1. 嘉嘉在半径为 5 cm 的$\odot O$中测量弦$AB$的长度,下列测量结果一定错误的是 （）

A.4 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.11 cm

1. D 解析:
∵半径为 5 cm 的圆的直径为 10 cm,
∴在半径为 5 cm 的圆中测量弦 AB 的长度,AB 的取值范围是 0 cm＜AB≤10 cm,
∴弦 AB 的长度不可能为 11 cm.

【分析】要判断弦AB的测量结果是否错误，需先明确圆中弦的长度范围：圆的弦是连接圆上任意两点的线段，其最大长度为圆的直径。已知圆半径为5cm，先计算直径，再确定弦长的取值范围，最后对比选项即可找出错误结果。
【解析】已知⊙O的半径为5cm，根据直径与半径的关系，直径长度为2×5=10cm。在圆中，弦的长度最大等于直径的长度，因此弦AB的长度满足0cm＜AB≤10cm。逐一分析选项：A选项4cm、B选项5cm、C选项8cm均在该范围内；D选项11cm大于10cm，超出了弦长的最大可能值，所以测量结果一定错误的是D。
【答案】D
【知识点】圆的弦、直径的性质
【点评】本题考查圆中弦的基本性质，核心是掌握圆内最长的弦是直径，属于基础概念应用题目，难度较低。
【难度系数】0.7

2. 如图,已知点 A、B、C、D 都在$\odot O$上,$OB⊥ AC$,$BC=CD$,下列说法错误的是（）

A.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
B.$∠ AOD=3∠ BOC$
C.$AC=2CD$
D.$OC⊥ BD$

2. C 解析:
∵$OB⊥AC$,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,故 A 选项不符合题意;
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴$∠AOB=∠COB$,
∵$BC=CD$,
∴$∠BOC=∠DOC$,
∴$∠AOD=3∠BOC$,故 B 选项不符合题意;
∵$∠AOB=∠BOC=∠DOC$,
∴$∠AOC=∠BOD$,
∴$AC=BD$,
∵$BD＜BC+CD=2CD$,
∴$AC＜2CD$,故 C 选项符合题意;
∵$OB=OD$,$BC=DC$,
∴$OC⊥BD$,故 D 选项不符合题意.

【分析】
要判断各选项的正误，需结合圆的相关性质逐一推导：首先利用垂径定理，由OB⊥AC得到弧AB与弧BC的关系；再结合BC=CD，推导弧对应的圆心角关系；接着利用弦与弧的对应关系，结合三角形三边关系判断AC与2CD的大小；最后根据等腰三角形性质判断OC与BD的位置关系，从而确定错误选项。
【解析】
1. 分析选项A：
∵ OB⊥AC，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，故A选项说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：
由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，得对应圆心角相等，即∠AOB=∠BOC；又
∵ BC=CD，同理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，故∠BOC=∠DOC。因此∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠DOC=3∠BOC，故B选项说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：
由∠AOB=∠BOC=∠DOC，得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据“等弧对等弦”，得AC=BD。在△BCD中，根据三角形三边关系，BC+CD＞BD，又
∵ BC=CD，
∴ BD＜2CD，因此AC=BD＜2CD，故AC=2CD不成立，C选项说法错误，符合题意。
4. 分析选项D：
∵ OB=OD（⊙O的半径相等），BC=DC，
∴ 点O和点C都在BD的垂直平分线上，根据“两点确定一条直线”，得OC是BD的垂直平分线，即OC⊥BD，故D选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需熟练运用垂径定理、弧弦圆心角的对应关系，结合三角形三边关系、等腰三角形性质解题，是圆章节的基础题型，需准确掌握各定理的应用条件。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(0,3)$,点$B(2,1)$,点$C(2,-3)$,则经画图操作可知:
$△ ABC$外接圆圆心的坐标是（）

A.$(-2,-1)$
B.$(-1,0)$
C.$(-1,-1)$
D.$(0,-1)$

3. A 解析:
∵$△ABC$的外心是三角形三边垂直平分线的交点,
∴EF 与 MN 的交点$O'$即为所求$△ABC$外接圆的圆心,
∴$△ABC$外接圆圆心的坐标是$(-2,-1)$.

【分析】要确定△ABC外接圆的圆心，需明确三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需找到两条边的垂直平分线，它们的交点即为所求圆心。先根据各点坐标，分别计算BC和AB边的垂直平分线，再联立方程求交点坐标。
【解析】
1. 确定点坐标：已知A(0,3)，B(2,1)，C(2,-3)。
2. 求BC边的垂直平分线：
BC两点横坐标相同，故BC是垂直于x轴的直线，中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})=(2,-1)$。
垂直于垂直于x轴的直线的直线是平行于x轴的直线，因此BC的垂直平分线为直线$y=-1$。
3. 求AB边的垂直平分线：
AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+1}{2})=(1,2)$，AB的斜率为$\frac{1-3}{2-0}=-1$，则AB垂直平分线的斜率为1（垂直直线斜率乘积为-1）。
由点斜式得AB垂直平分线方程：$y-2=1×(x-1)$，即$y=x+1$。
4. 求交点坐标：
联立$y=-1$和$y=x+1$，代入得$-1=x+1$，解得$x=-2$，因此交点坐标为$(-2,-1)$，即△ABC外接圆圆心坐标为$(-2,-1)$。
【答案】A
【知识点】三角形外心、垂直平分线性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题考查三角形外心的性质，核心是利用垂直平分线的交点确定外心，需掌握垂直平分线的计算方法，结合坐标运算即可求解，属于基础几何题。
【难度系数】0.5

4. 如图,在半径为 5 的$\odot O$中,弦 AB 与弦 CD 互相垂直,垂足为 E. 若$AB=CD=8$,则 OE 的长为（）

A.$3\sqrt{2}$
B.3
C.4
D.$4\sqrt{2}$

4. A 解析:如图,连接 OC、OA,过点 O 分别作$OH⊥AB$于点 H,$OQ⊥CD$于点 Q.
∵$AB=CD=8$,
∴$CQ=\frac{1}{2}CD=4$,$AH=\frac{1}{2}AB=4$.
∵$OC=OA=5$,
∴$OQ=\sqrt{OC^2-CQ^2}=3$.$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=3$,
∴$OQ=OH$.
∵$AB⊥CD$,$OQ⊥CD$,$OH⊥AB$,
∴四边形 OQEH 是正方形,
∴$OH=EH=3$,
∴$OE=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.

【分析】
要计算OE的长度，需利用垂径定理求出圆心到两条弦的距离，再结合两条弦垂直的条件，判定四边形的形状，最后用勾股定理计算OE。首先，过圆心分别作两条弦的垂线，根据垂径定理得到弦长的一半，结合半径用勾股定理算出圆心到弦的距离；再由两条弦垂直，推出所作垂线形成的四边形是正方形，进而利用正方形对角线的性质求出OE。
【解析】
解：连接OA、OC，过点O分别作OH⊥AB于点H，OQ⊥CD于点Q。
∵ AB=CD=8，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ AH = $\frac{1}{2}AB = 4$，CQ = $\frac{1}{2}CD = 4$。
在Rt△OAH中，OA=5，由勾股定理得：
OH = $\sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
同理，在Rt△OCQ中，OC=5，CQ=4，
OQ = $\sqrt{OC^2 - CQ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
∵ AB⊥CD，OH⊥AB，OQ⊥CD，
∴ ∠OHE = ∠OQE = ∠HEQ = 90°，
∴ 四边形OQEH是矩形。
又
∵ OH = OQ = 3，
∴ 矩形OQEH是正方形，
∴ EH = OH = 3。
在Rt△OEH中，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OH^2 + EH^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理、正方形判定
【点评】
本题结合垂径定理、勾股定理和正方形性质，考查圆中弦长相关计算，解题关键是利用垂径定理求圆心到弦的距离，再结合垂直条件判定特殊四边形，属于圆的基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

5. 已知点 A、B 在 $\odot O$ 上,若 $∠ AOB=40°$,则 $∠ OAB$ 的度数为.

5. $70°$

【分析】首先，点A、B在⊙O上，因此OA和OB都是圆的半径，根据圆的半径相等的性质，可推出OA=OB，即△OAB为等腰三角形。已知等腰三角形的顶角∠AOB=40°，结合三角形内角和为180°以及等腰三角形两底角相等的性质，即可计算出∠OAB的度数。
【解析】
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形。根据等腰三角形两底角相等，得∠OAB=∠OBA；又
∵三角形内角和为180°，∠AOB=40°，
∴∠OAB=(180°-∠AOB)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
【答案】70°
【知识点】圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】本题是圆与等腰三角形结合的基础题，核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，再结合内角和定理计算角度，属于对基础知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.8

6. 已知圆的半径为1,弦$AB=\sqrt{2}$,则弧$AB$的度数为.

6. $90°$或$270°$ 解析:如图,连接OA、OB.
∵$OA=OB=1$,$AB=\sqrt{2}$,
∴$OA^2+OB^2=AB^2$,
∴$△OAB$为直角三角形且$∠AOB=90°$,
∴弧 AB 的度数为$90°$或$270°$.

【分析】
要确定弧AB的度数，首先连接圆的半径OA、OB，利用圆的半径相等得到OA=OB=1，结合已知弦AB的长度，通过勾股定理的逆定理求出圆心角∠AOB的度数；由于弧AB包含劣弧和优弧两种情况，分别计算对应度数即可得到结果。
【解析】
连接OA、OB，
∵圆的半径为1，
∴OA=OB=1，
已知弦AB=√2，
在△OAB中，计算得：OA² + OB² = 1² + 1² = 2，AB² = (√2)² = 2，
∴OA² + OB² = AB²，
根据勾股定理的逆定理，△OAB是直角三角形，且∠AOB=90°，
根据“圆心角的度数等于它所对弧的度数”，
劣弧AB的度数等于圆心角∠AOB的度数，即90°；
优弧AB的度数为360° - 90° = 270°，
因此弧AB的度数为90°或270°。
【答案】
90°或270°
【知识点】
圆心角与弧的度数，圆的基本性质
【点评】
本题考查圆心角与弧的度数的对应关系，解题关键是利用勾股定理逆定理求圆心角，需注意弧有劣弧和优弧两种情况，避免漏解，属于基础题但易出错。
【难度系数】
0.4

7. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,$∠ COD=35°$,则$∠ AOE$的度数为.

7. $75°$ 解析:
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,
∴$∠BOC=∠DOE=∠COD=35°$,
∴$∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°$.

【分析】要计算∠AOE的度数，首先AB是⊙O的直径，因此∠AOB为平角，等于180°；已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得出这三段弧对应的圆心角∠BOC、∠COD、∠DOE均为35°；最后用∠AOB的度数减去这三个圆心角的度数和，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。又
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，根据“同圆中，等弧所对的圆心角相等”，可得∠BOC=∠COD=∠DOE=35°。因此，∠AOE=∠AOB - ∠BOC - ∠COD - ∠DOE = 180° - 35°×3 = 75°。
【答案】75°
【知识点】圆心角与弧的关系，圆的直径性质
【点评】本题考查圆的基础性质，核心是利用等弧对等圆心角的性质，结合直径对应的平角进行计算，属于圆章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

8. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽$AB=6\ {cm}$，水的最大深度$CD=1\ {cm}$，则此管件的直径为${cm}$.

8. 10 解析:如图,连接 OA. 设$OA=OD=r$ cm.
∵$OD⊥AE$,
∴$AC=CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$(cm). 在$Rt△OCA$中,$OA^2=AC^2+OC^2$,即$r^2=3^2+(r-1)^2$,解得$r=5$,
∴$\odot O$的直径为10 cm.

【分析】
要解决这个问题，需结合圆的垂径定理和勾股定理。首先连接OA，设圆的半径为$ r \, \mathrm{cm} $，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可求出弦$ AB $的一半长度；再结合水的最大深度$ CD $，表示出直角三角形的另一条直角边$ OC $；最后在直角三角形$ OCA $中，利用勾股定理建立方程，求解半径后得到直径。
【解析】
解：连接$ OA $，设$ \odot O $的半径为$ r \, \mathrm{cm} $，则$ OA = OD = r \, \mathrm{cm} $。
∵ $ OD ⊥ AB $，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ $ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3 \, \mathrm{cm} $。
又
∵ $ CD = 1 \, \mathrm{cm} $，
∴ $ OC = OD - CD = (r - 1) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OCA $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AC^2 + OC^2 $，
即 $ r^2 = 3^2 + (r - 1)^2 $，
展开得：$ r^2 = 9 + r^2 - 2r + 1 $，
化简得：$ 2r = 10 $，
解得 $ r = 5 $。
∴ $ \odot O $的直径为 $ 2r = 2 × 5 = 10 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的实际应用问题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解圆的半径，属于基础几何计算题，需掌握垂径定理和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6

9. 如图,将$\odot O$的一部分沿着弦$AB$翻折,劣弧恰好经过圆心$O$.若$AB=6$,则$\odot O$的半径为.

9. $2\sqrt{3}$ 解析:如图,设 OC 交 AB 于点 D. 由折叠可知,AB 垂直平分 OC,
∴$OD=CD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OA$,$AB⊥OC$,
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=3$. 在$Rt△OAD$中,$OA^2=AD^2+OD^2$,
∴$OA^2=3^2+(\frac{1}{2}OA)^2$,
∴$OA=2\sqrt{3}$(负值已舍去),即$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$.

【分析】
要解决这个问题，需结合折叠性质、垂径定理和勾股定理求解：首先根据折叠的对称性，得到弦AB垂直平分圆的半径；再利用垂径定理确定AB被半径平分，得到直角三角形的边长；最后通过勾股定理建立关于半径的方程，解方程得到结果。
【解析】
设OC为⊙O的半径，OC交AB于点D。
由折叠的性质可知，AB垂直平分OC，因此OD=CD=$\frac{1}{2}$OC。
因为OC=OA（⊙O的半径），所以OD=$\frac{1}{2}$OA。
又因为AB⊥OC，根据垂径定理，AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
代入OD=$\frac{1}{2}$OA，AD=3，得：
$OA^2 = 3^2 + (\frac{1}{2}OA)^2$
整理得：$OA^2 = 9 + \frac{1}{4}OA^2$
移项化简：$\frac{3}{4}OA^2 = 9$ → $OA^2=12$
因为OA为半径，取正值，所以OA=$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
即⊙O的半径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆与折叠结合的基础题型，核心是利用折叠的对称性得到线段等量关系，结合垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解半径，考查了圆的基本性质与折叠性质的综合应用。
【难度系数】
0.6

10. 将边长为 2 的小正方形 $ABCD$ 和边长为 4 的大正方形 $EFGH$ 如图摆放,使得 $C$、$E$ 两点刚好重合,且 $B$、$C$、$H$ 三点共线,此时经过 $A$、$F$、$G$ 三点作一个圆,则该圆的半径为.

10. $2\sqrt{5}$ 解析:根据题意可知,$AB=BC=2$,$CF=CH=HG=4$. 取 CH 的中点 O,则$OC=OH=2$,$OB=4$. 连接 OA、OF、OG. 由勾股定理得$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=2\sqrt{5}$,$OF=OG=2\sqrt{5}$,
∴$OA=OF=OG$,即 O 为过 A、F、G 三点所作圆的圆心,
∴该圆的半径为$2\sqrt{5}$.

【分析】要解决这个问题，需利用圆的性质：圆心到圆上各点的距离相等，因此关键是找到到A、F、G三点距离相等的点作为圆心。先根据两个正方形的边长确定各线段长度，再结合勾股定理计算点间距离，找到满足条件的圆心，进而求出圆的半径。
【解析】根据题意，小正方形ABCD边长为2，故AB=BC=2；大正方形EFGH边长为4，故CF=HG=4，且C、E重合，B、C、H三点共线，因此CH=4。取CH的中点O，则OC=OH=2，OB=BC+OC=2+2=4。
连接OA、OF、OG：
在Rt△ABO中，由勾股定理得：OA=√(AB²+OB²)=√(2²+4²)=2√5；
在Rt△OCF中，CF⊥CH，由勾股定理得：OF=√(OC²+CF²)=√(2²+4²)=2√5；
在Rt△OHG中，HG⊥CH，由勾股定理得：OG=√(OH²+HG²)=√(2²+4²)=2√5；
因此OA=OF=OG，即点O为过A、F、G三点所作圆的圆心，该圆的半径为2√5。
【答案】2√5
【知识点】勾股定理、正方形性质、圆的性质
【点评】本题结合正方形与圆的性质，利用勾股定理确定圆心和半径，核心是运用“圆心到圆上点距离相等”的性质，考查几何分析与计算能力，难度适中。
【难度系数】0.5