9. 一题多变 (1)(2025·泉州月考)如图①是由4 个边长为 1 的正方形组成的图形,则$∠ ABC$的度数为$°$.

(2)(2025·郑州月考)如图②,单位长度为 1的$3× 3$的正方形网格中,A,B,C,D 四点都在小正方形的顶点上,连接 AB,CD,则 AB,CD 所夹的锐角度数为$°$.
(3)如图③,在正方形网格中,A,B,C,D,E 均为格点,则$∠ BAC-∠ DAE=$$°$.

9. (1)45 解析:如图①,连接 AC,由图可知,$AC=\sqrt {1^{2}+2^{2}}=$$\sqrt {5},BC=\sqrt {2^{2}+1^{2}}=\sqrt {5},AB=\sqrt {3^{2}+1^{2}}=\sqrt {10},\therefore AC^{2}+BC^{2}=$$AB^{2},AC=BC,\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ABC=45^{\circ }.$

(2)45 解析:如图②,取格点 F,连接 AF,BF,设 AB,CD 相交于点 P,则$AF^{2}=1^{2}+2^{2}=5,BF^{2}=1^{2}+2^{2}=5,AB^{2}=1^{2}+3^{2}=$$10,\therefore AF^{2}+BF^{2}=AB^{2},\therefore △ ABF$是直角三角形且$∠AFB=$$90^{\circ }.\because AF=BF=\sqrt {5},\therefore △ ABF$是等腰直角三角形,$\therefore ∠FAB=$$∠FBA=45^{\circ }.\because CD// BF,\therefore ∠APD=∠ABF=45^{\circ }$,即 AB,CD所夹的锐角度数为$45^{\circ }.$
(3)45 解析:如图③,取格点 F,连接 AF,EF,易得$∠CAB=$$∠FAD.\because ∠FAD-∠DAE=∠FAE,\therefore ∠BAC-∠DAE=$$∠FAE$.设小正方形的边长为 1,由勾股定理易得$AF^{2}=5,$$EF^{2}=5,AE^{2}=10,\therefore AF^{2}+EF^{2}=AE^{2},\therefore △ AFE$是等腰直角三角形,$\therefore ∠FAE=45^{\circ }$,即$∠BAC-∠DAE=45^{\circ }.$

10. (2026·盐城期中)如图,校园里有一块四边形 $ABCD$ 的空地, $AB=20\ \mathrm{m},BC=24\ \mathrm{m},CD=$$15\ \mathrm{m},AD=25\ \mathrm{m}$,过点 $A$ 修一条小路 $AE$,$E$ 是$BC$ 的中点,且 $AE=16\ \mathrm{m}$.
(1)求证:$AE ⊥ BC$;
(2)求这块空地的面积.

10. (1)$\because$ E 是 BC 的中点,$BC=24\ \mathrm{m},\therefore BE=CE=\frac {1}{2}BC=$$12\ \mathrm{m}.\because AE^{2}+BE^{2}=16^{2}+12^{2}=400,AB^{2}=20^{2}=400,\therefore AE^{2}+$$BE^{2}=AB^{2},\therefore ∠AEB=90^{\circ },\therefore AE⊥BC.$
(2)如图,连接 AC,$\because AE⊥BC$,E 是 BC 的中点,$\therefore AE$ 垂直平分 BC,$\therefore AC=AB=20\ \mathrm{m}.\because AC^{2}+CD^{2}=20^{2}+15^{2}=$$625,AD^{2}=25^{2}=625,\therefore AC^{2}+CD^{2}=AD^{2},\therefore ∠ACD=90^{\circ },$$\therefore$ 四边形空地的面积$=\frac {1}{2}×24×16+\frac {1}{2}×15×20=342(\ \mathrm{m}^{2}).$

11. 新趋势 新定义 我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)如图①,已知格点(小正方形的顶点)O,A,B,若M为格点,请直接画出所有以OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB;
(2)如图②,将$△ ABC$绕顶点B按顺时针方向旋转$60°$,得到$△ DBE$,连接AD,DC,$∠ DCB=30°$,求证:$DC^2+BC^2=AC^2$,即四边形ABCD是勾股四边形;
(3)如图③,在四边形ABCD中,$△ BCD$为等边三角形,$AB=6$,$AD=8$,$∠ DAB=30°$,求AC的长.

11. (1)如图①所示.

(2)连接 CE,如图②.$\because △ ABC$ 绕顶点 B 按顺时针方向旋转$60^{\circ }$,得到$△ DBE,\therefore AC=DE,BC=BE,∠CBE=60^{\circ },$$\therefore △ BCE$ 是等边三角形,$\therefore EC=BC,∠BCE=60^{\circ }.$$\because ∠DCB=30^{\circ },\therefore ∠DCE=90^{\circ },\therefore DC^{2}+EC^{2}=DE^{2},\therefore DC^{2}+$$BC^{2}=AC^{2},\therefore$ 四边形 ABCD 是勾股四边形.

(3)如图③,将$△ ABC$ 绕顶点 B 按逆时针方向旋转$60^{\circ }$,使点 C 与点 D 重合,得到$△ EBD$,连接 AE,$\therefore AB=BE,AC=$$DE,∠ABE=60^{\circ },\therefore △ ABE$ 是等边三角形,$\therefore AE=AB,$$∠EAB=60^{\circ }.\because ∠DAB=30^{\circ },\therefore ∠DAE=∠DAB+∠BAE=$$30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ },\therefore △ DAE$ 为直角三角形,$\therefore DE^{2}=AD^{2}+$$AE^{2}$,即$AC^{2}=AD^{2}+AB^{2},\therefore AC^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}$,即$AC=10.$