2.(真题·台州天台)阅读材料：
求$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2025}$的值。
解:设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2025}$。
将等式两边同时乘2,得$2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2025}+2^{2026}$。
将下式减去上式,得$2S-S=2^{2026}-1$,
即$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2025}=2^{2026}-1$。
请你仿照上述方法计算:
(1)$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{10}$。
(2)$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$(其中$n$为正整数)。

(1)由题知,设$S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{10}$,则$2S=2+2^2+2^3+\dots+2^{10}+2^{11}$,两式相减得,$S=2^{11}-1$,所以$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{10}=2^{11}-1$。
(2)由题知,设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$,则$3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n+3^{n+1}$,两式相减得,$2S=3^{n+1}-1$,则$S=\frac{3^{n+1}-1}{2}$,所以$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$。

【分析】
本题采用题目给出的错位相减法求解，核心思路为：对于形如“1 + a + a² + … + a^k”的等比数列求和，先设该数列的和为S，再将S乘以数列的公比a，得到新的等式；用新等式减去原等式S，可消去中间相同的项，进而求出S的值。本题两个小问分别对应公比为2和3的情况，按照上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 设$ S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10} $，
将等式两边同时乘2，得$ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10} + 2^{11} $，
两式相减：$ 2S - S = (2 + 2^2 + \dots + 2^{11}) - (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{10}) $，
化简得$ S = 2^{11} - 1 $，
故$ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10} = 2^{11} - 1 $。
(2) 设$ S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^n $，
将等式两边同时乘3，得$ 3S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^n + 3^{n+1} $，
两式相减：$ 3S - S = (3 + 3^2 + \dots + 3^{n+1}) - (1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n) $，
化简得$ 2S = 3^{n+1} - 1 $，
两边同除以2，得$ S = \frac{3^{n+1} - 1}{2} $，
故$ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^n = \frac{3^{n+1} - 1}{2} $。
【答案】
(1)$ 2^{11} - 1 $；(2)$ \frac{3^{n+1} - 1}{2} $
【知识点】
错位相减法，等比数列求和
【点评】
本题为模仿例题的基础题型，考查错位相减法的应用，核心是掌握“设和→乘公比→相减消项”的步骤，只要理解方法并仿照示例计算，即可顺利求解，难度较低。
【难度系数】
0.6