8. (温州中考改编)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的长方形由两个这样的图形拼成,若 $a=3,b=4$, 则该长方形的面积为.

8. 24 解析:设小正方形的边长为$x$,$\because a=3$,$b=4$,$\therefore AB=3+4=7$.在Rt△ABC中,$AC^2+BC^2=AB^2$,即$(3+x)^2+(x+4)^2=7^2$,整理得$x^2+7x-12=0$,$\therefore x^2+7x=12$.又
∵ 长方形面积为$(3+x)(x+4)=x^2+7x+12=12+12=24$,$\therefore$ 该长方形的面积为 24.

9. (2026·扬州期末) 如图, 在 $△ ABD$ 中, $AC ⊥$ $BD$ 于点 $C$, 点 $E$ 为 $AC$ 上一点, 连接 $BE, DE$, $DE$ 的延长线交 $AB$ 于点 $F$, 已知 $DE = AB$, $∠ CAD=45°.$
(1) 求证: $DF ⊥ AB.$
(2) 利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, BC=a$, $AC=b, AB=c$, 求证: $a^2+b^2=c^2.$

9. (1)$\because AC⊥ BD$,$∠ CAD=45°$,$\therefore AC=DC$,$∠ ACB=∠ DCE=90°$.在Rt△ABC与Rt△DEC中,$\begin{cases} AC=DC, \\ AB=DE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ BAC=∠ EDC$.$\because ∠ EDC+∠ CED=90°$,$∠ CED=∠ AEF$,$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ AFE=90°$,$\therefore DF⊥ AB$.
(2)由$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC$,得$BC=EC=a$,$AB=DE=c$,$AC=CD=b$.$\because S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$,$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}· c· DF-\frac{1}{2}· c· EF=\frac{1}{2}· c·(DF-EF)=\frac{1}{2}· c· DE=\frac{1}{2}c^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.

10.【问题情境】
小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积.
从而得数学等式: $(a+b)^{2}=c^{2}+4×\dfrac{1}{2}ab$, 化简证得勾股定理:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
【初步运用】
(1) 如图①, 若 $b=2a$, 则小正方形面积：大正方形面积=.
(2) 现将图①中上方的两个直角三角形向内折叠, 如图②, 若 $a=4, b=6$, 此时空白部分的面积为.
(3) 如图③, 将这四个直角三角形紧密地拼接, 形成风车状, 已知外围轮廓(实线)的周长为 24, $OC=3$, 则该风车状图案的面积为.
(4) 如图④, 将八个全等的直角三角形紧密地拼接, 记图中正方形 $ABCD$、正方形 $EFGH$、正方形 $MNKT$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$,若 $S_{1}+S_{2}+S_{3}=40$, 则 $S_{2}=$.
【迁移运用】
如果用三张含 $60°$ 角的全等三角形纸片, 能否拼成一个特殊图形呢? 带着这个疑问, 小丽拼出图⑤的等边三角形, 仿照勾股定理的验证, 发现含 $60°$ 角的三角形三边 $a, b, c$ 之间的关系为.
(知识补充: 如图⑥, 含 $60°$ 角的直角三角形,$60°$ 角的对边 $y:$ 斜边 $x=$ 定值 $k$)

10. 【初步运用】(1)$5:9$ 解析:$\because c=\sqrt{a^2+b^2}$,$b=2a$,$\therefore c=\sqrt{5}a$,$\therefore$ 小正方形面积$:$大正方形面积$=(\sqrt{5}a)^2:(3a)^2=5:9$.
(2)28 解析:根据题意可知$c^2=a^2+b^2=4^2+6^2=52$,$\because$ 空白部分的面积=小正方形的面积-两个直角三角形的面积,$\therefore$ 空白部分的面积$=52-2×\frac{1}{2}×4×6=28$.
(3)24 解析:$24÷4=6$.设$AC=x$,依题意有$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$,解得$x=1$.$\therefore$ 该风车状图案的面积为$\frac{1}{2}×(3+1)×3×4=\frac{1}{2}×4×3×4=24$.
(4)$\frac{40}{3}$ 解析:将正方形 MNKT 的面积设为$x$,将其余八个全等的三角形其中一个面积设为$y$.$\because$ 正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,$S_1+S_2+S_3=40$,$\therefore S_1=8y+x$,$S_2=4y+x$,$S_3=x$,$\therefore S_1+S_2+S_3=3x+12y=40$,$\therefore x+4y=\frac{40}{3}$,$\therefore S_2=x+4y=\frac{40}{3}$.
【迁移运用】$a^2+b^2-ab=c^2$ 解析:由题意知,大等边三角形的面积=三个全等三角形的面积+小等边三角形的面积,可得$\frac{1}{2}(a+b)× k(a+b)=3×\frac{1}{2}× b× ka+\frac{1}{2}× c× ck$,$\therefore (a+b)^2=3ab+c^2$,$\therefore a^2+b^2-ab=c^2$.