8.下表是当$x$取不同值时对应的整式$ax+3b$的值，小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则$a,b$的值分别为 （）


A.$a=-2,b=-1$
B.$a=2,b=-1$
C.$a=-2,b=1$
D.$a=2,b=1$

8.C 解析:由题意,得$\begin{cases} a+3b=1,① \\ 2a+3b=-1,② \end{cases}$②-①,得$a=-2$,将其代入①,得$-2+3b=1$,解得$b=1$。

【分析】要确定a、b的值，需利用表格中已知的x和对应的整式$ax+3b$的值，将其代入整式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b。首先选取两组明确的x与对应值，代入后建立方程组，再通过加减消元法求解。
【解析】根据表格信息，当$x=1$时，$ax+3b=1$，可得方程：$a + 3b = 1$ ①；当$x=2$时，$ax+3b=-1$，可得方程：$2a + 3b = -1$ ②。用方程②减去方程①，消去未知数b：$(2a + 3b) - (a + 3b) = -1 - 1$，化简得$a = -2$。将$a=-2$代入方程①：$-2 + 3b = 1$，解得$3b=3$，即$b=1$。因此$a=-2$，$b=1$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组、整式求值
【点评】本题通过整式的对应值建立二元一次方程组，考查了二元一次方程组的解法，属于基础应用题，解题关键是准确选取已知条件建立方程组。
【难度系数】0.6

9. 如图,已知直线$AB// CD$,点$E,F$分别是$AB,CD$上的两点。点$H$在直线$AB$的上方,$∠ CFG:∠ CFH=1:3$,$EB$平分$∠ HEG$,当$∠ G-∠ H=80°$时,$∠ CFG$的度数为（）

A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$

9.D 解析:如图,过点$H$作$HQ // AB$,过点$G$作$GK // CD$。设$∠CFG=α$,$∠HEB=β$。因为$∠CFG:∠CFH=1:3$,所以$∠CFH=3α$。因为$EB$平分$∠HEG$,所以$∠BEG=∠HEB=β$。易得$HQ // AB // CD // GK$,所以$∠QHF=180°-∠CFH=180°-3α$,$∠QHE=∠HEB=β$,$∠KGF=∠CFG=α$,$∠EGK=180°-∠BEG=180°-β$,所以$∠EHF=∠QHF-∠QHE=180°-3α-β$,$∠EGF=∠EGK+∠KGF=180°-β+α$,又因为$∠EGF-∠EHF=80°$,所以$180°-β+α-(180°-3α-β)=80°$,解得$α=20°$,即$∠CFG$的度数为$20°$。

【分析】
本题是结合平行线性质、角平分线定义的角度计算问题，解题思路是：通过设未知数表示相关角度，利用平行线的性质作辅助线将分散的角联系起来，再结合已知的角度差建立方程求解。首先设∠CFG为α，根据比例关系得到∠CFH，再由角平分线定义设出∠HEB，通过作辅助线构造平行关系，将∠H和∠G用含α的式子表示，最后根据∠G - ∠H=80°列方程计算α的值。
【解析】
设∠CFG=α，
∵∠CFG:∠CFH=1:3，
∴∠CFH=3α。
∵EB平分∠HEG，
∴设∠HEB=∠BEG=β。
过点H作HQ//AB，过点G作GK//CD，
∵AB//CD，
∴HQ//AB//CD//GK。
根据平行线的性质：
1. HQ//AB，得∠QHE=∠HEB=β；HQ//CD，得∠QHF + ∠CFH=180°，即∠QHF=180°-3α，
∴∠EHF=∠QHF - ∠QHE=180°-3α - β；
2. GK//CD，得∠KGF=∠CFG=α；GK//AB，得∠EGK + ∠BEG=180°，即∠EGK=180°-β，
∴∠EGF=∠EGK + ∠KGF=180°-β + α。
已知∠EGF - ∠EHF=80°，代入得：
(180° - β + α) - (180° - 3α - β)=80°，
化简得：4α=80°，解得α=20°，即∠CFG=20°。
【答案】D
【知识点】平行线的性质、角平分线的定义
【点评】本题通过作辅助线构造平行关系，将分散的角转化为可计算的表达式，结合方程思想求解，考查了平行线性质与角平分线的综合应用，需要学生具备几何转化和代数计算的结合能力。
【难度系数】0.4

10.一次数学探究活动中,老师给出了两个二次多项式$2x^2+px+c,-x^2+qx+c$(其中$p,q,c$均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息,如下表所示：

(说明:$a,b$均为不等于零的常数)
有学生探究得到以下四个结论:①当$c=2b$时,$p-q=3$;②当$\frac{p}{q}=3$时,$5a=4b$;③当$a^2+b^2=2$时,$p^2=8+4c$;④$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{q}{c}$。以上结论中正确的序号是 （）

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

10.A 解析:由题意,得$2(x+a)(x+b)=2x^2+2bx+2ax+2ab=2x^2+(2b+2a)x+2ab=2x^2+px+c$,所以$p=2b+2a$,$c=2ab$;$(x+a)(-x+2b)=-x^2+2bx-ax+2ab=-x^2+(2b-a)x+2ab=-x^2+qx+c$,所以$q=2b-a$。当$c=2b$时,$a=1$,此时$p=2b+2$,$q=2b-1$,所以$p-q=3$,①正确;当$\frac{p}{q}=3$时,$\frac{2b+2a}{2b-a}=3$,所以$2b+2a=6b-3a$,所以$5a=4b$,②正确;当$a^2+b^2=2$时,$p^2=(2b+2a)^2=4b^2+8ab+4a^2=4(a^2+b^2)+8ab=8+8ab=8+4c$,③正确;因为$\frac{q}{c}=\frac{2b-a}{2ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{2b} ≠ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}$,所以④不正确。故结论中正确的序号是①②③。

【分析】
要解决本题，需先根据给出的因式分解结果展开多项式，利用“多项式相等则对应项系数相等”的性质，得出p、q、c与a、b的关系，再逐个验证四个结论的正确性。
【解析】
1. 展开因式分解式，推导参数关系：
对$2(x+a)(x+b)$展开：$2(x+a)(x+b)=2(x^2+(a+b)x+ab)=2x^2+2(a+b)x+2ab$，与$2x^2+px+c$对比，得$p=2(a+b)$，$c=2ab$；
对$(x+a)(-x+2b)$展开：$(x+a)(-x+2b)=-x^2+(2b-a)x+2ab$，与$-x^2+qx+c$对比，得$q=2b-a$，且$c=2ab$（与前式一致，验证参数关系）。
2. 逐个验证结论：
①当$c=2b$时，由$c=2ab$得$2ab=2b$，因$b≠0$，化简得$a=1$。此时$p=2(1+b)=2b+2$，$q=2b-1$，则$p-q=(2b+2)-(2b-1)=3$，故①正确；
②当$\frac{p}{q}=3$时，代入$p=2(a+b)$、$q=2b-a$，得$\frac{2(a+b)}{2b-a}=3$，整理得$2(a+b)=3(2b-a)$，展开后$2a+2b=6b-3a$，移项得$5a=4b$，故②正确；
③当$a^2+b^2=2$时，$p^2=[2(a+b)]^2=4(a^2+2ab+b^2)=4[(a^2+b^2)+2ab]$，代入$a^2+b^2=2$和$2ab=c$，得$p^2=4(2+c)=8+4c$，故③正确；
④计算$\frac{q}{c}$：$\frac{q}{c}=\frac{2b-a}{2ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}$，显然不等于$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$，故④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、多项式乘法、代数式求值
【点评】
本题通过因式分解的展开式建立参数关系，考查多项式相等的性质与代数式变形能力，需准确推导参数间联系，逐一验证结论，避免计算失误。
【难度系数】
0.5

11.因式分解：$a - a^2 =$。

11.a(1-a)

【分析】本题是因式分解题，观察式子$a - a^2$，两项都含有公因式$a$，解题思路是先提取公因式，将公因式$a$提出后整理剩余部分即可得到结果。
【解析】对$a - a^2$提取公因式$a$，可得：$a(1 - a)$。
【答案】$a(1 - a)$
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题考查基础的因式分解提公因式法，属于简单题型，只要掌握提取公因式的基本方法就能快速解答。
【难度系数】0.9

12. 在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频率为。

12.0.5

【分析】
计算字母“e”的频率，需依据频率公式：频率 = 字母“e”的频数 ÷ 所有字母的总个数。解题时先确定“DeepSeek”的字母总数，再统计其中“e”的个数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 统计“DeepSeek”的字母总数：该单词的字母依次为D、e、e、p、S、e、e、k，共8个字母；
2. 统计字母“e”的频数：其中“e”出现了4次；
3. 代入频率公式计算：频率 = 4 ÷ 8 = 0.5。
【答案】
0.5
【知识点】
频数与频率
【点评】
本题考查频率的基础计算，核心是准确数出字母总数和目标字母的个数，属于简单基础题，易得分。
【难度系数】
0.8

13.若关于$x$的分式方程$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{x-2}{3-x}=2$有增根，则增根是$\underline{\hspace{5em}}$。

13.x=3

【分析】
要确定分式方程的增根，需明确增根的核心定义：分式方程的增根是去分母后所得整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，导致原分式无意义。解题思路为：先找出使原分式分母为0的未知数的值（这是增根的可能值），再将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程后，验证解是否为使分母为0的值，若是则为增根。
【解析】
解：1. 确定增根的可能值：原分式方程的分母为$x-3$和$3-x$，令分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$，这是增根的候选值。
2. 去分母化为整式方程：将原方程变形为$\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{x-2}{x-3}=2$，两边同乘最简公分母$(x-3)$，去分母得：
$1 - (x - 2) = 2(x - 3)$
3. 解整式方程：去括号得$1 - x + 2 = 2x - 6$，移项合并同类项得$-3x = -9$，解得$x=3$。
4. 验证增根：将$x=3$代入原分式方程的分母，$x-3=0$，说明$x=3$使原分式无意义，因此$x=3$是该分式方程的增根。
【答案】
x=3
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的基础概念，解题关键是掌握增根的判定方法，属于分式方程章节的常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.5

14. 一个长、宽分别为$ a,b $的长方形的周长为20，面积为24，则$ a^2b + ab^2 $的值为。

14.240

【分析】
首先根据长方形的周长和面积公式，求出$a+b$与$ab$的值；再将所求代数式$a^2b + ab^2$通过提公因式法因式分解，转化为含有$a+b$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：根据长方形周长公式：$2(a + b) = 20$，解得$a + b = 10$；
根据长方形面积公式：$ab = 24$；
对$a^2b + ab^2$因式分解得：$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$；
将$a + b = 10$、$ab = 24$代入得：$ab(a + b) = 24×10 = 240$。
【答案】
240
【知识点】
因式分解的应用、代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心是利用提公因式法对所求代数式变形，结合已知的周长、面积条件代入计算，考查学生对因式分解和代数式求值的基本掌握。
【难度系数】
0.7

15. 如图，两面镜子AB，BC的夹角为α，一束与AB平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为β。若β=32°，则α的度数是度。

15.74 解析:如图。因为$AB // GD$,所以$∠AFH=∠GEH=∠FED=β=32°$,$∠GDC=∠B=α$,由镜面反射可得$∠BFD=∠AFH=32°$,$∠FDB=∠GDC=α$,所以$∠FDG=∠BFD=32°$。因为$∠GDC+∠FDG+∠FDB=180°$,所以$α+32°+α=180°$,解得$α=74°$。 知识补给:本题结合镜面反射考查了平行线的性质,除了熟练掌握平行线的性质外,还需掌握在镜面反射中,入射角等于反射角。

【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质和镜面反射规律（入射角等于反射角）分析角的关系：先根据镜面反射确定相等的角，再利用AB与入射光线平行得到同位角相等，最后结合平角为180°的性质建立方程，代入β的值即可求出α。
【解析】
根据镜面反射规律，入射角等于反射角，因此：
$∠ BFD = ∠ AFH = β$，$∠ FDB = ∠ GDC = α$。
又因为AB与入射光线平行，由平行线的同位角相等可知，$∠ AFH = β$。在直线BC上，$∠ GDC + ∠ FDG + ∠ FDB = 180°$，其中$∠ FDG = ∠ BFD = β$，因此：
$α + β + α = 180°$，即$2α + β = 180°$。
已知$β=32°$，代入得：
$2α + 32° = 180°$，
解得$α = \frac{180° - 32°}{2} = 74°$。
【答案】
74
【知识点】
平行线的性质，镜面反射
【点评】
本题结合镜面反射和平行线的性质，核心是利用反射角等于入射角和平行线的同位角相等，通过平角关系建立方程求解，需掌握相关几何性质，难度适中。
【难度系数】
0.5

16.为了激发学生的数学兴趣,某学校七年级举办了"数学挑战"大赛,现有小吴、小兴、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐,决赛共分为六轮,规定:每轮分别决出第1,2,3名(没有并列),对应名次的得分都分别为a，
b,c(a＞b＞c且a,b,c均为正整数)。选手最后得分为各轮得分之和,得分最高者为冠军。下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况(m为正整数)。根据题中所给信息，$m=$，小奕同学第六轮的得分为分。

16.2 2 解析:根据题意,得$6(a+b+c)=30+m+12+12-m$,所以$a+b+c=9$。若$a=5$,则$6a=30＜30+m$,所以$a＞5$,又因为$a＞b＞c$,所以$a=6$,$b=2$,$c=1$。因为小兴同学最后得分为12,1次得分为6,1次得分为2,所以剩下4轮的总分数为$12-6-2=4$(分),所以剩下4轮均得1分。因为小吴同学最后得分$30+m$,且第三轮得2分,所以小吴同学5次得6分,1次得2分,所以$m=2$。易得小奕同学第六轮的得分为2分。 解题密码:本题考查了逻辑推理能力,理解题意,分析数据间的等量关系,抓住第二轮的比赛情况是解题的关键。

【分析】首先计算三位选手六轮的总得分，得出每轮得分的总和，再结合a、b、c的大小和正整数条件确定其值；接着根据小兴的得分情况验证a、b、c的合理性，进而求出m；最后推导小奕第六轮的得分。
【解析】1. 计算总得分：三位选手最后得分相加为$(30+m)+12+(12-m)=54$，因此六轮每轮得分和$a+b+c=54÷6=9$。
2. 确定a、b、c的值：因为$a＞b＞c$且均为正整数，满足$a+b+c=9$的组合中，只有$a=6$，$b=2$，$c=1$符合要求（若$a=5$，则$b+c=4$，无法满足后续选手得分的逻辑）。
3. 求m：小兴得分12，他有1次$a=6$、1次$b=2$，剩余4轮总得分$12-6-2=4$，刚好是4次$c=1$，符合条件；小吴得分$30+m$，他有5次$a=6$和1次$b=2$，总得分$5×6+2=32$，因此$30+m=32$，解得$m=2$。
4. 求小奕第六轮得分：小奕得分$12-m=10$，他有1次$c=1$、1次$b=2$，剩余得分$10-1-2=7$，结合$b=2$、$c=1$，可知小奕剩余得分是3次$b$和1次$c$，因此第六轮得分为$b=2$分。
【答案】2；2
【知识点】逻辑推理、代数式运算
【点评】本题通过总得分的等量关系确定每轮得分和，再结合正整数的大小限制和选手得分情况推理出各名次得分，关键在于利用总得分的一致性和选手的得分分布推导未知量。
【难度系数】0.5