列求和公式就能直接推导出通项公式，两种方法都很容易验证结果的正确性。
【解析】
我们先整理题干给出的对应关系：
1. 图1对应n=1，角的个数为1；
2. 图2对应n=2，角的个数为3；
3. 图3对应n=3，角的个数为6。
方法一：代入验证法
将n=1分别代入四个选项：
选项A：$\frac{(1-1)(1-2)}{2}=0$，和已知的1不符，排除；
选项B：$\frac{1×(1-1)}{2}=0$，和已知的1不符，排除；
选项C：$\frac{1×(1+1)}{2}=1$，符合已知条件；
选项D：$\frac{(1+1)(1+2)}{2}=3$，和已知的1不符，排除。
再将n=2、n=3代入选项C验证：
n=2时，$\frac{2×(2+1)}{2}=3$，符合图2的角的数量；
n=3时，$\frac{3×(3+1)}{2}=6$，符合图3的角的数量，完全匹配题干规律。
方法二：规律推导
观察角的数量的数值特征：
第1个图：$1=1$
第2个图：$3=1+2$
第3个图：$6=1+2+3$
以此类推，第n个图的角的总数是从1到n的所有正整数的和，根据等差数列求和公式，总和为：
$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于基础的规律类题型，解题门槛较低，既可以通过特殊值代入快速排除错误选项得到答案，也可以结合共顶点射线数的角计数原理推导通项，能帮助学生巩固数列规律探究的基本思路，特殊值代入法是做这类选择题的高效技巧，能有效避免推导过程中出现的计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知两个角 $α,β$ 都是钝角，若四个人根据$α,β$ 的数值计算出$\dfrac{1}{6}(α+β)$的结果分别为$26°,53°,60°,91°,$尽管不知道 $α,β$ 的数值，但可确定其中错误的结果有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. C 提示:因为 α,β 都是钝角,所以 90°＜α＜180°,90°＜β＜180°,所以 180°＜α+β＜360°,则 30°＜1/6(α+β)＜60°,所以只有 53°正确.
解析
【分析】
首先我们先明确钝角的定义，钝角是大于90°且小于180°的角，由此先分别写出α、β的取值范围，再通过不等式的同向可加性得到α+β的整体取值范围，之后将这个范围同时除以6，就能得到$\frac{1}{6}(α+β)$的准确取值区间，最后把题目给出的四个结果逐一和这个区间比对，不在区间内的就是错误结果，统计错误结果的数量就能得到答案。整个过程不需要知道α、β的具体数值，仅通过范围估算就可以完成判断。
【解析】
解：
1. 确定单个钝角的范围：
因为α、β都是钝角，根据钝角的定义可得：
$90° ＜ α ＜ 180°$，$90° ＜ β ＜ 180°$
2. 求$α+β$的取值范围：
根据不等式的同向相加性质，将两个不等式左右两边分别相加：
$90°+90° ＜ α+β ＜ 180°+180°$
即 $180° ＜ α+β ＜ 360°$
3. 求$\frac{1}{6}(α+β)$的取值范围：
将上述不等式三边同时除以6，不等号方向不变：
$\frac{180°}{6} ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ \frac{360°}{6}$
化简得：$30° ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ 60°$
4. 比对四个计算结果：
给出的四个结果26°、53°、60°、91°中，只有53°落在$30°$到$60°$的开区间内，其余26°、60°、91°均不符合要求，因此错误的结果共有3个。
【答案】C
【知识点】钝角定义，不等式性质
【点评】本题属于角的范围估算类基础题，核心思路是利用已知角的取值范围，通过不等式的运算推导出目标代数式的取值范围，无需计算α、β的具体值即可完成判断，解题时要注意钝角的范围是开区间，边界90°和180°都无法取到，避免误将60°判定为合法结果。
【难度系数】0.7
首先我们先明确钝角的定义，钝角是大于90°且小于180°的角，由此先分别写出α、β的取值范围，再通过不等式的同向可加性得到α+β的整体取值范围，之后将这个范围同时除以6，就能得到$\frac{1}{6}(α+β)$的准确取值区间，最后把题目给出的四个结果逐一和这个区间比对，不在区间内的就是错误结果，统计错误结果的数量就能得到答案。整个过程不需要知道α、β的具体数值，仅通过范围估算就可以完成判断。
【解析】
解：
1. 确定单个钝角的范围：
因为α、β都是钝角，根据钝角的定义可得：
$90° ＜ α ＜ 180°$，$90° ＜ β ＜ 180°$
2. 求$α+β$的取值范围：
根据不等式的同向相加性质，将两个不等式左右两边分别相加：
$90°+90° ＜ α+β ＜ 180°+180°$
即 $180° ＜ α+β ＜ 360°$
3. 求$\frac{1}{6}(α+β)$的取值范围：
将上述不等式三边同时除以6，不等号方向不变：
$\frac{180°}{6} ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ \frac{360°}{6}$
化简得：$30° ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ 60°$
4. 比对四个计算结果：
给出的四个结果26°、53°、60°、91°中，只有53°落在$30°$到$60°$的开区间内，其余26°、60°、91°均不符合要求，因此错误的结果共有3个。
【答案】C
【知识点】钝角定义，不等式性质
【点评】本题属于角的范围估算类基础题，核心思路是利用已知角的取值范围，通过不等式的运算推导出目标代数式的取值范围，无需计算α、β的具体值即可完成判断，解题时要注意钝角的范围是开区间，边界90°和180°都无法取到，避免误将60°判定为合法结果。
【难度系数】0.7
5. 某教科局提出开展“三有课堂”,在某中学一节体现“三有课堂”公开展示课上,李老师展示了一幅图,条件是:C 为直线 AB 上一点,$∠ DCE$ 为直角,CF 平分$∠ ACD$,CH平分$∠ BCD$,CG 平分$∠ BCE$,各个小组经过讨论后得到以下结论:①$∠ ACF$与$∠ BCH$互余;②$∠ FCG$与$∠ HCG$互补;③$∠ ECF$与$∠ HCG$互补;④$∠ ACD - ∠ BCE=90°$.其中正确的结论有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. C 提示:因为 CF 平分∠ACD,CH 平分∠BCD,CG 平分∠BCE,所以 ∠ACF = ∠FCD = 1/2∠ACD,∠DCH = ∠HCB = 1/2∠DCB,∠BCG = ∠ECG = 1/2∠BCE. 因为 ∠ACB = 180°,∠DCE = 90°,所以∠FCH = 90°,∠HCG = 45°,所以∠FCG = 135°. 所以∠ACF + ∠BCH = 90°,∠FCG + ∠HCG = 180°,故①②正确. 又因为∠FCG ＜ ∠ECF,所以∠ECF 与∠HCG 不互补,故 ③ 错误. 易知 ∠ACD − ∠BCE = 180°−∠DCB−∠BCE=90°,故④正确.综上所述,正确的结论有①②④,共3个.
解析
【分析】
我们可以先从题目给出的已知条件入手：首先C是直线AB上的点，说明∠ACB是180°的平角，∠DCE是90°的直角，同时有三条角平分线。第一步先根据角平分线的定义，把所有被平分的角都用对应大角的二分之一表示出来；第二步先推导几个固定的角的度数：比如∠FCH是平角∠ACB的一半，等于90°，∠HCG是直角∠DCE的一半，等于45°；第三步逐个验证四个结论，判断每个结论是否成立，最后统计正确结论的数量即可选出答案。
【解析】
解：已知CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，根据角平分线的定义可得：
$∠ ACF = ∠ FCD = \frac{1}{2}∠ ACD$，
$∠ DCH = ∠ HCB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
$∠ BCG = ∠ ECG = \frac{1}{2}∠ BCE$。
1. 验证结论①：
因为C在直线AB上，所以$∠ ACD + ∠ BCD = ∠ ACB = 180°$，
因此$∠ ACF + ∠ BCH = \frac{1}{2}∠ ACD + \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ ACD+∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
即$∠ ACF$与$∠ BCH$互余，结论①正确。
2. 验证结论②：
已知$∠ DCE=90°$，即$∠ BCD + ∠ BCE = ∠ DCE=90°$，
因此$∠ HCG = ∠ HCB + ∠ BCG = \frac{1}{2}∠ BCD + \frac{1}{2}∠ BCE = \frac{1}{2}(∠ BCD+∠ BCE) = \frac{1}{2}×90°=45°$，
又$∠ FCH = ∠ FCD + ∠ DCH = \frac{1}{2}(∠ ACD+∠ BCD)=90°$，因此$∠ FCG = ∠ FCH + ∠ HCG = 90°+45°=135°$，
可得$∠ FCG + ∠ HCG = 135°+45°=180°$，二者互补，结论②正确。
3. 验证结论③：
$∠ ECF = ∠ FCD + ∠ DCE + ∠ ECG$，显然$∠ ECF＞90°$，结合$∠ HCG=45°$，可得$∠ ECF + ∠ HCG ＞ 135°$，该和值随$∠ BCD$变化，不可能恒为$180°$，因此二者不互补，结论③错误。
4. 验证结论④：
因为$∠ ACD = 180° - ∠ BCD$，代入得：
$∠ ACD - ∠ BCE = 180° - ∠ BCD - ∠ BCE = 180° - (∠ BCD+∠ BCE) = 180° - 90°=90°$，
结论④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线定义，余角补角性质，平角直角计算
【点评】
本题属于角的相关计算综合题，解题核心是利用角平分线的性质，将分散的角整合为已知的平角、直角的分数形式，快速推导得到固定角度，逐个验证结论即可。需要注意不要凭直觉判断③的正误，要通过角度和的推导确认是否恒满足互补关系。
【难度系数】
0.6
我们可以先从题目给出的已知条件入手：首先C是直线AB上的点，说明∠ACB是180°的平角，∠DCE是90°的直角，同时有三条角平分线。第一步先根据角平分线的定义，把所有被平分的角都用对应大角的二分之一表示出来；第二步先推导几个固定的角的度数：比如∠FCH是平角∠ACB的一半，等于90°，∠HCG是直角∠DCE的一半，等于45°；第三步逐个验证四个结论，判断每个结论是否成立，最后统计正确结论的数量即可选出答案。
【解析】
解：已知CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，根据角平分线的定义可得：
$∠ ACF = ∠ FCD = \frac{1}{2}∠ ACD$，
$∠ DCH = ∠ HCB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
$∠ BCG = ∠ ECG = \frac{1}{2}∠ BCE$。
1. 验证结论①：
因为C在直线AB上，所以$∠ ACD + ∠ BCD = ∠ ACB = 180°$，
因此$∠ ACF + ∠ BCH = \frac{1}{2}∠ ACD + \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ ACD+∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
即$∠ ACF$与$∠ BCH$互余，结论①正确。
2. 验证结论②：
已知$∠ DCE=90°$，即$∠ BCD + ∠ BCE = ∠ DCE=90°$，
因此$∠ HCG = ∠ HCB + ∠ BCG = \frac{1}{2}∠ BCD + \frac{1}{2}∠ BCE = \frac{1}{2}(∠ BCD+∠ BCE) = \frac{1}{2}×90°=45°$，
又$∠ FCH = ∠ FCD + ∠ DCH = \frac{1}{2}(∠ ACD+∠ BCD)=90°$，因此$∠ FCG = ∠ FCH + ∠ HCG = 90°+45°=135°$，
可得$∠ FCG + ∠ HCG = 135°+45°=180°$，二者互补，结论②正确。
3. 验证结论③：
$∠ ECF = ∠ FCD + ∠ DCE + ∠ ECG$，显然$∠ ECF＞90°$，结合$∠ HCG=45°$，可得$∠ ECF + ∠ HCG ＞ 135°$，该和值随$∠ BCD$变化，不可能恒为$180°$，因此二者不互补，结论③错误。
4. 验证结论④：
因为$∠ ACD = 180° - ∠ BCD$，代入得：
$∠ ACD - ∠ BCE = 180° - ∠ BCD - ∠ BCE = 180° - (∠ BCD+∠ BCE) = 180° - 90°=90°$，
结论④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线定义，余角补角性质，平角直角计算
【点评】
本题属于角的相关计算综合题，解题核心是利用角平分线的性质，将分散的角整合为已知的平角、直角的分数形式，快速推导得到固定角度，逐个验证结论即可。需要注意不要凭直觉判断③的正误，要通过角度和的推导确认是否恒满足互补关系。
【难度系数】
0.6
6. 若一个角的余角的2倍比这个角的补角的
$\dfrac{1}{2}$少$27°$,则这个角的度数为
$\dfrac{1}{2}$少$27°$,则这个角的度数为
78°
.答案
6. 78° 提示:设这个角的度数为 x°,则余角为(90−x)°,补角为(180−x)°.根据题意,得1/2(180−x)−2(90−x)=27,解得 x=78.
解析
【分析】
这是一道角度相关的计算问题，我们优先用方程法求解：第一步先设未知角的度数为$x°$，第二步结合余角、补角的定义，用含$x$的代数式分别表示出这个角的余角和补角：互为余角的两个角和为$90°$，因此余角为$(90-x)°$；互为补角的两个角和为$180°$，因此补角为$(180-x)°$。第三步把题目中的文字条件转化为数学等式：“余角的2倍比这个角的补角的$\frac{1}{2}$少$27°$”，等价于“补角的$\frac{1}{2}$减去余角的2倍等于$27°$”，列出对应一元一次方程后求解$x$，就能得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，
根据余角、补角的定义，可得该角的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(180-x) - 2(90-x) = 27$
去括号得：$90 - \frac{1}{2}x - 180 + 2x = 27$
合并同类项得：$\frac{3}{2}x - 90 = 27$
移项整理得：$\frac{3}{2}x = 117$
解得：$x=78$
即这个角的度数为$78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
余角定义，补角定义，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础角度计算题型，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，将文字描述精准转化为一元一次方程即可求解，解题时注意不要混淆余角和补角的对应表达式，避免列方程时数量关系出错。
【难度系数】
0.8
这是一道角度相关的计算问题，我们优先用方程法求解：第一步先设未知角的度数为$x°$，第二步结合余角、补角的定义，用含$x$的代数式分别表示出这个角的余角和补角：互为余角的两个角和为$90°$，因此余角为$(90-x)°$；互为补角的两个角和为$180°$，因此补角为$(180-x)°$。第三步把题目中的文字条件转化为数学等式：“余角的2倍比这个角的补角的$\frac{1}{2}$少$27°$”，等价于“补角的$\frac{1}{2}$减去余角的2倍等于$27°$”，列出对应一元一次方程后求解$x$，就能得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，
根据余角、补角的定义，可得该角的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(180-x) - 2(90-x) = 27$
去括号得：$90 - \frac{1}{2}x - 180 + 2x = 27$
合并同类项得：$\frac{3}{2}x - 90 = 27$
移项整理得：$\frac{3}{2}x = 117$
解得：$x=78$
即这个角的度数为$78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
余角定义，补角定义，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础角度计算题型，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，将文字描述精准转化为一元一次方程即可求解，解题时注意不要混淆余角和补角的对应表达式，避免列方程时数量关系出错。
【难度系数】
0.8
7. 如图,射线$OC$在$∠ AOB$的内部,且$∠ AOB=72°$,若$∠ AOB$,$∠ AOC$,$∠ BOC$三个角中,有一个角的度数是另一个角度数的2倍,则$∠ AOC$的度数为
24°或36°或48°
.答案
7. 24°或 36°或 48° 提示:当∠BOC = 2∠AOC 时,由∠BOC + ∠AOC = ∠AOB = 72°,得3∠AOC=72°,即∠AOC = 24°;当∠AOB = 2∠AOC 时,∠AOC=1/2∠AOB=36°;当∠AOB = 2∠BOC 时,∠BOC=1/2∠AOB=36°,所以∠AOC = ∠AOB − ∠BOC = 36°;当∠AOC = 2∠BOC 时,由∠BOC + ∠AOC = ∠AOB = 72°,得3/2∠AOC=72°,即∠AOC=48°.综上所述,∠AOC 的度数为 24°或 36°或 48°.
解析
【分析】
这道题的核心是利用OC在∠AOB内部的前提，先得到∠AOC与∠BOC的和等于已知的∠AOB=72°，再结合“三个角中一个角是另一个的2倍”的条件，对所有可能的倍数关系分类讨论：首先排除不可能的情况（∠AOC或∠BOC不可能是∠AOB的2倍，两个小角都小于∠AOB），再逐一验证剩余的所有合法倍数关系，计算出对应的∠AOC取值，最后去重得到全部符合条件的结果，避免漏解。
【解析】
已知射线OC在∠AOB内部，因此满足角的和差关系：
$∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = 72°$
我们对所有“一个角是另一个角的2倍”的合法情况逐一讨论：
1. 当$∠ BOC = 2∠ AOC$时，代入和差关系得：
$$∠ AOC + 2∠ AOC = 72°$ $$3∠ AOC =72°$
解得$∠ AOC=24°$，符合条件。
2. 当$∠ AOB = 2∠ AOC$时，直接计算得：
$$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×72°=36°$ 此时$∠ BOC=72°-36°=36°$，符合条件。3. 当$∠ AOB = 2∠ BOC$时，计算得： $$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=36°$
因此$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC =72°-36°=36°$，和上一种情况结果重复。
4. 当$∠ AOC = 2∠ BOC$时，可得$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，代入和差关系得：
$$∠ AOC + \frac{1}{2}∠ AOC =72°$ $$\frac{3}{2}∠ AOC=72°$
解得$∠ AOC=48°$，符合条件。
综上，所有符合条件的$∠ AOC$的度数为$24°$、$36°$、$48°$。
【答案】
$24°$或$36°$或$48°$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想，角的倍数关系
【点评】
本题属于角度计算的易错题，很多同学容易遗漏“两个小角之间互为2倍”的两种情况，只得到36°这一个结果，解题时要先把所有合法的倍数关系全部枚举列出，逐一计算验证，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.4
这道题的核心是利用OC在∠AOB内部的前提，先得到∠AOC与∠BOC的和等于已知的∠AOB=72°，再结合“三个角中一个角是另一个的2倍”的条件，对所有可能的倍数关系分类讨论：首先排除不可能的情况（∠AOC或∠BOC不可能是∠AOB的2倍，两个小角都小于∠AOB），再逐一验证剩余的所有合法倍数关系，计算出对应的∠AOC取值，最后去重得到全部符合条件的结果，避免漏解。
【解析】
已知射线OC在∠AOB内部，因此满足角的和差关系：
$∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = 72°$
我们对所有“一个角是另一个角的2倍”的合法情况逐一讨论：
1. 当$∠ BOC = 2∠ AOC$时，代入和差关系得：
$$∠ AOC + 2∠ AOC = 72°$ $$3∠ AOC =72°$
解得$∠ AOC=24°$，符合条件。
2. 当$∠ AOB = 2∠ AOC$时，直接计算得：
$$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×72°=36°$ 此时$∠ BOC=72°-36°=36°$，符合条件。3. 当$∠ AOB = 2∠ BOC$时，计算得： $$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=36°$
因此$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC =72°-36°=36°$，和上一种情况结果重复。
4. 当$∠ AOC = 2∠ BOC$时，可得$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，代入和差关系得：
$$∠ AOC + \frac{1}{2}∠ AOC =72°$ $$\frac{3}{2}∠ AOC=72°$
解得$∠ AOC=48°$，符合条件。
综上，所有符合条件的$∠ AOC$的度数为$24°$、$36°$、$48°$。
【答案】
$24°$或$36°$或$48°$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想，角的倍数关系
【点评】
本题属于角度计算的易错题，很多同学容易遗漏“两个小角之间互为2倍”的两种情况，只得到36°这一个结果，解题时要先把所有合法的倍数关系全部枚举列出，逐一计算验证，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.4
8. 如图,取一张长方形纸片,按图中所示的方法先折叠一角,得到折痕 PO,再折叠另一角,得到折痕 QO. 若两折痕的夹角$∠ POQ=70°$,则$∠ AOB=$
40°
.答案
8. 40° 提示:设∠AOB = x°,∠POB = m°,∠AOQ = n°. 由折叠可知∠POA' = ∠POA = (m+x)°,∠B'OQ = ∠BOQ = (n+x)°. 因为∠POQ = 70°,所以 m + n + x = 70. 因为∠B'OA' = 180°,所以(m+x)+(m+x+n)+(n+x)=180,即 2(m+n+x)+x=180,所以 x=40,所以∠AOB=40°.
解析
【分析】
这是一道图形折叠类的角度计算题，解题核心思路是利用折叠的性质：折叠前后重合的对应角大小相等。首先观察到A'、O、B'三点在同一条直线上，因此平角∠A'OB'=180°，我们可以先从已知的∠POQ=70°出发，先推导两组折叠得到的等角的和，再理清各个角之间的和差关系，代入平角的度数建立等式，就能直接算出∠AOB的数值。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
∠POA' = ∠POA，∠QOB' = ∠QOB
因为A'、O、B'三点共线，平角∠A'OB'=180°，因此：
∠POA' + ∠QOB' = 180° - ∠POQ = 180° - 70° = 110°
结合折叠的等角关系，可得∠POA + ∠QOB = ∠POA' + ∠QOB' = 110°
又因为角的和差关系：∠POA + ∠QOB = ∠POQ + ∠AOB
将∠POQ=70°代入得：
110° = 70° + ∠AOB
解得∠AOB=40°
也可通过设未知数推导验证：设∠AOB = x°，∠POB = m°，∠AOQ = n°，由折叠得∠POA'=∠POA=(m+x)°，∠B'OQ=∠BOQ=(n+x)°，已知∠POQ=m+n+x=70°，结合平角180°可得(m+x)+70+(n+x)=180°，代入化简后同样可得x=40。
【答案】40°
【知识点】折叠的性质，平角定义
【点评】本题属于基础的折叠角度计算题型，解题关键是准确识别折叠对应的相等角，理清角之间的和差组成关系，利用平角为180°的性质建立等量关系即可求解，难度不大，是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】0.7
这是一道图形折叠类的角度计算题，解题核心思路是利用折叠的性质：折叠前后重合的对应角大小相等。首先观察到A'、O、B'三点在同一条直线上，因此平角∠A'OB'=180°，我们可以先从已知的∠POQ=70°出发，先推导两组折叠得到的等角的和，再理清各个角之间的和差关系，代入平角的度数建立等式，就能直接算出∠AOB的数值。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
∠POA' = ∠POA，∠QOB' = ∠QOB
因为A'、O、B'三点共线，平角∠A'OB'=180°，因此：
∠POA' + ∠QOB' = 180° - ∠POQ = 180° - 70° = 110°
结合折叠的等角关系，可得∠POA + ∠QOB = ∠POA' + ∠QOB' = 110°
又因为角的和差关系：∠POA + ∠QOB = ∠POQ + ∠AOB
将∠POQ=70°代入得：
110° = 70° + ∠AOB
解得∠AOB=40°
也可通过设未知数推导验证：设∠AOB = x°，∠POB = m°，∠AOQ = n°，由折叠得∠POA'=∠POA=(m+x)°，∠B'OQ=∠BOQ=(n+x)°，已知∠POQ=m+n+x=70°，结合平角180°可得(m+x)+70+(n+x)=180°，代入化简后同样可得x=40。
【答案】40°
【知识点】折叠的性质，平角定义
【点评】本题属于基础的折叠角度计算题型，解题关键是准确识别折叠对应的相等角，理清角之间的和差组成关系，利用平角为180°的性质建立等量关系即可求解，难度不大，是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】0.7
9. (南京市联合体期末) 如图，OC，OD 是
$∠ AOB$ 内部的两条射线，OE 平分
$∠ AOC$，OF 平分 $∠ DOB$. 若 $∠ EOF=m°$，
$∠ BOC=n°$，则 $∠ AOD=$
$m$，$n$ 的代数式表示).
$∠ AOB$ 内部的两条射线，OE 平分
$∠ AOC$，OF 平分 $∠ DOB$. 若 $∠ EOF=m°$，
$∠ BOC=n°$，则 $∠ AOD=$
(2m−n)
$°$(用含$m$，$n$ 的代数式表示).
答案
9. (2m−n) 提示:因为 OE 平分∠AOC,OF 平分∠DOB,所以 ∠AOC = 2∠COE,∠DOB = 2∠DOF,所以∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 2∠COE + 2∠DOF + ∠COD = 2∠EOF − ∠COD. 因为∠EOF = m°,∠BOC = n°,所以∠AOB = 2m° − ∠COD,所以∠AOD = ∠AOB − ∠DOB = 2m° − ∠COD − ∠DOB = 2m° − ∠BOC = (2m−n)°.
解析
【分析】
我们可以按照以下思路推导：1. 先从已知的角平分线条件出发，利用角平分线的性质得到∠AOC=2∠COE、∠DOB=2∠DOF的二倍关系；2. 将已知的∠EOF拆解为∠COE+∠COD+∠DOF，通过整体代换把∠AOB用含m的式子表示出来；3. 最后结合∠BOC的组成，将∠AOD转化为∠AOB减去∠DOB，消去中间未知的∠COD，最终得到仅含m、n的表达式，不需要单独求解每个小角的度数。
【解析】
解：
∵ OE平分∠AOC，OF平分∠DOB
∴ ∠AOC = 2∠COE，∠DOB = 2∠DOF
∵ ∠EOF = ∠COE + ∠COD + ∠DOF = m°
∴ ∠COE + ∠DOF = m° - ∠COD
又
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB
将∠AOC=2∠COE、∠DOB=2∠DOF代入得：
∠AOB = 2∠COE + 2∠DOF + ∠COD = 2(∠COE + ∠DOF) + ∠COD
把∠COE + ∠DOF = m° - ∠COD代入上式：
∠AOB = 2(m° - ∠COD) + ∠COD = 2m° - ∠COD
∵ ∠BOC = ∠COD + ∠DOB = n°，且∠AOD = ∠AOB - ∠DOB
将∠AOB=2m° - ∠COD代入得：
∠AOD = 2m° - ∠COD - ∠DOB = 2m° - (∠COD + ∠DOB) = 2m° - ∠BOC
∴ ∠AOD = (2m - n)°
【答案】
(2m - n)
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的中档题型，核心考察整体代换的解题思路，不需要逐个求解图中未知小角的具体度数，通过将多个角的和作为整体代入化简，即可消去中间未知量快速得到结果，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
我们可以按照以下思路推导：1. 先从已知的角平分线条件出发，利用角平分线的性质得到∠AOC=2∠COE、∠DOB=2∠DOF的二倍关系；2. 将已知的∠EOF拆解为∠COE+∠COD+∠DOF，通过整体代换把∠AOB用含m的式子表示出来；3. 最后结合∠BOC的组成，将∠AOD转化为∠AOB减去∠DOB，消去中间未知的∠COD，最终得到仅含m、n的表达式，不需要单独求解每个小角的度数。
【解析】
解：
∵ OE平分∠AOC，OF平分∠DOB
∴ ∠AOC = 2∠COE，∠DOB = 2∠DOF
∵ ∠EOF = ∠COE + ∠COD + ∠DOF = m°
∴ ∠COE + ∠DOF = m° - ∠COD
又
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB
将∠AOC=2∠COE、∠DOB=2∠DOF代入得：
∠AOB = 2∠COE + 2∠DOF + ∠COD = 2(∠COE + ∠DOF) + ∠COD
把∠COE + ∠DOF = m° - ∠COD代入上式：
∠AOB = 2(m° - ∠COD) + ∠COD = 2m° - ∠COD
∵ ∠BOC = ∠COD + ∠DOB = n°，且∠AOD = ∠AOB - ∠DOB
将∠AOB=2m° - ∠COD代入得：
∠AOD = 2m° - ∠COD - ∠DOB = 2m° - (∠COD + ∠DOB) = 2m° - ∠BOC
∴ ∠AOD = (2m - n)°
【答案】
(2m - n)
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的中档题型，核心考察整体代换的解题思路，不需要逐个求解图中未知小角的具体度数，通过将多个角的和作为整体代入化简，即可消去中间未知量快速得到结果，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
