4. 国庆节前,某超市为了满足人们的购物需求,计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解,甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示.已知用 1200 购进甲种水果质量与用 1500 元购进乙种水果的质量相同.
(1)求$x$的值;
(2)若超市购进这两种水果共 100 千克,其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的 倍,则超市应如何进货才能获得最大利润?最大利润是多少?

解：(1) 根据题意，得 $ \frac{1200}{x} = \frac{1500}{x + 4} $，
解得 $ x = 16 $。
经检验，$ x = 16 $ 是所列方程的解。
答：$ x $ 的值为 $ 16 $。
(2) 设购进甲种水果 $ m $ 千克，获得的总利润为 $ y $ 元，则购进乙种水果 $ (100 - m) $ 千克。
由题意可知 $ y = (20 - 16)m + (25 - 16 - 4)(100 - m) = -m + 500 $。
$ \because $ 甲种水果的质量不低于乙种水果质量的 $ 3 $ 倍，
$ \therefore m ≥ (100 - m) × 3 $，解得 $ m ≥ 75 $，
$ \therefore 75 ≤ m ＜ 100 $。
在 $ y = -m + 500 $ 中，$ -1 ＜ 0 $，则 $ y $ 随 $ m $ 的增大而减小，
$ \therefore $ 当 $ m = 75 $ 时，$ y $ 最大，且 $ -75 + 500 = 425 $（元）。
答：购进甲种水果 $ 75 $ 千克，乙种水果 $ 25 $ 千克时，超市才能获得最大利润，最大利润为 $ 425 $ 元。

5. (2025·山西)我国自主研发的 HGCZ-2000 型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的 2 倍,它更换 116 千米钢轨比一个工作队人工更换 80 千米钢轨所用时间少 22 小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.

解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 $ x $ 千米。
根据题意，得 $ \frac{80}{0.5x} - \frac{116}{x} = 22 $，解得 $ x = 2 $。
经检验，$ x = 2 $ 是所列方程的解。
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 $ 2 $ 千米。

6. 一段高速公路需要修复,现有甲、乙两个工程队参与施工,已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多 3 千米,且甲队单独修复 60 千米公路所需要的时间与乙队单独修复 90 千米所需要的时间相等.
(1)求甲、乙两队平均每天分别修复公路多少千米;
(2)为了保证交通安全,两队不能同时施工,要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的 2 倍,那么 15 天的工期,两队最多能修复公路多少千米?

解：(1) 设甲队平均每天修复公路 $ x $ 千米，则乙队平均每天修复公路 $ (x + 3) $ 千米。
根据题意，得 $ \frac{60}{x} = \frac{90}{x + 3} $，解得 $ x = 6 $。
经检验，$ x = 6 $ 是所列方程的解。
$ \therefore x + 3 = 9 $。
答：甲队平均每天修复公路 $ 6 $ 千米，乙队平均每天修复公路 $ 9 $ 千米。
(2) 设甲队工作时间为 $ m $ 天，则乙队工作时间为 $ (15 - m) $ 天。
设 $ 15 $ 天的工期，两队能修复公路 $ w $ 千米。
根据题意，得 $ w = 6m + 9(15 - m) = -3m + 135 $。
又 $ m ≥ 2(15 - m) $，解得 $ m ≥ 10 $。
$ \because -3 ＜ 0 $，$ \therefore w $ 随 $ m $ 的增大而减小。
$ \therefore $ 当 $ m = 10 $ 时，$ w $ 有最大值，最大值为 $ -3 × 10 + 135 = 105 $。
答：$ 15 $ 天的工期，两队最多能修复公路 $ 105 $ 千米。