登录
3. 求未知数$x$。(6分)
$12x-3.5=32.5$ $2x+\frac{1}{2}x=10$ $\frac{3}{4}:x=\frac{1}{4}:\frac{2}{5}$
$12x-3.5=32.5$ $2x+\frac{1}{2}x=10$ $\frac{3}{4}:x=\frac{1}{4}:\frac{2}{5}$
答案
3. $x=3$ $x=4$ $x=\frac{6}{5}$
解析
【分析】
我们可以分三道小题依次思考求解：
1. 对于第一道普通一元一次方程，首先利用等式的性质，先把不含x的常数项移到等号右侧，再将x的系数化为1，就能得到x的解；
2. 第二道方程左侧是同类项，先合并同类项化简左侧的式子，再将x的系数化为1即可求解；
3. 第三道是比例形式的方程，回忆比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把比例式转化为普通的一元一次方程，再按等式性质求解即可。
【解析】
我们逐个求解三个方程：
① 解$12x-3.5=32.5$
等式两边同时加3.5：
$12x = 32.5 + 3.5$
$12x = 36$
等式两边同时除以12：
$x = 36÷12$
$x=3$
② 解$2x+\frac{1}{2}x=10$
合并左侧同类项：
$\frac{5}{2}x = 10$
等式两边同时乘$\frac{2}{5}$：
$x = 10×\frac{2}{5}$
$x=4$
③ 解$\frac{3}{4}:x=\frac{1}{4}:\frac{2}{5}$
根据比例的基本性质“内项积=外项积”，可得：
$\frac{1}{4}x = \frac{3}{4}×\frac{2}{5}$
计算右侧乘积得：$\frac{1}{4}x = \frac{3}{10}$
等式两边同时乘4：
$x = \frac{3}{10}×4$
$x=\frac{6}{5}$
【答案】
$x=3$；$x=4$；$x=\frac{6}{5}$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程求解；比例的基本性质
【点评】
本题是三道基础的求未知数计算题，覆盖了常规一元一次方程、含分数系数的一元一次方程、解比例三类常见题型，属于小学高段到初中衔接的核心基础计算考点，只要熟练掌握等式性质和比例性质，计算时注意分数运算不要出错，很容易拿到全分。
【难度系数】
0.8
我们可以分三道小题依次思考求解：
1. 对于第一道普通一元一次方程，首先利用等式的性质，先把不含x的常数项移到等号右侧，再将x的系数化为1，就能得到x的解；
2. 第二道方程左侧是同类项，先合并同类项化简左侧的式子，再将x的系数化为1即可求解；
3. 第三道是比例形式的方程，回忆比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把比例式转化为普通的一元一次方程，再按等式性质求解即可。
【解析】
我们逐个求解三个方程：
① 解$12x-3.5=32.5$
等式两边同时加3.5：
$12x = 32.5 + 3.5$
$12x = 36$
等式两边同时除以12：
$x = 36÷12$
$x=3$
② 解$2x+\frac{1}{2}x=10$
合并左侧同类项：
$\frac{5}{2}x = 10$
等式两边同时乘$\frac{2}{5}$：
$x = 10×\frac{2}{5}$
$x=4$
③ 解$\frac{3}{4}:x=\frac{1}{4}:\frac{2}{5}$
根据比例的基本性质“内项积=外项积”，可得：
$\frac{1}{4}x = \frac{3}{4}×\frac{2}{5}$
计算右侧乘积得：$\frac{1}{4}x = \frac{3}{10}$
等式两边同时乘4：
$x = \frac{3}{10}×4$
$x=\frac{6}{5}$
【答案】
$x=3$；$x=4$；$x=\frac{6}{5}$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程求解；比例的基本性质
【点评】
本题是三道基础的求未知数计算题，覆盖了常规一元一次方程、含分数系数的一元一次方程、解比例三类常见题型，属于小学高段到初中衔接的核心基础计算考点，只要熟练掌握等式性质和比例性质，计算时注意分数运算不要出错，很容易拿到全分。
【难度系数】
0.8
四、操作题。(共17分)
1. 根据要求,在下图完成操作。(8分)
(1)画出图A向右平移5格后的图形;
(2)画出图B绕O点顺时针旋转$90°$后的图形;
(3)画出图C按$1:3$的比缩小后的图形;
(4)画出图D的另一半,使它成为一个轴对称图形。
1. 根据要求,在下图完成操作。(8分)
(1)画出图A向右平移5格后的图形;
(2)画出图B绕O点顺时针旋转$90°$后的图形;
(3)画出图C按$1:3$的比缩小后的图形;
(4)画出图D的另一半,使它成为一个轴对称图形。
答案
(1) 找出图A的4个顶点，将所有顶点分别向右平移5格，顺次连接平移后的4个顶点，得到图A向右平移5格后的图形。
(2) 找出图B除O点外的2个顶点，将两个顶点分别绕O点顺时针旋转90°得到对应新顶点，顺次连接O点与两个新顶点，得到图B绕O点顺时针旋转90°后的图形。
(3) 原图形C长为6格、宽为3格，按1:3缩小后长为6÷3=2格，宽为3÷3=1格，画出长2格、宽1格的长方形，得到按1:3缩小后的图形。
(4) 以图D左侧的竖直线为对称轴，数出已知半图所有顶点到对称轴的格数，在对称轴另一侧等距位置标出各顶点的对称点，顺次连接所有对称点，补全另一半，得到完整的轴对称图形。
(2) 找出图B除O点外的2个顶点，将两个顶点分别绕O点顺时针旋转90°得到对应新顶点，顺次连接O点与两个新顶点，得到图B绕O点顺时针旋转90°后的图形。
(3) 原图形C长为6格、宽为3格，按1:3缩小后长为6÷3=2格，宽为3÷3=1格，画出长2格、宽1格的长方形，得到按1:3缩小后的图形。
(4) 以图D左侧的竖直线为对称轴，数出已知半图所有顶点到对称轴的格数，在对称轴另一侧等距位置标出各顶点的对称点，顺次连接所有对称点，补全另一半，得到完整的轴对称图形。
解析
【分析】
我们可以逐个拆解四个操作要求，按照图形变换的通用操作逻辑来思考：
1. 做平移操作时，不需要直接移动整个图形，只需要先确定原图形的所有顶点（关键点），将每个关键点按照指定方向、指定格数平移，再顺次连接平移后的所有关键点，就能得到准确的平移后图形，避免图形变形。
2. 做绕点旋转操作时，旋转中心的位置保持不变，其余所有关键点都绕旋转中心，按指定的方向和指定角度旋转，得到新的对应点后顺次连线即可。
3. 做按比例缩小图形的操作时，先测量出原图形对应边的长度，再根据给定的缩放比例计算出缩小后图形的各边长度，再按新的尺寸画出图形即可。
4. 补全轴对称图形时，先确定对称轴，数出已知半图的所有顶点到对称轴的格数，在对称轴另一侧距离对称轴相等的位置标记出对应的对称点，最后顺次连接所有对称点，就能得到完整的轴对称图形。
【解析】
我们分四步完成操作：
(1) 平移图A：先标记出平行四边形A的4个顶点，将4个顶点全部向右数5格，得到平移后的4个新顶点，顺次连接这4个新顶点，就得到图A向右平移5格后的图形。
(2) 旋转图B：标记出直角三角形B除旋转中心O之外的2个顶点，将这2个顶点分别绕O点顺时针旋转90°，得到旋转后的2个新顶点，顺次连接O点和这2个新顶点，就得到图B绕O点顺时针旋转90°后的图形。
(3) 缩小图C：先数出原长方形C的长为6格、宽为3格，按照1:3的比例缩小后，新长方形的长=6÷3=2格，新长方形的宽=3÷3=1格，画出长为2格、宽为1格的长方形，就得到图C按1:3缩小后的图形。
(4) 补全图D的轴对称图形：确定图D左侧的竖直线为对称轴，数出已知半图所有顶点到对称轴的水平格数，在对称轴右侧和对应顶点等距的位置标记出所有对称点，顺次连接所有对称点，补全图形的另一半，就得到完整的轴对称图形。
【答案】
按照上述四步操作，依次得到平移后的图A、旋转后的图B、缩小后的图C、补全后的轴对称图D，完成全部作图要求。
【知识点】
图形平移旋转，图形比例缩放，轴对称图形
【点评】
本题是图形变换板块的综合基础操作题，覆盖了小学阶段四类核心的图形变换考点，操作时要注意关键点定位准确，数格计数不要出错，旋转时要严格把控方向和角度，缩放时先准确计算新边长，轴对称要保证对应点到对称轴的距离完全相等，能够有效巩固图形变换的基础操作规范。
【难度系数】
0.7
我们可以逐个拆解四个操作要求，按照图形变换的通用操作逻辑来思考：
1. 做平移操作时，不需要直接移动整个图形，只需要先确定原图形的所有顶点（关键点），将每个关键点按照指定方向、指定格数平移，再顺次连接平移后的所有关键点，就能得到准确的平移后图形，避免图形变形。
2. 做绕点旋转操作时，旋转中心的位置保持不变，其余所有关键点都绕旋转中心，按指定的方向和指定角度旋转，得到新的对应点后顺次连线即可。
3. 做按比例缩小图形的操作时，先测量出原图形对应边的长度，再根据给定的缩放比例计算出缩小后图形的各边长度，再按新的尺寸画出图形即可。
4. 补全轴对称图形时，先确定对称轴，数出已知半图的所有顶点到对称轴的格数，在对称轴另一侧距离对称轴相等的位置标记出对应的对称点，最后顺次连接所有对称点，就能得到完整的轴对称图形。
【解析】
我们分四步完成操作：
(1) 平移图A：先标记出平行四边形A的4个顶点，将4个顶点全部向右数5格，得到平移后的4个新顶点，顺次连接这4个新顶点，就得到图A向右平移5格后的图形。
(2) 旋转图B：标记出直角三角形B除旋转中心O之外的2个顶点，将这2个顶点分别绕O点顺时针旋转90°，得到旋转后的2个新顶点，顺次连接O点和这2个新顶点，就得到图B绕O点顺时针旋转90°后的图形。
(3) 缩小图C：先数出原长方形C的长为6格、宽为3格，按照1:3的比例缩小后，新长方形的长=6÷3=2格，新长方形的宽=3÷3=1格，画出长为2格、宽为1格的长方形，就得到图C按1:3缩小后的图形。
(4) 补全图D的轴对称图形：确定图D左侧的竖直线为对称轴，数出已知半图所有顶点到对称轴的水平格数，在对称轴右侧和对应顶点等距的位置标记出所有对称点，顺次连接所有对称点，补全图形的另一半，就得到完整的轴对称图形。
【答案】
按照上述四步操作，依次得到平移后的图A、旋转后的图B、缩小后的图C、补全后的轴对称图D，完成全部作图要求。
【知识点】
图形平移旋转，图形比例缩放，轴对称图形
【点评】
本题是图形变换板块的综合基础操作题，覆盖了小学阶段四类核心的图形变换考点，操作时要注意关键点定位准确，数格计数不要出错，旋转时要严格把控方向和角度，缩放时先准确计算新边长，轴对称要保证对应点到对称轴的距离完全相等，能够有效巩固图形变换的基础操作规范。
【难度系数】
0.7
2. 数学兴趣小组的同学在正方形内画圆。
(1)王军、刘兵、张辉分别在边长为12厘米的正方形里画相同的尽量大的圆。王军画了1个,刘兵画了4个,张辉画了9个(如下图)。
① 我探究。分别计算三位同学所画圆的总面积。(3分)
王军:
刘兵:
张辉:
② 我发现。(2分)
通过计算,我发现:
③ 我应用。(2分)
如果像这样,在这个正方形里画16个相同的尽量大的圆,这些圆的总面积是(
(2)李阳也像这样在另一个正方形里画了36个相同的尽量大的圆,这些圆的总面积是50.24平方厘米,他是在边长为(
(1)王军、刘兵、张辉分别在边长为12厘米的正方形里画相同的尽量大的圆。王军画了1个,刘兵画了4个,张辉画了9个(如下图)。
① 我探究。分别计算三位同学所画圆的总面积。(3分)
王军:
刘兵:
张辉:
② 我发现。(2分)
通过计算,我发现:
王军、刘兵、张辉所画圆的总面积相等
③ 我应用。(2分)
如果像这样,在这个正方形里画16个相同的尽量大的圆,这些圆的总面积是(
$36π$
)平方厘米。(2)李阳也像这样在另一个正方形里画了36个相同的尽量大的圆,这些圆的总面积是50.24平方厘米,他是在边长为(
8
)厘米的正方形里画的圆。(2分)答案
2. (1) ① $12÷2=6$(厘米) $6^{2}π=36π$(平方厘米) $12÷4=3$(厘米) $3π×4=36π$(平方厘米) $12÷6=2$(厘米) $2^{2}π×9=36π$(平方厘米) ② 王军、刘兵、张辉所画圆的总面积相等 ③ $36π$ (2) 8
解析
【分析】
解题思路：首先明确所有初始正方形边长都是12厘米，计算不同数量尽量大的等圆的总面积时，核心是先确定单个圆的半径：
1. 王军只画1个最大的圆，圆的直径刚好等于正方形边长，由此得到半径，代入圆面积公式计算总面积。
2. 刘兵画4个圆，排列成2行2列，2个圆的直径之和等于正方形边长，算出单个圆的直径、半径后，乘4得到总面积。
3. 张辉画9个圆，排列成3行3列，3个圆的直径之和等于正方形边长，算出单个圆半径后乘9得到总面积。
4. 对比三个总面积就能得到规律：在同一个正方形里，按n行n列排列n²个尽可能大的等圆，所有圆的总面积都相等。
5. 应用该规律，16个圆是4行4列，总面积和之前的结果相等。
6. 第二小问利用推导的总面积公式，代入已知总面积反算正方形边长即可。
【解析】
(1) ① 分别计算三人所画圆的总面积：
王军：1个大圆的直径等于正方形边长12厘米，半径$r_1=12÷2=6$厘米
总面积$S_1=π r_1^2=π×6^2=36π$（平方厘米）
刘兵：4个圆排成2行2列，2个圆的直径和为12厘米，单个圆直径$=12÷2=6$厘米，半径$r_2=6÷2=3$厘米
总面积$S_2=4×π r_2^2=4×π×3^2=36π$（平方厘米）
张辉：9个圆排成3行3列，3个圆的直径和为12厘米，单个圆直径$=12÷3=4$厘米，半径$r_3=4÷2=2$厘米
总面积$S_3=9×π r_3^2=9×π×2^2=36π$（平方厘米）
② 对比三个计算结果，可直接得到结论：三人所画的圆的总面积完全相等。
③ 画16个相同的尽量大的圆，排列为4行4列，根据前面得到的规律，总面积和之前的结果一致，为$36π$平方厘米。
(2) 画36个圆排列为6行6列，设正方形边长为$a$，推导得所有圆的总面积$S_总=\frac{π a^2}{4}$，代入$S_总=50.24$，取$π=3.14$：
$50.24=\frac{3.14× a^2}{4}$，解得$a^2=64$，即$a=8$厘米。
【答案】
(1) ① 王军：$36π$平方厘米；刘兵：$36π$平方厘米；张辉：$36π$平方厘米
② 王军、刘兵、张辉所画圆的总面积相等
③ $36π$
(2) 8
【知识点】
圆的面积计算，规律归纳，正方形性质
【点评】
本题通过计算不同数量等圆的总面积，引导学生自主发现隐藏的数学规律，既巩固了圆面积公式的应用，也锻炼了归纳推理能力，后续遇到同类排列的等圆总面积问题，可以直接用规律快速求解，无需逐个计算圆的半径。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确所有初始正方形边长都是12厘米，计算不同数量尽量大的等圆的总面积时，核心是先确定单个圆的半径：
1. 王军只画1个最大的圆，圆的直径刚好等于正方形边长，由此得到半径，代入圆面积公式计算总面积。
2. 刘兵画4个圆，排列成2行2列，2个圆的直径之和等于正方形边长，算出单个圆的直径、半径后，乘4得到总面积。
3. 张辉画9个圆，排列成3行3列，3个圆的直径之和等于正方形边长，算出单个圆半径后乘9得到总面积。
4. 对比三个总面积就能得到规律：在同一个正方形里，按n行n列排列n²个尽可能大的等圆，所有圆的总面积都相等。
5. 应用该规律，16个圆是4行4列，总面积和之前的结果相等。
6. 第二小问利用推导的总面积公式，代入已知总面积反算正方形边长即可。
【解析】
(1) ① 分别计算三人所画圆的总面积：
王军：1个大圆的直径等于正方形边长12厘米，半径$r_1=12÷2=6$厘米
总面积$S_1=π r_1^2=π×6^2=36π$（平方厘米）
刘兵：4个圆排成2行2列，2个圆的直径和为12厘米，单个圆直径$=12÷2=6$厘米，半径$r_2=6÷2=3$厘米
总面积$S_2=4×π r_2^2=4×π×3^2=36π$（平方厘米）
张辉：9个圆排成3行3列，3个圆的直径和为12厘米，单个圆直径$=12÷3=4$厘米，半径$r_3=4÷2=2$厘米
总面积$S_3=9×π r_3^2=9×π×2^2=36π$（平方厘米）
② 对比三个计算结果，可直接得到结论：三人所画的圆的总面积完全相等。
③ 画16个相同的尽量大的圆，排列为4行4列，根据前面得到的规律，总面积和之前的结果一致，为$36π$平方厘米。
(2) 画36个圆排列为6行6列，设正方形边长为$a$，推导得所有圆的总面积$S_总=\frac{π a^2}{4}$，代入$S_总=50.24$，取$π=3.14$：
$50.24=\frac{3.14× a^2}{4}$，解得$a^2=64$，即$a=8$厘米。
【答案】
(1) ① 王军：$36π$平方厘米；刘兵：$36π$平方厘米；张辉：$36π$平方厘米
② 王军、刘兵、张辉所画圆的总面积相等
③ $36π$
(2) 8
【知识点】
圆的面积计算，规律归纳，正方形性质
【点评】
本题通过计算不同数量等圆的总面积，引导学生自主发现隐藏的数学规律，既巩固了圆面积公式的应用，也锻炼了归纳推理能力，后续遇到同类排列的等圆总面积问题，可以直接用规律快速求解，无需逐个计算圆的半径。
【难度系数】
0.7
