$C_{2}$，…在$x$轴上.$A_{1}$点的坐标是（0，1），则点$B_{10}$的坐标是（）


A.（1024，511）
B.（1024，512）
C.（1023，511）
D.（1023，512）

解：当$x=0$时，$y=x+1=1$，$\therefore A_1（0，1）$，$\because A_1B_1C_1O$是正方形，$\therefore B_1（1，1）$，当$x=1$时，$y=x+1=2$，$\therefore$点$A_2$的坐标（1，2），$\because A_2B_2C_2C_1$是正方形，$\therefore B_2（3，2）$，同理可得$B_3（7，4）$，$B_4（15，8）$，$B_5（31，16）$，……，$\therefore B_n$坐标是$(2^n - 1, 2^{n-1})$，$\therefore$点$B_{10}$的坐标是$(2^{10} - 1, 2^9)$即（1023，512）。故选：D。

【分析】
要解决该问题，需按以下思路推导：首先确定过点$A_1$的直线解析式，再结合正方形性质求出前几个$B$点的坐标，归纳坐标的变化规律，最后代入$n=10$计算$B_{10}$的坐标即可。
【解析】
1. 确定直线解析式：已知$A_1(0,1)$，设直线解析式为$y=kx+b$，代入$A_1(0,1)$得$b=1$；结合图形，当$x=1$时，直线上对应点的$y=2$，代入得$2=k×1+1$，解得$k=1$，故直线解析式为$y=x+1$。
2. 推导前几个$B$点的坐标：
$A_1B_1C_1O$是正方形，边长为$1$，因此$B_1(1,1)$；
$A_2$在直线$y=x+1$上，当$x=1$时$y=2$，正方形$A_2B_2C_2C_1$边长为$2$，故$B_2(3,2)$；
同理可得$B_3(7,4)$，$B_4(15,8)$……
3. 归纳$B_n$的坐标规律：观察坐标可知，$B_n$的横坐标为$2^n -1$，纵坐标为$2^{n-1}$，即$B_n(2^n -1,2^{n-1})$。
4. 计算$B_{10}$的坐标：当$n=10$时，横坐标为$2^{10}-1=1023$，纵坐标为$2^9=512$，故$B_{10}(1023,512)$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用、正方形性质、规律探究
【点评】
本题是结合一次函数与正方形性质的规律探究题，需通过计算前几个点的坐标归纳通用规律，考查学生的观察归纳能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5

10. 在平面直角坐标系中，直线$y=kx - 2$与函数$y=|x - 2|+|x - 3|$的图象有且只有两个公共点，则$k$的取值范围是（）

A.$1＜k≤ \dfrac{3}{2}$
B.$1＜k≤ 2$
C.$1＜k＜2$
D.$2≤ k＜3$

解：函数$y=|x - 2|+|x - 3|$的图象如图所示，当直线$y=kx - 2$经过点（3，1）时，直线$y=kx - 2$与函数$y=|x - 2|+|x - 3|$的图象有且只有1个公共点，此时$3k - 2=1$，解得$k=1$；当直线$y=kx - 2$与函数$y=2x - 5$平行时，直线$y=kx - 2$与函数$y=|x - 2|+|x - 3|$的图象有且只有1个公共点，此时$k=2$；观察图象可知，直线$y=kx - 2$与函数$y=|x - 2|+|x - 3|$的图象有且只有两个公共点，则$k$的取值范围是$1＜k＜2$。故选：C。

【分析】首先将绝对值函数$y=|x-2|+|x-3|$分区间化简为分段函数，画出其图像；直线$y=kx-2$恒过定点$(0,-2)$，接下来分析直线与分段函数各段的交点数量，确定仅两个公共点时$k$的取值范围。
【解析】先化简绝对值函数：
当$x＜2$时，$y=-(x-2)-(x-3)=-2x+5$；
当$2≤x≤3$时，$y=(x-2)-(x-3)=1$；
当$x＞3$时，$y=(x-2)+(x-3)=2x-5$。
直线$y=kx-2$恒过定点$(0,-2)$。
1. 当直线过点$(3,1)$时，代入得$3k-2=1$，解得$k=1$，此时直线与函数仅1个公共点；
2. 当直线与$y=2x-5$（$x＞3$段）平行时，斜率相等，得$k=2$，此时直线与该段无交点，仅1个公共点；
观察图像可知，当$1＜k＜2$时，直线与分段函数的中间段和某一侧段各有1个交点，共2个公共点，符合题意。
【答案】C
【知识点】一次函数图像、绝对值函数、函数交点问题
【点评】本题通过分段化简绝对值函数，结合直线过定点的性质，利用数形结合思想分析交点情况，关键是确定斜率的临界值，属于典型的数形结合题型。
【难度系数】0.5

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置。

答案略

【分析】本题为填空题的题型说明类题目，明确要求各题无需写出解答过程，仅需将结果填写在答题卷指定位置，无需额外解题步骤。
【解析】题目仅给出填空题的题型及作答要求，未提供具体题目内容，按要求无需写出解答过程，仅需遵循规则作答。
【答案】答案略
【知识点】填空题题型要求
【点评】本题为题型规则说明，无具体考查题目，作答时只需遵循题目给出的作答要求即可。
【难度系数】0.0

11. 化简$\sqrt{45}$的结果为$\underline{\hspace{8cm}}$.

解：原式$=3\sqrt{5}$，故答案为：$3\sqrt{5}$。

【分析】化简二次根式时，需将被开方数分解为含有能开得尽方的因数的形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）进行计算。对于$\sqrt{45}$，先把45分解为$9×5$，其中9是$3^2$，属于能开得尽方的因数，据此逐步化简即可得到结果。
【解析】$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
【答案】$3\sqrt{5}$
【知识点】二次根式的化简
【点评】本题是二次根式化简的基础题型，主要考查二次根式的基本性质，属于初中数学的基础考点，只要掌握二次根式化简的方法就能正确解答。
【难度系数】0.8

12. 已知一次函数$y=(3 - m)x+3$，如果函数值$y$随$x$增大而增大，那么$m$的取值范围是.

解：$\because$一次函数$y=(3 - m)x+3$，函数值$y$随$x$增大而增大，$\therefore 3 - m＞0$，$\therefore m＜3$。故答案为：$m＜3$。

【分析】
要解决这个问题，需利用一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当一次项系数$k＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目中函数值$y$随$x$增大而增大，因此只需让该一次函数的一次项系数大于0，解对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知一次函数$y=(3 - m)x+3$，函数值$y$随$x$增大而增大，根据一次函数增减性可知，一次项系数需满足$3 - m＞0$，解此不等式：
移项得：$-m ＞ -3$，
两边同时乘以$-1$（不等号方向改变），得：$m ＜ 3$。
【答案】
$m＜3$
【知识点】
一次函数的增减性，解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数的基础性质，属于基础题型，核心是掌握一次函数增减性与一次项系数的关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

13. 小明参加学校举办的“学宪法讲宪法”主题演讲比赛，他的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分、80分、60分，若依次按照30%，50%，20%的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是 分。

解：她的最终成绩是$90×30\%+80×50\%+60×20\%=79$（分），故答案为：79。

【分析】
这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路是：由于演讲稿、语言表达、形象风度三项得分的权重不同，不能直接求算术平均数，需用各项得分分别乘以对应的权重百分比，再将结果相加，即可得到最终成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，最终成绩为各项得分乘以对应权重之和，列式计算：
$90×30\% + 80×50\% + 60×20\%$
$= 27 + 40 + 12$
$= 79$（分）
【答案】
79
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题是加权平均数在实际场景中的基础应用，计算步骤明确，难度较低，主要考查学生对加权平均数公式的基本运用能力。
【难度系数】
0.9

14. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为 ______ cm².

解：如图：在菱形$ABCD$中，$AB=5cm$，$BD=8cm$，$\because$对角线互相垂直平分，$\therefore ∠AOB=90°$，$BO=4cm$，在$RT△AOB$中，$AO=\sqrt{5^2 - 4^2}=3cm$，$\therefore AC=2AO=6cm$。$\therefore S_{菱形}=\frac{1}{2}×8×6=24$（$cm^2$），故答案为：24。

【分析】
要计算菱形的面积，需利用菱形“对角线互相垂直平分”的核心性质，结合勾股定理求出未知对角线长度，再代入菱形面积公式（对角线乘积的一半）求解。具体思路：1. 已知菱形边长和一条对角线，根据对角线互相垂直平分，可构造直角三角形；2. 用勾股定理求出未知对角线的一半长度，进而得到未知对角线总长；3. 代入面积公式计算结果。
【解析】
解：设菱形为ABCD，已知边长AB=5cm，一条对角线BD=8cm。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴对角线交点O为BD中点，BO=BD/2=4cm，且∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=√(AB² - BO²)=√(5² - 4²)=3cm。
∴另一条对角线AC=2AO=6cm。
根据菱形面积公式：S=1/2×对角线1×对角线2，代入得S=1/2×8×6=24cm²。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质、菱形面积计算、勾股定理
【点评】
本题是菱形相关计算的基础题型，核心考查菱形对角线的性质及面积公式，需掌握“对角线互相垂直平分”的性质，结合勾股定理即可快速求解，属于学生易掌握的常规题。
【难度系数】
0.7

15. 已知一次函数$y_1=2kx+b$（$k$，$b$是常数，$k≠0$），正比例函数$y_2=mx$（$m$是常数，$m≠0$），下列四个结论，其中正确的是________（填序号）.
①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则$2k=m$；
②若$kb＜0$，则一次函数的图象经过第一、二、四象限；
③将一次函数$y_1=2kx+b$的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为$y=2kx+4k+b$；
④若$b=2-2k$，当$x＞1$时，$y_1$总是小于$y_2$，则$m≥2$.

解：$\because$一次函数的图象与正比例函数的图象平行，$\therefore 2k=m$，故①正确。$\because kb＜0$，$\therefore k$，$b$异号，当$k＞0$，$b＜0$时，一次函数的图象经过第一，三，四象限；当$k＜0$，$b＞0$时，一次函数的图象经过第一，二，四象限；故②错误。将一次函数图象向左平移2个单位长度得：$y=2k(x+2)+b=2kx+4k+b$，故③正确。若$b=2-2k$，一次函数$y_1=2kx+2-2k=2(x-1)k+2$，$\therefore$一次函数$y_1=2kx+b$图象经过点（1，2），$\because$当$x＞1$时，$y_1$总是小于$y_2$，$\therefore$一次函数$y_1=2kx+b$图象经过一、二、三象限，$\therefore \begin{cases}k＞0 \\2-2k＞0\end{cases}$，解得$0＜k＜1$，$\therefore 0＜2k＜2$，$\therefore m≥2$，故④正确。故答案为：①③④。

【分析】
本题需逐一判断四个关于一次函数和正比例函数的结论，核心涉及一次函数平行条件、一次函数图象与系数的关系、函数平移规则、函数值大小比较的应用。判断时需注意：两函数平行则斜率相等；一次函数经过的象限由斜率和截距共同决定，需分类讨论；函数平移遵循“左加右减”；含参数的一次函数过定点，结合单调性分析大小关系。
【解析】
1. 结论①：一次函数与正比例函数图象平行时，斜率相等。一次函数$y_1=2kx+b$的斜率为$2k$，正比例函数$y_2=mx$的斜率为$m$，故$2k=m$，①正确。
2. 结论②：由$kb＜0$知$k$与$b$异号，分两种情况：若$k＞0$则$b＜0$，一次函数过第一、三、四象限；若$k＜0$则$b＞0$，一次函数过第一、二、四象限。因此一次函数不一定只经过第一、二、四象限，②错误。
3. 结论③：函数图象向左平移2个单位，将原函数中$x$替换为$x+2$，得平移后解析式：$y=2k(x+2)+b=2kx+4k+b$，③正确。
4. 结论④：将$b=2-2k$代入$y_1$得$y_1=2k(x-1)+2$，可知一次函数过定点$(1,2)$。当$x＞1$时$y_1＜y_2$，结合正比例函数性质，需$k＞0$且$m≥2$，最终满足条件，④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
一次函数的性质、函数图象的平移、正比例函数的性质
【点评】
本题综合考查一次函数与正比例函数的核心性质，需对每个结论逐一分析，易错点为象限分类讨论和定点分析，要求学生掌握函数系数与图象的对应关系，具备分类讨论和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5

16. 如图，在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=2\sqrt{2}$，点$D$在$BC$上，点$E$在$△ ABC$外，$BD=BE$，$∠ DBE=30°$，$F$是$DE$的中点，连接$AF$，$CF$，则$(AF+CF)^2$的最小值是________.

解：在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2}BC=\sqrt{2}AC=2\sqrt{2}$，$\therefore AC=BC=2$，延长$BE$至$P$，使$BP=BC=2$，连接$AP$，$CP$，作$PH⊥AC$于$H$，$PK⊥BC$于$K$。$\because BD=BE$，$\therefore ∠BDE=∠BED$，$\therefore 180° - ∠BDE=180° - ∠BED$，即$∠CDE=∠PED$，$\because F$是$DE$的中点，$\therefore DF=EF$，$\because BP=BC$，$\therefore CD=PE$，$\therefore △CDF≌△PEF（SSS）$，$\therefore CF=PF$，$\therefore AF+CF=AF+PF≥AP$，$\therefore AF+CF$的最小值为$AP$的长，即$(AF+CF)^2$的最小值为$AP^2$，在$Rt△BPK$中，$\because ∠DBE=30°$，$PK⊥BC$，$PK=\frac{1}{2}BP=1$，$\therefore BK=\sqrt{BP^2 - PK^2}=\sqrt{3}$，$CK=2-\sqrt{3}$，$\because PH⊥AC$，$PK⊥BC$，$\therefore ∠PKC=∠KCH=∠PHC=90°$，$\therefore$四边形$CKPH$是矩形，$CK=PH=2-\sqrt{3}$，$CH=PK=1$，$\therefore AH=3$，$\therefore AP^2=AH^2+PH^2=3^2+(2-\sqrt{3})^2=16-4\sqrt{3}$，$\therefore (AF+CF)^2$的最小值是$16-4\sqrt{3}$。故答案为：$16-4\sqrt{3}$。

【分析】首先根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC的长度；利用F是DE中点，通过构造全等三角形将CF转化为PF，将AF+CF转化为AF+PF，依据两点之间线段最短确定AF+CF的最小值为线段AP的长，最后通过构造直角三角形计算AP的平方，从而得到所求最小值。
【解析】在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=2\sqrt{2}$，由等腰直角三角形斜边与直角边的关系得：$AC=BC=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$。
延长$BE$至$P$，使$BP=BC=2$，连接$AP$、$CP$。
因为$BD=BE$，所以$BP - BE = BC - BD$，即$PE=CD$。
又因为$F$是$DE$的中点，所以$DF=EF$，且$∠ DFC=∠ EFP$（对顶角相等），故$△ CDF≌△ PEF$（SAS），因此$CF=PF$。
所以$AF + CF = AF + PF$，根据两点之间线段最短，$AF + PF ≥ AP$，当且仅当$A$、$F$、$P$三点共线时，$AF + CF$取得最小值，即最小值为$AP$的长度。
接下来计算$AP^2$：作$PH ⊥ AC$于$H$，$PK ⊥ BC$于$K$。
因为$∠ DBE=30°$，$BP=BC=2$，在$\mathrm{Rt}△ BPK$中，$∠ KBP=30°$，所以$PK=\frac{1}{2}BP=1$，$BK=\sqrt{BP^2 - PK^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$，则$CK=BC - BK=2 - \sqrt{3}$。
由于$∠ PKC=∠ KCH=∠ PHC=90°$，四边形$CKPH$是矩形，故$PH=CK=2 - \sqrt{3}$，$CH=PK=1$，因此$AH=AC + CH=2 +1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ APH$中，$AP^2=AH^2 + PH^2=3^2 + (2 - \sqrt{3})^2=9 + (4 -4\sqrt{3} +3)=16 -4\sqrt{3}$。
所以$(AF + CF)^2$的最小值为$16 -4\sqrt{3}$。
【答案】$16 -4\sqrt{3}$
【知识点】等腰直角三角形、全等三角形、最短路径问题
【点评】本题通过构造全等三角形转化线段，结合两点之间线段最短的性质求最值，关键在于合理构造辅助线，将分散的线段转化为共线的线段，进而计算最值，体现了转化思想的应用。
【难度系数】0.4

三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17.（8分）计算：
（1）$(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$；
（3）$(\sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6}) ÷ \sqrt{27}$。

（1）$\sqrt{3}-\sqrt{5}$；（3）$\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{2}}{6}$

本题考查二次根式的混合运算，运算规则为：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，结合二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算即可。
（1）计算$(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$：
① 化简根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
② 去括号代入原式：
原式$=2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} - \sqrt{3} - 3\sqrt{5}$
③ 合并同类二次根式：
原式$=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})+(2\sqrt{5}-3\sqrt{5})=\sqrt{3}-\sqrt{5}$
（2）计算$(\sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6}) ÷ \sqrt{27}$：
① 化简根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
② 利用除法分配律拆分运算：
原式$=\sqrt{48}÷\sqrt{27} + \frac{1}{2}\sqrt{6}÷\sqrt{27}$
③ 分别计算两项：
第一项：$\sqrt{48}÷\sqrt{27}=\sqrt{\frac{48}{27}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$
第二项：$\frac{1}{2}\sqrt{6}÷\sqrt{27}=\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{6}{27}}=\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$
④ 合并两项得最终结果：
原式$=\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{2}}{6}$