1.(2026·泰州期末)下列各组数是勾股数的是
（）

A.2,3,4
B.0.3,0.4,0.5
C.$\sqrt{3},2,\sqrt{7}$
D.5,12,13

1. D 解析:A. $2^{2}+3^{2}=4+9=13,4^{2}=16,13≠16$,不是勾股数;
B. 0.3,0.4,0.5 不是正整数,不是勾股数;C. $\sqrt{3},\sqrt{7}$不是正整数,不是勾股数;D. $5^{2}+12^{2}=25+144=169,13^{2}=169$,即 $5^{2}+$$12^{2}=13^{2}$,且均为正整数,是勾股数.故选 D.
归纳总结 常见的勾股数有3,4,5;5,12,13;7,24,25等.一组勾股数中各数的相同的正整数倍是一组新的勾股数,如6,8,10;10,24,26等.

2. (2025·郑州期中) $△ ABC$ 的三边长分别为 $a$,$b,c$.下列条件能判断 $△ ABC$ 是直角三角形的个数是（）
①$∠ A=∠ B-∠ C$;
②$a^2=(b+c)(b-c)$;
③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$;
④$a:b:c=5:12:13$.

A.1
B.2
C.3
D.4

2. C 解析:①由$∠A=∠B-∠C$,可得$∠B=90^{\circ }$,是直角三角形;②由$a^{2}=(b+c)(b-c)$,可得$a^{2}+c^{2}=b^{2}$,是直角三角形;③由$∠A:∠B:∠C=3:4:5$,可得$∠C=75^{\circ }$,不是直角三角形;④由$a:b:c=5:12:13$,可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,是直角三角形.故选 C.

3. (1) (2026·天水期末) 已知 $a,b,c$ 是 $△ ABC$ 的三边长,且满足关系 $\sqrt{a^2-b^2-c^2}+|b-c|=0$,则 $△ ABC$ 的形状是.
(2) 已知 $△ ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 满足 $a+b=10,ab=18,c=8$,则 $△ ABC$ 的形状是.

3. (1)等腰直角三角形 解析:$\because \sqrt {a^{2}-b^{2}-c^{2}}+|b-c|=0,$$\therefore a^{2}-b^{2}-c^{2}=0$,且$b-c=0,\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$,且$b=c.\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore △ ABC$满足勾股定理且有两边相等,$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形.
(2)直角三角形 解析:根据$a+b=10,ab=18,c=8$,可知$(a+b)^{2}-2ab=100-36=64,c^{2}=64$,因此可得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,所以根据勾股定理的逆定理可知此三角形是直角三角形.

4. (2025·滨州月考)已知 A,B,C 是海上的三座小岛,岛 A 在岛 C 的北偏东 $38°$方向上,距离为5 海里,岛 B 到岛 A 和岛 C 的距离分别是 13 海里和 12 海里,则岛 B 在岛 C 的方向上.

4. 南偏东$52^{\circ }$或北偏西$52^{\circ }$ 解析:根据题意得,$∠ACD=$$38^{\circ },\because AC=5,BC=12,AB=13,\therefore AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169=$$AB^{2},\therefore ∠ACB=90^{\circ }$.如图①所示,当点 B 在 AC 右下方时,$∠BCE=180^{\circ }-∠ACB-∠ACD=52^{\circ },\therefore$ 岛 B 在岛 C 的南偏东$52^{\circ }$方向上.如图②所示,当点 B 在 AC 左上方时,$∠BCD=$$∠ACB-∠ACD=90^{\circ }-38^{\circ }=52^{\circ },\therefore$ 岛 B 在岛 C 的北偏西$52^{\circ }$方向上.综上所述,岛 B 在岛 C 的南偏东$52^{\circ }$或北偏西$52^{\circ }$方向上.

5. 张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:

(1)请你分别观察$a,b,c$与$n$之间的关系,并用含自然数$n\ (n＞1)$的代数式表示:
$a=$;$b=$;$c=$.
(2)猜想:以$a,b,c$为边长的三角形是不是直角三角形?为什么?

5. (1)$n^{2}-1\ \ 2n\ \ n^{2}+1$ 解析:观察数据规律可得结果.
(2)以 a,b,c 为边长的三角形是直角三角形.
理由:$\because a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1,c^{2}=(n^{2}+1)^{2}=$$n^{4}+2n^{2}+1,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,$\therefore$ 以 a,b,c 为边长的三角形是直角三角形.

6. (益阳中考)已知 $M,N$ 是线段 $AB$ 上的两点，$AM=MN=2,NB=1$，以点 $A$ 为圆心，$AN$ 长为半径画弧；再以点 $B$ 为圆心，$BM$ 长为半径画弧，两弧交于点 $C$，连接 $AC,BC$，则 $△ ABC$ 一定是（）

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

6. B 解析:如图,$AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=$$5,\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},\therefore △ ABC$是直角三角形且$∠ACB=90^{\circ }.$故选 B.

7. 如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格,A,B,C,D都是网格线的交点,由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

7. B 解析:由勾股定理得$AB^{2}=1^{2}+2^{2}=5,BC^{2}=5^{2}=25,$$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20,CD^{2}=AD^{2}=1^{2}+3^{2}=10,BD^{2}=4^{2}+3^{2}=$$25,\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2},AD^{2}+CD^{2}=AC^{2},\therefore △ ABC,△ ADC$是直角三角形,$\therefore$ 任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为 2,故选 B.

8. 新趋势 数学文化 (2025·扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41.根据上述规律,写出第⑤组勾股数为.

8. 11,60,61 解析:由题意,第⑤组勾股数的第 1 个数为 11,设第 2 个数为 x,则第 3 个数为$x+1$,由勾股定理,得$11^{2}+$$x^{2}=(x+1)^{2}$,解得$x=60,\therefore x+1=61,\therefore$ 第⑤组勾股数为 11,60,61.