12.如图，直线CD与直线AB相交于点C，按要求完成画图：①过点P画$PQ// CD$，交AB于点Q；②过点P画$PR⊥ CD$，垂足为R.在所画的图形中.
(1)点P到直线CD的距离是线段的长；
(2)写出$∠ PQB$与$∠ DCA$的数量关系，并说明理由.

12.解:如图所示:PQ,PR即为所求作.
(1)PR
(2)∠PQB+∠DCA=180°,理由如下:
∵PQ//CD,
∴∠PQB=∠DCB,
∵∠DCB+∠DCA=180°,
∴∠PQB+∠DCA=180°.

【分析】
本题包含几何作图和基础性质应用两部分。解题思路如下：1. 作图部分：画平行线可借助三角板平移法，保证同位角相等即可得到PQ//CD；画垂线时将三角板直角边对齐CD，过点P作出垂线段PR，标注垂直符号和垂足R。2. 第(1)问：回忆点到直线的距离定义，即直线外一点到直线的垂线段的长度，找到P到CD的垂线段即可。3. 第(2)问：先根据平行线的性质得到与∠PQB相等的角，再结合邻补角和为180°的性质，通过等量代换推导两个角的数量关系。
【解析】
首先按照要求完成作图：
① 平移三角板，使一条边与CD重合，移动三角板直到该边过点P，沿这条边画直线PQ，交AB于点Q，得到PQ//CD；
② 将三角板的一条直角边与CD重合，移动三角板使另一条直角边过点P，沿该直角边画线段PR交CD于点R，∠PRC为直角，即PR⊥CD，垂足为R。
(1) 根据点到直线的距离的定义，点P到直线CD的距离是点P到CD的垂线段的长度，对应线段PR的长。
(2) 推导∠PQB与∠DCA的数量关系：
∵ PQ//CD（作图所得），
∴ ∠PQB=∠DCB（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠DCB+∠DCA=180°（邻补角的和为180°），
∴ ∠PQB+∠DCA=180°（等量代换）。
【答案】
如图所示:PQ,PR即为所求作.
(1)PR
(2)∠PQB+∠DCA=180°,理由如下:
∵PQ//CD,
∴∠PQB=∠DCB,
∵∠DCB+∠DCA=180°,
∴∠PQB+∠DCA=180°.
【知识点】
点到直线的距离；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于几何基础题，既考查了平行线、垂线的基本作图能力，也考查了对核心几何概念、性质的理解与应用能力，解题的关键是熟练掌握基础作图方法和相关性质，准确进行逻辑推导。
【难度系数】
0.8

13.如图，AB//CD，点E为两直线AB，CD之间的一点.
(1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC=；
(2)如图2，试说明∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°.

13.解:(1)如图1,过点E作直线MN//AB,
∵AB//CD,
∴MN//AB//CD,
∴∠AEM=∠BAE,
∠CEM=∠DCE,
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM,
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=35°+20°=55°.
(2)如图2,过点E作EG//AB,
∵AB//CD,
∴AB//CD//EG,
∴∠A+∠1=180°,
∠C+∠2=180°,
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°,
即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°.

【分析】
遇到平行线之间存在拐点的问题，通用解题思路是过拐点作平行于已知平行线的辅助线，利用平行公理的推论得到多条直线互相平行，再结合平行线的角度性质求解或证明。
(1) 第一问求∠AEC的度数：过E作MN平行于AB，可推出MN也平行于CD，根据两直线平行内错角相等，可得∠AEC等于∠BAE与∠DCE的和，代入已知角度计算即可。
(2) 第二问证明角度和为360°：过E作EG平行于AB，可推出EG也平行于CD，根据两直线平行同旁内角互补，可得两组和为180°的角，相加后整理角的和即可得到结论。
【解析】
(1) 如图1，过点E作直线MN//AB，
∵AB//CD，
∴MN//AB//CD，
∴∠AEM=∠BAE，∠CEM=∠DCE，
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=35°+20°=55°。
(2) 证明：如图2，过点E作EG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴∠BAE+∠1=180°，∠ECD+∠2=180°，
将两个等式相加得：∠BAE+∠1+∠2+∠ECD=360°，
又
∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{55°}$；(2) 证明见解析
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论
【点评】
本题是平行线间拐点问题的经典题型，核心解题技巧是过拐点作已知平行线的辅助线，将分散的角通过平行线的性质建立关联，解题时需熟练运用平行线的角度性质以及平行公理的推论。
【难度系数】
0.7