1. 计算:$2^{-1}=$ ………………………………………………………… ()

A.2
B.$-2$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}$

1.C

【分析】首先回忆负整数指数幂的运算法则：对于非零数$a$，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$p$为正整数）。本题要计算$2^{-1}$，直接运用该法则计算结果，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【点评】本题考查负整数指数幂的基本运算，属于基础题型，主要检验学生对负整数指数幂运算法则的掌握程度。
【难度系数】0.9

2. 分式$\dfrac{3}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是………………（）

A.$x≠2$
B.$x=2$
C.$x≠0$
D.$x=0$

2.A

【分析】首先明确分式有意义的条件：分式的分母不能为0。本题中分式为$\dfrac{3}{x-2}$，因此只需让分母$x-2≠0$，解该不等式即可得到$x$的取值范围，再对应选项选出正确答案。
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{3}{x-2}$，需满足分母$x-2≠0$，解得$x≠2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题是分式相关的基础题，直接考察分式有意义的核心条件，属于必须掌握的知识点，难度较低。
【难度系数】0.9

3.要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是………………（）

A.抽取某一片区的七年级学生进行调查
B.抽取三个片区的九年级学生进行调查
C.抽取某所学校的所有学生进行调查
D.按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查

3.D

【分析】要判断调查方案是否合理，需依据抽样调查的核心原则：抽取的样本应具有代表性（覆盖总体的各个组成部分）和广泛性（样本范围足够全面），这样才能准确反映总体的真实情况。我们需逐一分析各选项的样本是否符合这两个要求。
【解析】
选项A：仅抽取某一片区的七年级学生，样本仅覆盖单个片区的单个年级，不具备代表性和广泛性，无法反映三个片区所有初中生的视力情况，不合理；
选项B：仅抽取三个片区的九年级学生，样本仅覆盖三个片区的单个年级，缺少其他年级的学生，不具备代表性，不合理；
选项C：仅抽取某所学校的所有学生，样本仅来自单一学校，不具备广泛性，无法代表三个片区的初中生，不合理；
选项D：按片区各抽取学校，覆盖了三个片区，抽取9所学校的所有学生，样本既覆盖了各片区，又包含不同学校的学生，具备代表性和广泛性，能准确反映总体情况，方案合理。
【答案】D
【知识点】抽样调查的样本选取、总体与样本
【点评】本题考查抽样调查中样本的选取原则，属于统计模块的基础题，核心是理解样本需具备代表性和广泛性，难度较低，需熟练掌握抽样调查的基本要求。
【难度系数】0.6

4.如图,直线a,b被直线c所截,若要使$a// b$,则需具备条件（）

A.$∠1=∠2$
B.$∠3+∠4=180°$
C.$∠1=∠4$
D.$∠1+∠4=180°$

4.D

【分析】要判断直线$a//b$，需依据平行线的判定定理，结合图中各角的位置关系逐一分析选项。首先明确：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补均可判定两直线平行；邻补角的和恒为$180°$，无法判定平行。先识别角的位置：$∠1$与$∠3$是内错角，$∠2$与$∠3$是同位角，$∠3$与$∠4$是邻补角，$∠1$与$∠4$是同旁内角，再结合判定定理分析每个选项。
【解析】
逐一分析选项：
1. 选项A：$∠1$与$∠2$不是能判定两直线平行的角关系，无法推出$a//b$，故A错误；
2. 选项B：$∠3$与$∠4$是邻补角，本身满足$∠3+∠4=180°$，与$a、b$是否平行无关，故B错误；
3. 选项C：若$∠1=∠4$，结合$∠3+∠4=180°$，可得$∠1+∠3=180°$，不是内错角相等，无法判定$a//b$，故C错误；
4. 选项D：若$∠1+∠4=180°$，又因为$∠3+∠4=180°$（邻补角定义），根据同角的补角相等得$∠1=∠3$；而$∠1$与$∠3$是内错角，内错角相等，两直线平行，因此可判定$a//b$，故D正确。
【答案】D
【知识点】平行线的判定、内错角、邻补角
【点评】本题考查平行线的判定，核心是准确识别截线与被截线形成的角的位置关系，熟练运用平行线的判定定理，属于基础题型，需注意区分各类角的特征。
【难度系数】0.5

5.下列各式中,运算结果为$4a^{6}$的是 ……………………（）

A.$(-2a^{3})^{2}$
B.$a^{3}· (-2a)^{2}$
C.$2a^{3}+2a^{3}$
D.$4a^{6}÷a$

5.A

【分析】
要判断哪个选项的运算结果为$4a^6$，需根据整式的相关运算法则，逐一计算每个选项的结果，再选出符合要求的选项。
【解析】
分别计算各选项：
选项A：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$和幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(-2a^3)^2=(-2)^2·(a^3)^2=4· a^{3×2}=4a^6$，符合要求；
选项B：先计算$(-2a)^2=4a^2$，再根据同底数幂乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，可得：
$a^3·4a^2=4a^{3+2}=4a^5$，不符合要求；
选项C：根据合并同类项法则，同类项系数相加，字母和指数不变，可得：
$2a^3+2a^3=(2+2)a^3=4a^3$，不符合要求；
选项D：根据同底数幂除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，可得：
$4a^6÷ a=4a^{6-1}=4a^5$，不符合要求；
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】幂的乘方与积的乘方、同底数幂的运算、合并同类项
【点评】本题考查整式的基本运算，涉及幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除及合并同类项，属于基础题型，熟练掌握各运算法则即可快速解答。
【难度系数】0.8

6.若$a-b=-2,ab=3$,则$a^{3}b-2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为……………（）

A.－12
B.－6
C.12
D.6

6.C

【分析】本题是代数式求值问题，已知$a-b$与$ab$的值，无需计算$a$、$b$的具体值，可先对所求代数式因式分解，将其转化为含$(a-b)$和$ab$的形式，再用整体代入法计算结果。
【解析】对$a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$因式分解：
原式$=ab(a^{2} - 2ab + b^{2})$（提取公因式$ab$）
$=ab(a - b)^{2}$（利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）
将$a - b = -2$，$ab = 3$代入上式：
原式$=3×(-2)^{2}=3×4=12$
【答案】C
【知识点】因式分解、代数式求值
【点评】本题考查因式分解的应用，核心是运用整体代入思想简化计算，避免求解复杂的$a$、$b$值，属于基础题型，需熟练掌握因式分解公式和整体代入方法。
【难度系数】0.6

7.(改编)明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒$x$瓶，薄酒$y$瓶。根据题意，可列方程组为$\dots$（ ）

A.$\begin{cases}x + y = 19, \\3x + \dfrac{1}{3}y = 33\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 19, \\x + 3y = 33\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 19, \\\dfrac{1}{3}x + 3y = 33\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 19, \\3x + y = 33\end{cases}$

7.A

【分析】
本题是根据古代数学问题列二元一次方程组的题目，解题思路是先明确两个核心等量关系：一是酒的总瓶数，二是醉倒客人的总数量。设好酒为$x$瓶，薄酒为$y$瓶，先根据总瓶数确定第一个方程，再结合两种酒的醉客效率确定第二个方程，最后匹配选项即可。
【解析】
根据题意，设好酒有$x$瓶，薄酒有$y$瓶：
1. 总酒的瓶数：好酒瓶数与薄酒瓶数之和为19，因此可得方程：$x + y = 19$；
2. 醉倒客人总数：好酒每瓶可醉3位客人，$x$瓶好酒共醉$3x$位客人；薄酒3瓶醉1位客人，即1瓶薄酒醉$\frac{1}{3}$位客人，$y$瓶薄酒共醉$\frac{1}{3}y$位客人，总醉客为33位，因此可得方程：$3x + \frac{1}{3}y = 33$；
综上，方程组为$\begin{cases}x + y = 19 \\3x + \frac{1}{3}y = 33\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用、实际问题列方程组
【点评】
本题改编自古代数学名题，核心是找准两个等量关系，需注意薄酒的醉客效率转化（“三瓶醉一人”对应每瓶醉$\frac{1}{3}$人），是基础的列方程组题型，只要理清数量关系即可解答。
【难度系数】
0.6