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1. 数学来源于生活，生活中处处有数学. 用我们平时喝的糖水做“糖水实验”，也能验证发现一些数学结论.
(1) 糖水实验一：现有 $ a $ 克糖水，其中含有 $ b(a ＞ b ＞ 0) $ 克糖，则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为 $ \frac{b}{a} $. 若加入 $ m $ 克水，则糖水的浓度为
生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式：
(2) 糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入 $ m $ 克水”改为“加入 $ m $ 克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”，并证明此结论.
(3) 糖水实验三：请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若 $ \frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = ··· = \frac{b_n}{a_n} $，则 $ \frac{b_1 + b_2 + ··· + b_n}{a_1 + a_2 + ··· + a_n} = \frac{b_1}{a_1} $ 成立”.
(4) 设 $ a,b,c $ 为 $ △ ABC $ 的三边长，根据上述实验二的结论，求证：$ \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} ＜ 2 $.
(1) 糖水实验一：现有 $ a $ 克糖水，其中含有 $ b(a ＞ b ＞ 0) $ 克糖，则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为 $ \frac{b}{a} $. 若加入 $ m $ 克水，则糖水的浓度为
$\frac{b}{a + m}$
.生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式：
$\frac{b}{a}＞\frac{b}{a + m}$
，我们趣为“糖水不等式”.(2) 糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入 $ m $ 克水”改为“加入 $ m $ 克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”，并证明此结论.
(3) 糖水实验三：请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若 $ \frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = ··· = \frac{b_n}{a_n} $，则 $ \frac{b_1 + b_2 + ··· + b_n}{a_1 + a_2 + ··· + a_n} = \frac{b_1}{a_1} $ 成立”.
(4) 设 $ a,b,c $ 为 $ △ ABC $ 的三边长，根据上述实验二的结论，求证：$ \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} ＜ 2 $.
答案
1. (1) $\frac{b}{a + m}$ $\frac{b}{a}＞\frac{b}{a + m}$
(2) 解: 由题意, 得加人 $m$ 克糖, 糖水为 $(a + m)$ 克, 糖为 $(b + m)$ 克,
则糖水的浓度为 $\frac{b + m}{a + m}$.
∵ 糖水加糖后会变甜, 即糖水的浓度变大,
∴ $\frac{b}{a}＜\frac{b + m}{a + m}$. 证明如下:
$\begin{aligned}\frac{b + m}{a + m}-\frac{b}{a}&=\frac{(b + m)a - b(a + m)}{a(a + m)}\\&=\frac{ab + am - ab - bm}{a(a + m)}\\&=\frac{(a - b)m}{a(a + m)}.\end{aligned}$
∵ $a ＞ b$,
∴ $a - b ＞ 0$.
又
∵ $m ＞ 0$, $a + m ＞ 0$, $a ＞ 0$,
∴ $\frac{b + m}{a + m}-\frac{b}{a}＞0$, 即 $\frac{b + m}{a + m}＞\frac{b}{a}$.
(3) 解: 若有 $n$ 杯糖水, 分别是 $a_1$ 克, $a_2$ 克, $a_3$ 克, $···$, $a_n$ 克, 其中每杯中含的糖分别是 $b_1$ 克, $b_2$ 克, $b_3$ 克, $···$, $b_n$ 克, 若这 $n$ 杯糖水的浓度相同, 则 $\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=···=\frac{b_n}{a_n}$.
将这 $n$ 杯浓度相同的糖水倒在一个容器内, 根据生活经验, 糖水没有变化, 即不变甜也不变淡, 由此可以得到 $\frac{b_1 + b_2 + ··· + b_n}{a_1 + a_2 + ··· + a_n}=\frac{b_1}{a_1}$.
(4) 证明:
∵ $a$, $b$, $c$ 为 $△ ABC$ 的三边长,
∴ $a + b ＞ c$, $b + c ＞ a$, $c + a ＞ b$,
∴ $\frac{c}{a + b}＜1$, $\frac{a}{b + c}＜1$, $\frac{b}{a + c}＜1$.
∴ 由 (2) 的结论知道 $\frac{c}{a + b}＜\frac{2c}{a + b + c}$, $\frac{a}{b + c}＜\frac{2a}{a + b + c}$, $\frac{b}{c + a}＜\frac{2b}{a + b + c}$,
三式相加, 得 $\frac{c}{a + b}+\frac{a}{b + c}+\frac{b}{a + c}＜\frac{2c}{a + b + c}+\frac{2a}{a + b + c}+\frac{2b}{a + b + c}=\frac{2(a + b + c)}{a + b + c}=2$.
即 $\frac{c}{a + b}+\frac{a}{b + c}+\frac{b}{a + c}＜2$.
(2) 解: 由题意, 得加人 $m$ 克糖, 糖水为 $(a + m)$ 克, 糖为 $(b + m)$ 克,
则糖水的浓度为 $\frac{b + m}{a + m}$.
∵ 糖水加糖后会变甜, 即糖水的浓度变大,
∴ $\frac{b}{a}＜\frac{b + m}{a + m}$. 证明如下:
$\begin{aligned}\frac{b + m}{a + m}-\frac{b}{a}&=\frac{(b + m)a - b(a + m)}{a(a + m)}\\&=\frac{ab + am - ab - bm}{a(a + m)}\\&=\frac{(a - b)m}{a(a + m)}.\end{aligned}$
∵ $a ＞ b$,
∴ $a - b ＞ 0$.
又
∵ $m ＞ 0$, $a + m ＞ 0$, $a ＞ 0$,
∴ $\frac{b + m}{a + m}-\frac{b}{a}＞0$, 即 $\frac{b + m}{a + m}＞\frac{b}{a}$.
(3) 解: 若有 $n$ 杯糖水, 分别是 $a_1$ 克, $a_2$ 克, $a_3$ 克, $···$, $a_n$ 克, 其中每杯中含的糖分别是 $b_1$ 克, $b_2$ 克, $b_3$ 克, $···$, $b_n$ 克, 若这 $n$ 杯糖水的浓度相同, 则 $\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=···=\frac{b_n}{a_n}$.
将这 $n$ 杯浓度相同的糖水倒在一个容器内, 根据生活经验, 糖水没有变化, 即不变甜也不变淡, 由此可以得到 $\frac{b_1 + b_2 + ··· + b_n}{a_1 + a_2 + ··· + a_n}=\frac{b_1}{a_1}$.
(4) 证明:
∵ $a$, $b$, $c$ 为 $△ ABC$ 的三边长,
∴ $a + b ＞ c$, $b + c ＞ a$, $c + a ＞ b$,
∴ $\frac{c}{a + b}＜1$, $\frac{a}{b + c}＜1$, $\frac{b}{a + c}＜1$.
∴ 由 (2) 的结论知道 $\frac{c}{a + b}＜\frac{2c}{a + b + c}$, $\frac{a}{b + c}＜\frac{2a}{a + b + c}$, $\frac{b}{c + a}＜\frac{2b}{a + b + c}$,
三式相加, 得 $\frac{c}{a + b}+\frac{a}{b + c}+\frac{b}{a + c}＜\frac{2c}{a + b + c}+\frac{2a}{a + b + c}+\frac{2b}{a + b + c}=\frac{2(a + b + c)}{a + b + c}=2$.
即 $\frac{c}{a + b}+\frac{a}{b + c}+\frac{b}{a + c}＜2$.
